MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxssxr 13318
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxssxr (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 7396 . . 3 (𝐴𝑂𝐵) = (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
32ixxf 13316 . . . 4 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4 0elpw 5347 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 ℝ*
53, 4f0cli 7084 . . 3 (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
61, 5eqeltri 2828 . 2 (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*
7 ovex 7426 . . 3 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
87elpw 4600 . 2 ((𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
96, 8mpbi 229 1 (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3431  wss 3944  𝒫 cpw 4596  cop 4628   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cfv 6532  (class class class)co 7393  cmpo 7395  *cxr 11229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-xr 11234
This theorem is referenced by:  iccssxr  13389  iocssxr  13390  icossxr  13391  ioossioobi  44001
  Copyright terms: Public domain W3C validator