Theorem ixxssxr 13396

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7434	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) = (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		ixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
3	2	ixxf 13394	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4		0elpw 5362	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℝ*
5	3, 4	f0cli 7118	. . 3 ⊢ (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
6	1, 5	eqeltri 2835	. 2 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*
7		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
8	7	elpw 4609	. 2 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
9	6, 8	mpbi 230	1 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℝ^*cxr 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-xr 11297

This theorem is referenced by:  iccssxr  13467  iocssxr  13468  icossxr  13469  ioossioobi  45470