Theorem ixxssxr 13374

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7408	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) = (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		ixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
3	2	ixxf 13372	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4		0elpw 5326	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℝ*
5	3, 4	f0cli 7088	. . 3 ⊢ (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
6	1, 5	eqeltri 2830	. 2 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*
7		ovex 7438	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
8	7	elpw 4579	. 2 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
9	6, 8	mpbi 230	1 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   × cxp 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℝ^*cxr 11268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-xr 11273

This theorem is referenced by:  iccssxr  13447  iocssxr  13448  icossxr  13449  ioossioobi  45546