MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxssxr 13399
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxssxr (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 7434 . . 3 (𝐴𝑂𝐵) = (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
32ixxf 13397 . . . 4 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4 0elpw 5356 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 ℝ*
53, 4f0cli 7118 . . 3 (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
61, 5eqeltri 2837 . 2 (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*
7 ovex 7464 . . 3 (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
87elpw 4604 . 2 ((𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
96, 8mpbi 230 1 (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cop 4632   class class class wbr 5143   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  *cxr 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-xr 11299
This theorem is referenced by:  iccssxr  13470  iocssxr  13471  icossxr  13472  ioossioobi  45530
  Copyright terms: Public domain W3C validator