Theorem ixxssxr 13263

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7355	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) = (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		ixx.1	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
3	2	ixxf 13261	. . . 4 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
4		0elpw 5296	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℝ*
5	3, 4	f0cli 7037	. . 3 ⊢ (𝑂‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
6	1, 5	eqeltri 2827	. 2 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ*
7		ovex 7385	. . 3 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ∈ V
8	7	elpw 4553	. 2 ⊢ ((𝐴𝑂𝐵) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*)
9	6, 8	mpbi 230	1 ⊢ (𝐴𝑂𝐵) ⊆ ℝ*

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4549  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   × cxp 5617  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  ℝ^*cxr 11151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-xr 11156

This theorem is referenced by:  iccssxr  13336  iocssxr  13337  icossxr  13338  ioossioobi  45622