MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxssxr 13340
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxssxr (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 7414 . . 3 (𝐴𝑂𝐡) = (π‘‚β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
32ixxf 13338 . . . 4 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
4 0elpw 5353 . . . 4 βˆ… ∈ 𝒫 ℝ*
53, 4f0cli 7098 . . 3 (π‘‚β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
61, 5eqeltri 2827 . 2 (𝐴𝑂𝐡) ∈ 𝒫 ℝ*
7 ovex 7444 . . 3 (𝐴𝑂𝐡) ∈ V
87elpw 4605 . 2 ((𝐴𝑂𝐡) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*)
96, 8mpbi 229 1 (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„*cxr 11251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-xr 11256
This theorem is referenced by:  iccssxr  13411  iocssxr  13412  icossxr  13413  ioossioobi  44528
  Copyright terms: Public domain W3C validator