MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxssxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixxssxr 13336
Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
ixxssxr (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxssxr
StepHypRef Expression
1 df-ov 7412 . . 3 (𝐴𝑂𝐡) = (π‘‚β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩)
2 ixx.1 . . . . 5 𝑂 = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
32ixxf 13334 . . . 4 𝑂:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
4 0elpw 5355 . . . 4 βˆ… ∈ 𝒫 ℝ*
53, 4f0cli 7100 . . 3 (π‘‚β€˜βŸ¨π΄, 𝐡⟩) ∈ 𝒫 ℝ*
61, 5eqeltri 2830 . 2 (𝐴𝑂𝐡) ∈ 𝒫 ℝ*
7 ovex 7442 . . 3 (𝐴𝑂𝐡) ∈ V
87elpw 4607 . 2 ((𝐴𝑂𝐡) ∈ 𝒫 ℝ* ↔ (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*)
96, 8mpbi 229 1 (𝐴𝑂𝐡) βŠ† ℝ*
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„*cxr 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-xr 11252
This theorem is referenced by:  iccssxr  13407  iocssxr  13408  icossxr  13409  ioossioobi  44230
  Copyright terms: Public domain W3C validator