Theorem alephon 9212

Description: An aleph is an ordinal number. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephon	⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem alephon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 9208	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘∅))
3	2	eleq1d 2891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘∅) ∈ On))
4		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝑦))
5	4	eleq1d 2891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘𝑦) ∈ On))
6		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘suc 𝑦))
7	6	eleq1d 2891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
8		aleph0 9209	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
9		omelon 8827	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
10	8, 9	eqeltri 2902	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ On
11		alephsuc 9211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) = (har‘(ℵ‘𝑦)))
12		harcl 8742	. . . . . . 7 ⊢ (har‘(ℵ‘𝑦)) ∈ On
13	11, 12	syl6eqel 2914	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On)
14	13	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
15		vex 3417	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		iunon 7707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
17	15, 16	mpan 681	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
18		alephlim 9210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
19	15, 18	mpan 681	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
20	19	eleq1d 2891	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑥 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On))
21	17, 20	syl5ibr 238	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On))
22	3, 5, 7, 5, 10, 14, 21	tfinds 7325	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘𝑦) ∈ On)
23	22	rgen 3131	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On
24		ffnfv 6642	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On))
25	1, 23, 24	mpbir2an 702	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
26		0elon 6020	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
27	25, 26	f0cli 6624	1 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  Vcvv 3414  ∅c0 4146  ∪ ciun 4742  Oncon0 5967  Lim wlim 5968  suc csuc 5969   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  ωcom 7331  harchar 8737  ℵcale 9082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-en 8229  df-dom 8230  df-oi 8691  df-har 8739  df-aleph 9086

This theorem is referenced by:  alephnbtwn  9214  alephnbtwn2  9215  alephordilem1  9216  alephord  9218  alephord2  9219  alephord3  9221  alephsucdom  9222  alephsuc2  9223  alephf1  9228  alephsdom  9229  alephdom2  9230  alephle  9231  cardaleph  9232  alephf1ALT  9246  alephfp  9251  dfac12k  9291  alephsing  9420  alephval2  9716  alephadd  9721  alephmul  9722  alephexp1  9723  alephsuc3  9724  alephreg  9726  pwcfsdom  9727  cfpwsdom  9728  gchaleph  9815  gchaleph2  9816  gch2  9819