Theorem alephon 9982

Description: An aleph is an ordinal number. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephon	⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem alephon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 9978	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘∅))
3	2	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘∅) ∈ On))
4		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝑦))
5	4	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘𝑦) ∈ On))
6		fveq2 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘suc 𝑦))
7	6	eleq1d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
8		aleph0 9979	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
9		omelon 9558	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
10	8, 9	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ On
11		alephsuc 9981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) = (har‘(ℵ‘𝑦)))
12		harcl 9464	. . . . . . 7 ⊢ (har‘(ℵ‘𝑦)) ∈ On
13	11, 12	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On)
14	13	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
15		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		iunon 8269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
17	15, 16	mpan 696	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
18		alephlim 9980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
19	15, 18	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
20	19	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑥 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On))
21	17, 20	imbitrrid 247	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On))
22	3, 5, 7, 5, 10, 14, 21	tfinds 7800	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘𝑦) ∈ On)
23	22	rgen 3055	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On
24		ffnfv 7060	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On))
25	1, 23, 24	mpbir2an 717	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
26		0elon 6365	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
27	25, 26	f0cli 7039	1 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  ∅c0 4261  ∪ ciun 4921  Oncon0 6310  Lim wlim 6311  suc csuc 6312   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ωcom 7806  harchar 9461  ℵcale 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-en 8884  df-dom 8885  df-oi 9415  df-har 9462  df-aleph 9855

This theorem is referenced by:  alephnbtwn  9984  alephnbtwn2  9985  alephordilem1  9986  alephord  9988  alephord2  9989  alephord3  9991  alephsucdom  9992  alephsuc2  9993  alephf1  9998  alephsdom  9999  alephdom2  10000  alephle  10001  cardaleph  10002  alephf1ALT  10016  alephfp  10021  alephval3  10023  dfac12k  10061  alephsing  10189  alephval2  10486  alephadd  10491  alephmul  10492  alephexp1  10493  alephsuc3  10494  alephreg  10496  pwcfsdom  10497  cfpwsdom  10498  gchaleph  10585  gchaleph2  10586  gch2  10589  minregex2  43979  alephiso2  44002