Theorem alephon 10187

Description: An aleph is an ordinal number. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephon	⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem alephon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 10183	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘∅))
3	2	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘∅) ∈ On))
4		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝑦))
5	4	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘𝑦) ∈ On))
6		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘suc 𝑦))
7	6	eleq1d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
8		aleph0 10184	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
9		omelon 9684	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
10	8, 9	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ On
11		alephsuc 10186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) = (har‘(ℵ‘𝑦)))
12		harcl 9590	. . . . . . 7 ⊢ (har‘(ℵ‘𝑦)) ∈ On
13	11, 12	eqeltrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On)
14	13	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
15		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		iunon 8385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
17	15, 16	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
18		alephlim 10185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
19	15, 18	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
20	19	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑥 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On))
21	17, 20	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On))
22	3, 5, 7, 5, 10, 14, 21	tfinds 7905	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘𝑦) ∈ On)
23	22	rgen 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On
24		ffnfv 7151	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On))
25	1, 23, 24	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
26		0elon 6444	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
27	25, 26	f0cli 7130	1 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ∪ ciun 4956  Oncon0 6388  Lim wlim 6389  suc csuc 6390   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ωcom 7911  harchar 9587  ℵcale 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-en 9012  df-dom 9013  df-oi 9541  df-har 9588  df-aleph 10058

This theorem is used by:  alephnbtwn  10189  alephnbtwn2  10190  alephordilem1  10191  alephord  10193  alephord2  10194  alephord3  10196  alephsucdom  10197  alephsuc2  10198  alephf1  10203  alephsdom  10204  alephdom2  10205  alephle  10206  cardaleph  10207  alephf1ALT  10221  alephfp  10226  alephval3  10228  dfac12k  10265  alephsing  10393  alephval2  10696  alephadd  10701  alephmul  10702  alephexp1  10703  alephsuc3  10704  alephreg  10706  pwcfsdom  10707  cfpwsdom  10708  gchaleph  10795  gchaleph2  10796  gch2  10799  j0ltaleph  36049  jltaleph  36067  minregex2  44797  alephiso2  44820