Theorem alephon 10148

Description: An aleph is an ordinal number. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephon	⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem alephon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephfnon 10144	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
2		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘∅))
3	2	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘∅) ∈ On))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘𝑦))
5	4	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘𝑦) ∈ On))
6		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (ℵ‘𝑥) = (ℵ‘suc 𝑦))
7	6	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
8		aleph0 10145	. . . . . 6 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
9		omelon 9647	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
10	8, 9	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ On
11		alephsuc 10147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) = (har‘(ℵ‘𝑦)))
12		harcl 9553	. . . . . . 7 ⊢ (har‘(ℵ‘𝑦)) ∈ On
13	11, 12	eqeltrdi 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On)
14	13	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘suc 𝑦) ∈ On))
15		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
16		iunon 8347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
17	15, 16	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On)
18		alephlim 10146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
19	15, 18	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (Lim 𝑥 → (ℵ‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦))
20	19	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑥 → ((ℵ‘𝑥) ∈ On ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On))
21	17, 20	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (ℵ‘𝑦) ∈ On → (ℵ‘𝑥) ∈ On))
22	3, 5, 7, 5, 10, 14, 21	tfinds 7871	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ On → (ℵ‘𝑦) ∈ On)
23	22	rgen 3079	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On
24		ffnfv 7119	. . 3 ⊢ (ℵ:On⟶On ↔ (ℵ Fn On ∧ ∀𝑦 ∈ On (ℵ‘𝑦) ∈ On))
25	1, 23, 24	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ℵ:On⟶On
26		0elon 6418	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
27	25, 26	f0cli 7098	1 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ∪ ciun 4951  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ωcom 7877  harchar 9550  ℵcale 10017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-en 8974  df-dom 8975  df-oi 9504  df-har 9551  df-aleph 10021

This theorem is used by:  alephnbtwn  10150  alephnbtwn2  10151  alephordilem1  10152  alephord  10154  alephord2  10155  alephord3  10157  alephsucdom  10158  alephsuc2  10159  alephf1  10164  alephsdom  10165  alephdom2  10166  alephle  10167  cardaleph  10168  alephf1ALT  10182  alephfp  10187  alephval3  10189  dfac12k  10226  alephsing  10354  alephval2  10657  alephadd  10662  alephmul  10663  alephexp1  10664  alephsuc3  10665  alephreg  10667  pwcfsdom  10668  cfpwsdom  10669  gchaleph  10756  gchaleph2  10757  gch2  10760  minregex2  44535  alephiso2  44558