MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 9213
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 9212 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 6238 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6857 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105   cuni 4832  cima 5552  Oncon0 6185  cfv 6349  𝑅1cr1 9180  rankcrnk 9181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-r1 9182  df-rank 9183
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9216  rankr1bg  9221  rankr1clem  9238  rankr1c  9239  rankpwi  9241  rankelb  9242  wfelirr  9243  rankval3b  9244  ranksnb  9245  rankr1a  9254  bndrank  9259  unbndrank  9260  rankunb  9268  rankprb  9269  rankuni2b  9271  rankuni  9281  rankuniss  9284  rankval4  9285  rankbnd2  9287  rankc1  9288  rankc2  9289  rankelun  9290  rankelpr  9291  rankelop  9292  rankmapu  9296  rankxplim  9297  rankxplim3  9299  rankxpsuc  9300  tcrank  9302  scottex  9303  scott0  9304  dfac12lem2  9559  hsmexlem5  9841  r1limwun  10147  wunex3  10152  rankcf  10188  grur1  10231  elhf2  33534  hfuni  33543  dfac11  39542  gruex  40514
  Copyright terms: Public domain W3C validator