Theorem rankon 9691

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9690	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6362	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7032	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4858   “ cima 5622  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  𝑅₁cr1 9658  rankcrnk 9659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-r1 9660  df-rank 9661

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9694  rankr1bg  9699  rankr1clem  9716  rankr1c  9717  rankpwi  9719  rankelb  9720  wfelirr  9721  rankval3b  9722  ranksnb  9723  rankr1a  9732  bndrank  9737  unbndrank  9738  rankunb  9746  rankprb  9747  rankuni2b  9749  rankuni  9759  rankuniss  9762  rankval4  9763  rankbnd2  9765  rankc1  9766  rankc2  9767  rankelun  9768  rankelpr  9769  rankelop  9770  rankmapu  9774  rankxplim  9775  rankxplim3  9777  rankxpsuc  9778  tcrank  9780  scottex  9781  scott0  9782  dfac12lem2  10039  hsmexlem5  10324  r1limwun  10630  wunex3  10635  rankcf  10671  grur1  10714  onvf1odlem4  35099  elhf2  36169  hfuni  36178  dfac11  43055  gruex  44291