Theorem rankon 9777

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9776	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6408	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7087	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867   “ cima 5651  Oncon0 6352  ‘cfv 6528  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by:  rankr1ai  9780  rankr1bg  9785  rankr1clem  9802  rankr1c  9803  rankpwi  9805  rankelb  9806  wfelirr  9807  rankval3b  9808  ranksnb  9809  rankr1a  9818  bndrank  9824  unbndrank  9825  rankunb  9834  rankprb  9835  rankuni2b  9837  rankuni  9849  rankuniss  9852  rankval4  9853  rankbnd2  9855  rankc1  9856  rankc2  9857  rankelun  9858  rankelpr  9859  rankelop  9860  rankmapu  9864  rankxplim  9865  rankxplim3  9867  rankxpsuc  9868  tcrank  9870  elhf2  9875  hfuni  9883  scottex  9890  scottexOLD  9891  scott0b  9894  scott0OLD  9895  dfac12lem2  10180  hsmexlem5  10465  r1limwun  10778  wunex3  10783  rankcf  10819  grur1  10862  rankval4b  35648  nelscottrankgt  35673  rankscottu  35677  scottssr1  35678  onvf1odlem4  35804  dfac11  44001  gruex  45220