Theorem rankon 9208

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9207	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6212	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6841	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4800   “ cima 5522  Oncon0 6159  ‘cfv 6324  𝑅₁cr1 9175  rankcrnk 9176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-r1 9177  df-rank 9178

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9211  rankr1bg  9216  rankr1clem  9233  rankr1c  9234  rankpwi  9236  rankelb  9237  wfelirr  9238  rankval3b  9239  ranksnb  9240  rankr1a  9249  bndrank  9254  unbndrank  9255  rankunb  9263  rankprb  9264  rankuni2b  9266  rankuni  9276  rankuniss  9279  rankval4  9280  rankbnd2  9282  rankc1  9283  rankc2  9284  rankelun  9285  rankelpr  9286  rankelop  9287  rankmapu  9291  rankxplim  9292  rankxplim3  9294  rankxpsuc  9295  tcrank  9297  scottex  9298  scott0  9299  dfac12lem2  9555  hsmexlem5  9841  r1limwun  10147  wunex3  10152  rankcf  10188  grur1  10231  elhf2  33749  hfuni  33758  dfac11  40006  gruex  41006