Theorem rankon 9553

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9552	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6319	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6974	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4839   “ cima 5592  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  𝑅₁cr1 9520  rankcrnk 9521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-r1 9522  df-rank 9523

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9556  rankr1bg  9561  rankr1clem  9578  rankr1c  9579  rankpwi  9581  rankelb  9582  wfelirr  9583  rankval3b  9584  ranksnb  9585  rankr1a  9594  bndrank  9599  unbndrank  9600  rankunb  9608  rankprb  9609  rankuni2b  9611  rankuni  9621  rankuniss  9624  rankval4  9625  rankbnd2  9627  rankc1  9628  rankc2  9629  rankelun  9630  rankelpr  9631  rankelop  9632  rankmapu  9636  rankxplim  9637  rankxplim3  9639  rankxpsuc  9640  tcrank  9642  scottex  9643  scott0  9644  dfac12lem2  9900  hsmexlem5  10186  r1limwun  10492  wunex3  10497  rankcf  10533  grur1  10576  elhf2  34477  hfuni  34486  dfac11  40887  gruex  41916