Theorem rankon 9835

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9834	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6438	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7118	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4907   “ cima 5688  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  𝑅₁cr1 9802  rankcrnk 9803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9838  rankr1bg  9843  rankr1clem  9860  rankr1c  9861  rankpwi  9863  rankelb  9864  wfelirr  9865  rankval3b  9866  ranksnb  9867  rankr1a  9876  bndrank  9881  unbndrank  9882  rankunb  9890  rankprb  9891  rankuni2b  9893  rankuni  9903  rankuniss  9906  rankval4  9907  rankbnd2  9909  rankc1  9910  rankc2  9911  rankelun  9912  rankelpr  9913  rankelop  9914  rankmapu  9918  rankxplim  9919  rankxplim3  9921  rankxpsuc  9922  tcrank  9924  scottex  9925  scott0  9926  dfac12lem2  10185  hsmexlem5  10470  r1limwun  10776  wunex3  10781  rankcf  10817  grur1  10860  elhf2  36176  hfuni  36185  dfac11  43074  gruex  44317