Theorem rankon 9688

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9687	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6361	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7031	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4856   “ cima 5617  Oncon0 6306  ‘cfv 6481  𝑅₁cr1 9655  rankcrnk 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-r1 9657  df-rank 9658

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9691  rankr1bg  9696  rankr1clem  9713  rankr1c  9714  rankpwi  9716  rankelb  9717  wfelirr  9718  rankval3b  9719  ranksnb  9720  rankr1a  9729  bndrank  9734  unbndrank  9735  rankunb  9743  rankprb  9744  rankuni2b  9746  rankuni  9756  rankuniss  9759  rankval4  9760  rankbnd2  9762  rankc1  9763  rankc2  9764  rankelun  9765  rankelpr  9766  rankelop  9767  rankmapu  9771  rankxplim  9772  rankxplim3  9774  rankxpsuc  9775  tcrank  9777  scottex  9778  scott0  9779  dfac12lem2  10036  hsmexlem5  10321  r1limwun  10627  wunex3  10632  rankcf  10668  grur1  10711  rankval4b  35111  onvf1odlem4  35150  elhf2  36219  hfuni  36228  dfac11  43154  gruex  44390