Theorem rankon 9790

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9789	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6419	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7100	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  ∪ cuni 4909   “ cima 5680  Oncon0 6365  ‘cfv 6544  𝑅₁cr1 9757  rankcrnk 9758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-r1 9759  df-rank 9760

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9793  rankr1bg  9798  rankr1clem  9815  rankr1c  9816  rankpwi  9818  rankelb  9819  wfelirr  9820  rankval3b  9821  ranksnb  9822  rankr1a  9831  bndrank  9836  unbndrank  9837  rankunb  9845  rankprb  9846  rankuni2b  9848  rankuni  9858  rankuniss  9861  rankval4  9862  rankbnd2  9864  rankc1  9865  rankc2  9866  rankelun  9867  rankelpr  9868  rankelop  9869  rankmapu  9873  rankxplim  9874  rankxplim3  9876  rankxpsuc  9877  tcrank  9879  scottex  9880  scott0  9881  dfac12lem2  10139  hsmexlem5  10425  r1limwun  10731  wunex3  10736  rankcf  10772  grur1  10815  elhf2  35178  hfuni  35187  dfac11  41852  gruex  43105