Theorem rankon 9714

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9713	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6369	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7043	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  ∪ cuni 4841   “ cima 5624  Oncon0 6314  ‘cfv 6489  𝑅₁cr1 9681  rankcrnk 9682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9683  df-rank 9684

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9717  rankr1bg  9722  rankr1clem  9739  rankr1c  9740  rankpwi  9742  rankelb  9743  wfelirr  9744  rankval3b  9745  ranksnb  9746  rankr1a  9755  bndrank  9760  unbndrank  9761  rankunb  9769  rankprb  9770  rankuni2b  9772  rankuni  9782  rankuniss  9785  rankval4  9786  rankbnd2  9788  rankc1  9789  rankc2  9790  rankelun  9791  rankelpr  9792  rankelop  9793  rankmapu  9797  rankxplim  9798  rankxplim3  9800  rankxpsuc  9801  tcrank  9803  scottex  9804  scott0  9805  dfac12lem2  10062  hsmexlem5  10347  r1limwun  10654  wunex3  10659  rankcf  10695  grur1  10738  rankval4b  35296  onvf1odlem4  35349  elhf2  36418  hfuni  36427  dfac11  43522  gruex  44757