MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 8822
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 8821 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 5921 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6513 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145   cuni 4574  cima 5252  Oncon0 5866  cfv 6031  𝑅1cr1 8789  rankcrnk 8790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-r1 8791  df-rank 8792
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8825  rankr1bg  8830  rankr1clem  8847  rankr1c  8848  rankpwi  8850  rankelb  8851  wfelirr  8852  rankval3b  8853  ranksnb  8854  rankr1a  8863  bndrank  8868  unbndrank  8869  rankunb  8877  rankprb  8878  rankuni2b  8880  rankuni  8890  rankuniss  8893  rankval4  8894  rankbnd2  8896  rankc1  8897  rankc2  8898  rankelun  8899  rankelpr  8900  rankelop  8901  rankmapu  8905  rankxplim  8906  rankxplim3  8908  rankxpsuc  8909  tcrank  8911  scottex  8912  scott0  8913  dfac12lem2  9168  hsmexlem5  9454  r1limwun  9760  wunex3  9765  rankcf  9801  grur1  9844  elhf2  32619  hfuni  32628  dfac11  38158
  Copyright terms: Public domain W3C validator