Theorem rankon 9864

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9863	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6449	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7132	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4931   “ cima 5703  Oncon0 6395  ‘cfv 6573  𝑅₁cr1 9831  rankcrnk 9832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9867  rankr1bg  9872  rankr1clem  9889  rankr1c  9890  rankpwi  9892  rankelb  9893  wfelirr  9894  rankval3b  9895  ranksnb  9896  rankr1a  9905  bndrank  9910  unbndrank  9911  rankunb  9919  rankprb  9920  rankuni2b  9922  rankuni  9932  rankuniss  9935  rankval4  9936  rankbnd2  9938  rankc1  9939  rankc2  9940  rankelun  9941  rankelpr  9942  rankelop  9943  rankmapu  9947  rankxplim  9948  rankxplim3  9950  rankxpsuc  9951  tcrank  9953  scottex  9954  scott0  9955  dfac12lem2  10214  hsmexlem5  10499  r1limwun  10805  wunex3  10810  rankcf  10846  grur1  10889  elhf2  36139  hfuni  36148  dfac11  43019  gruex  44267