Theorem rankon 9767

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9766	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7094	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4874   “ cima 5665  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9734  rankcrnk 9735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9736  df-rank 9737

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9770  rankr1bg  9775  rankr1clem  9792  rankr1c  9793  rankpwi  9795  rankelb  9796  wfelirr  9797  rankval3b  9798  ranksnb  9799  rankr1a  9808  bndrank  9813  unbndrank  9814  rankunb  9822  rankprb  9823  rankuni2b  9825  rankuni  9835  rankuniss  9838  rankval4  9839  rankbnd2  9841  rankc1  9842  rankc2  9843  rankelun  9844  rankelpr  9845  rankelop  9846  rankmapu  9850  rankxplim  9851  rankxplim3  9853  rankxpsuc  9854  tcrank  9856  scottex  9859  scott0  9860  dfac12lem2  10128  hsmexlem5  10414  r1limwun  10721  wunex3  10726  rankcf  10762  grur1  10805  rankval4b  35436  rankscottu  35456  scottssr1  35457  onvf1odlem4  35523  elhf2  36600  hfuni  36609  dfac11  43716  gruex  44935