Theorem rankon 9827

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9826	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6433	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7119	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4870   “ cima 5658  Oncon0 6377  ‘cfv 6555  𝑅₁cr1 9790  rankcrnk 9791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-r1 9792  df-rank 9793

This theorem is used by:  rankr1ai  9830  rankr1bg  9835  rankr1clem  9853  rankr1c  9854  rankpwi  9856  rankelb  9857  wfelirr  9858  rankval3b  9860  ranksnb  9861  rankr1a  9872  bndrank  9878  unbndrank  9879  rankunb  9888  rankprb  9889  rankuni2b  9891  rankuni  9903  rankval4b  9904  rankuniss  9907  rankval4  9908  rankbnd2  9910  rankc1  9911  rankc2  9912  rankelun  9913  rankelpr  9914  rankelop  9915  rankmapu  9919  rankxplim  9920  rankxplim3  9922  rankxpsuc  9923  tcrank  9925  elhf2  9934  hfuniOLD  9949  scottex  9957  scottexOLD  9958  scott0b  9961  scott0OLD  9962  dfac12lem2  10247  hsmexlem5  10532  r1limwun  10845  wunex3  10850  rankcf  10886  grur1  10929  rankse  35822  nelscottrankgt  35832  rankscottu  35838  scottssr1  35839  onvf1odlem4  36033  onprcf1acwevdlem2  36045  dfac11  44255  gruex  45472