Theorem rankon 9765

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9764	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6416	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7093	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2142  ∪ cuni 4871   “ cima 5663  Oncon0 6360  ‘cfv 6536  𝑅₁cr1 9732  rankcrnk 9733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-r1 9734  df-rank 9735

This theorem is used by:  rankr1ai  9768  rankr1bg  9773  rankr1clem  9790  rankr1c  9791  rankpwi  9793  rankelb  9794  wfelirr  9795  rankval3b  9796  ranksnb  9797  rankr1a  9806  bndrank  9811  unbndrank  9812  rankunb  9820  rankprb  9821  rankuni2b  9823  rankuni  9833  rankuniss  9836  rankval4  9837  rankbnd2  9839  rankc1  9840  rankc2  9841  rankelun  9842  rankelpr  9843  rankelop  9844  rankmapu  9848  rankxplim  9849  rankxplim3  9851  rankxpsuc  9852  tcrank  9854  scottex  9860  scottexOLD  9861  scott0b  9864  scott0OLD  9865  dfac12lem2  10135  hsmexlem5  10420  r1limwun  10727  wunex3  10732  rankcf  10768  grur1  10811  rankval4b  35502  nelscottrankgt  35527  rankscottu  35531  scottssr1  35532  onvf1odlem4  35598  elhf2  36675  hfuni  36684  dfac11  43817  gruex  45036