MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 9212
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 9211 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 6222 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6846 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2114   cuni 4813  cima 5535  Oncon0 6169  cfv 6334  𝑅1cr1 9179  rankcrnk 9180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-r1 9181  df-rank 9182
This theorem is referenced by:  rankr1ai  9215  rankr1bg  9220  rankr1clem  9237  rankr1c  9238  rankpwi  9240  rankelb  9241  wfelirr  9242  rankval3b  9243  ranksnb  9244  rankr1a  9253  bndrank  9258  unbndrank  9259  rankunb  9267  rankprb  9268  rankuni2b  9270  rankuni  9280  rankuniss  9283  rankval4  9284  rankbnd2  9286  rankc1  9287  rankc2  9288  rankelun  9289  rankelpr  9290  rankelop  9291  rankmapu  9295  rankxplim  9296  rankxplim3  9298  rankxpsuc  9299  tcrank  9301  scottex  9302  scott0  9303  dfac12lem2  9559  hsmexlem5  9841  r1limwun  10147  wunex3  10152  rankcf  10188  grur1  10231  elhf2  33710  hfuni  33719  dfac11  39936  gruex  40940
  Copyright terms: Public domain W3C validator