Theorem rankon 9218

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9217	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6238	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6858	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ∪ cuni 4831   “ cima 5552  Oncon0 6185  ‘cfv 6349  𝑅₁cr1 9185  rankcrnk 9186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-r1 9187  df-rank 9188

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9221  rankr1bg  9226  rankr1clem  9243  rankr1c  9244  rankpwi  9246  rankelb  9247  wfelirr  9248  rankval3b  9249  ranksnb  9250  rankr1a  9259  bndrank  9264  unbndrank  9265  rankunb  9273  rankprb  9274  rankuni2b  9276  rankuni  9286  rankuniss  9289  rankval4  9290  rankbnd2  9292  rankc1  9293  rankc2  9294  rankelun  9295  rankelpr  9296  rankelop  9297  rankmapu  9301  rankxplim  9302  rankxplim3  9304  rankxpsuc  9305  tcrank  9307  scottex  9308  scott0  9309  dfac12lem2  9564  hsmexlem5  9846  r1limwun  10152  wunex3  10157  rankcf  10193  grur1  10236  elhf2  33631  hfuni  33640  dfac11  39655  gruex  40627