Theorem rankon 9721

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9720	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6382	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7054	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4865   “ cima 5637  Oncon0 6327  ‘cfv 6502  𝑅₁cr1 9688  rankcrnk 9689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-r1 9690  df-rank 9691

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9724  rankr1bg  9729  rankr1clem  9746  rankr1c  9747  rankpwi  9749  rankelb  9750  wfelirr  9751  rankval3b  9752  ranksnb  9753  rankr1a  9762  bndrank  9767  unbndrank  9768  rankunb  9776  rankprb  9777  rankuni2b  9779  rankuni  9789  rankuniss  9792  rankval4  9793  rankbnd2  9795  rankc1  9796  rankc2  9797  rankelun  9798  rankelpr  9799  rankelop  9800  rankmapu  9804  rankxplim  9805  rankxplim3  9807  rankxpsuc  9808  tcrank  9810  scottex  9811  scott0  9812  dfac12lem2  10069  hsmexlem5  10354  r1limwun  10661  wunex3  10666  rankcf  10702  grur1  10745  rankval4b  35283  onvf1odlem4  35328  elhf2  36397  hfuni  36406  dfac11  43448  gruex  44683