Theorem rankon 9724

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9723	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6375	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7052	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4867   “ cima 5634  Oncon0 6320  ‘cfv 6499  𝑅₁cr1 9691  rankcrnk 9692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-r1 9693  df-rank 9694

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9727  rankr1bg  9732  rankr1clem  9749  rankr1c  9750  rankpwi  9752  rankelb  9753  wfelirr  9754  rankval3b  9755  ranksnb  9756  rankr1a  9765  bndrank  9770  unbndrank  9771  rankunb  9779  rankprb  9780  rankuni2b  9782  rankuni  9792  rankuniss  9795  rankval4  9796  rankbnd2  9798  rankc1  9799  rankc2  9800  rankelun  9801  rankelpr  9802  rankelop  9803  rankmapu  9807  rankxplim  9808  rankxplim3  9810  rankxpsuc  9811  tcrank  9813  scottex  9814  scott0  9815  dfac12lem2  10074  hsmexlem5  10359  r1limwun  10665  wunex3  10670  rankcf  10706  grur1  10749  onvf1odlem4  35086  elhf2  36156  hfuni  36165  dfac11  43044  gruex  44280