Theorem rankon 9780

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9779	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7094	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4870   “ cima 5662  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9747  rankcrnk 9748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-r1 9749  df-rank 9750

This theorem is used by:  rankr1ai  9783  rankr1bg  9788  rankr1clem  9805  rankr1c  9806  rankpwi  9808  rankelb  9809  wfelirr  9810  rankval3b  9811  ranksnb  9812  rankr1a  9821  bndrank  9826  unbndrank  9827  rankunb  9835  rankprb  9836  rankuni2b  9838  rankuni  9848  rankuniss  9851  rankval4  9852  rankbnd2  9854  rankc1  9855  rankc2  9856  rankelun  9857  rankelpr  9858  rankelop  9859  rankmapu  9863  rankxplim  9864  rankxplim3  9866  rankxpsuc  9867  tcrank  9869  scottex  9875  scottexOLD  9876  scott0b  9879  scott0OLD  9880  dfac12lem2  10150  hsmexlem5  10435  r1limwun  10748  wunex3  10753  rankcf  10789  grur1  10832  rankval4b  35594  nelscottrankgt  35619  rankscottu  35623  scottssr1  35624  onvf1odlem4  35690  elhf2  36742  hfuni  36751  dfac11  43890  gruex  45109