MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankon 8905
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 8904 . 2 rank: (𝑅1 “ On)⟶On
2 0elon 5991 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6592 1 (rank‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2156   cuni 4630  cima 5314  Oncon0 5936  cfv 6101  𝑅1cr1 8872  rankcrnk 8873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-r1 8874  df-rank 8875
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8908  rankr1bg  8913  rankr1clem  8930  rankr1c  8931  rankpwi  8933  rankelb  8934  wfelirr  8935  rankval3b  8936  ranksnb  8937  rankr1a  8946  bndrank  8951  unbndrank  8952  rankunb  8960  rankprb  8961  rankuni2b  8963  rankuni  8973  rankuniss  8976  rankval4  8977  rankbnd2  8979  rankc1  8980  rankc2  8981  rankelun  8982  rankelpr  8983  rankelop  8984  rankmapu  8988  rankxplim  8989  rankxplim3  8991  rankxpsuc  8992  tcrank  8994  scottex  8995  scott0  8996  dfac12lem2  9251  hsmexlem5  9537  r1limwun  9843  wunex3  9848  rankcf  9884  grur1  9927  elhf2  32603  hfuni  32612  dfac11  38133
  Copyright terms: Public domain W3C validator