Theorem rankon 9484

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9483	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6304	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6956	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836   “ cima 5583  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  𝑅₁cr1 9451  rankcrnk 9452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-r1 9453  df-rank 9454

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9487  rankr1bg  9492  rankr1clem  9509  rankr1c  9510  rankpwi  9512  rankelb  9513  wfelirr  9514  rankval3b  9515  ranksnb  9516  rankr1a  9525  bndrank  9530  unbndrank  9531  rankunb  9539  rankprb  9540  rankuni2b  9542  rankuni  9552  rankuniss  9555  rankval4  9556  rankbnd2  9558  rankc1  9559  rankc2  9560  rankelun  9561  rankelpr  9562  rankelop  9563  rankmapu  9567  rankxplim  9568  rankxplim3  9570  rankxpsuc  9571  tcrank  9573  scottex  9574  scott0  9575  dfac12lem2  9831  hsmexlem5  10117  r1limwun  10423  wunex3  10428  rankcf  10464  grur1  10507  elhf2  34404  hfuni  34413  dfac11  40803  gruex  41805