Theorem rankon 9755

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9754	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6403	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7081	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4867   “ cima 5652  Oncon0 6348  ‘cfv 6523  𝑅₁cr1 9722  rankcrnk 9723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-r1 9724  df-rank 9725

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9758  rankr1bg  9763  rankr1clem  9780  rankr1c  9781  rankpwi  9783  rankelb  9784  wfelirr  9785  rankval3b  9786  ranksnb  9787  rankr1a  9796  bndrank  9801  unbndrank  9802  rankunb  9810  rankprb  9811  rankuni2b  9813  rankuni  9823  rankuniss  9826  rankval4  9827  rankbnd2  9829  rankc1  9830  rankc2  9831  rankelun  9832  rankelpr  9833  rankelop  9834  rankmapu  9838  rankxplim  9839  rankxplim3  9841  rankxpsuc  9842  tcrank  9844  scottex  9845  scott0  9846  dfac12lem2  10103  hsmexlem5  10389  r1limwun  10696  wunex3  10701  rankcf  10737  grur1  10780  rankval4b  35400  onvf1odlem4  35453  elhf2  36530  hfuni  36539  dfac11  43644  gruex  44879