Theorem rankon 9709

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9708	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6371	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7043	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4862   “ cima 5626  Oncon0 6316  ‘cfv 6491  𝑅₁cr1 9676  rankcrnk 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-r1 9678  df-rank 9679

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9712  rankr1bg  9717  rankr1clem  9734  rankr1c  9735  rankpwi  9737  rankelb  9738  wfelirr  9739  rankval3b  9740  ranksnb  9741  rankr1a  9750  bndrank  9755  unbndrank  9756  rankunb  9764  rankprb  9765  rankuni2b  9767  rankuni  9777  rankuniss  9780  rankval4  9781  rankbnd2  9783  rankc1  9784  rankc2  9785  rankelun  9786  rankelpr  9787  rankelop  9788  rankmapu  9792  rankxplim  9793  rankxplim3  9795  rankxpsuc  9796  tcrank  9798  scottex  9799  scott0  9800  dfac12lem2  10057  hsmexlem5  10342  r1limwun  10649  wunex3  10654  rankcf  10690  grur1  10733  rankval4b  35235  onvf1odlem4  35279  elhf2  36348  hfuni  36357  dfac11  43341  gruex  44576