Theorem rankon 9766

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9765	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7094	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  ∪ cuni 4876   “ cima 5665  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9733  rankcrnk 9734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-r1 9735  df-rank 9736

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9769  rankr1bg  9774  rankr1clem  9791  rankr1c  9792  rankpwi  9794  rankelb  9795  wfelirr  9796  rankval3b  9797  ranksnb  9798  rankr1a  9807  bndrank  9812  unbndrank  9813  rankunb  9821  rankprb  9822  rankuni2b  9824  rankuni  9834  rankuniss  9837  rankval4  9838  rankbnd2  9840  rankc1  9841  rankc2  9842  rankelun  9843  rankelpr  9844  rankelop  9845  rankmapu  9849  rankxplim  9850  rankxplim3  9852  rankxpsuc  9853  tcrank  9855  scottex  9858  scott0  9859  dfac12lem2  10127  hsmexlem5  10413  r1limwun  10720  wunex3  10725  rankcf  10761  grur1  10804  rankval4b  35435  onvf1odlem4  35488  elhf2  36565  hfuni  36574  dfac11  43680  gruex  44899