Theorem rankon 9803

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9802	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6418	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7098	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4866   “ cima 5653  Oncon0 6362  ‘cfv 6538  𝑅₁cr1 9766  rankcrnk 9767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-r1 9768  df-rank 9769

This theorem is used by:  rankr1ai  9806  rankr1bg  9811  rankr1clem  9829  rankr1c  9830  rankpwi  9832  rankelb  9833  wfelirr  9834  rankval3b  9836  ranksnb  9837  rankr1a  9848  bndrank  9854  unbndrank  9855  rankunb  9864  rankprb  9865  rankuni2b  9867  rankuni  9879  rankval4b  9880  rankuniss  9883  rankval4  9884  rankbnd2  9886  rankc1  9887  rankc2  9888  rankelun  9889  rankelpr  9890  rankelop  9891  rankmapu  9895  rankxplim  9896  rankxplim3  9898  rankxpsuc  9899  tcrank  9901  elhf2  9910  hfuniOLD  9925  scottex  9933  scottexOLD  9934  scott0b  9937  scott0OLD  9938  dfac12lem2  10223  hsmexlem5  10508  r1limwun  10821  wunex3  10826  rankcf  10862  grur1  10905  nelscottrankgt  35749  rankscottu  35753  scottssr1  35754  onvf1odlem4  35885  onprcf1acwevdlem2  35896  dfac11  44064  gruex  45282