Theorem rankon 9711

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9710	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6373	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7045	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4864   “ cima 5628  Oncon0 6318  ‘cfv 6493  𝑅₁cr1 9678  rankcrnk 9679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9680  df-rank 9681

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9714  rankr1bg  9719  rankr1clem  9736  rankr1c  9737  rankpwi  9739  rankelb  9740  wfelirr  9741  rankval3b  9742  ranksnb  9743  rankr1a  9752  bndrank  9757  unbndrank  9758  rankunb  9766  rankprb  9767  rankuni2b  9769  rankuni  9779  rankuniss  9782  rankval4  9783  rankbnd2  9785  rankc1  9786  rankc2  9787  rankelun  9788  rankelpr  9789  rankelop  9790  rankmapu  9794  rankxplim  9795  rankxplim3  9797  rankxpsuc  9798  tcrank  9800  scottex  9801  scott0  9802  dfac12lem2  10059  hsmexlem5  10344  r1limwun  10651  wunex3  10656  rankcf  10692  grur1  10735  rankval4b  35258  onvf1odlem4  35302  elhf2  36371  hfuni  36380  dfac11  43371  gruex  44606