Theorem rankon 9792

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9791	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6412	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7093	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4902   “ cima 5672  Oncon0 6358  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9795  rankr1bg  9800  rankr1clem  9817  rankr1c  9818  rankpwi  9820  rankelb  9821  wfelirr  9822  rankval3b  9823  ranksnb  9824  rankr1a  9833  bndrank  9838  unbndrank  9839  rankunb  9847  rankprb  9848  rankuni2b  9850  rankuni  9860  rankuniss  9863  rankval4  9864  rankbnd2  9866  rankc1  9867  rankc2  9868  rankelun  9869  rankelpr  9870  rankelop  9871  rankmapu  9875  rankxplim  9876  rankxplim3  9878  rankxpsuc  9879  tcrank  9881  scottex  9882  scott0  9883  dfac12lem2  10141  hsmexlem5  10427  r1limwun  10733  wunex3  10738  rankcf  10774  grur1  10817  elhf2  35680  hfuni  35689  dfac11  42387  gruex  43638