Theorem rankon 9833

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9832	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6440	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7118	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4912   “ cima 5692  Oncon0 6386  ‘cfv 6563  𝑅₁cr1 9800  rankcrnk 9801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-r1 9802  df-rank 9803

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9836  rankr1bg  9841  rankr1clem  9858  rankr1c  9859  rankpwi  9861  rankelb  9862  wfelirr  9863  rankval3b  9864  ranksnb  9865  rankr1a  9874  bndrank  9879  unbndrank  9880  rankunb  9888  rankprb  9889  rankuni2b  9891  rankuni  9901  rankuniss  9904  rankval4  9905  rankbnd2  9907  rankc1  9908  rankc2  9909  rankelun  9910  rankelpr  9911  rankelop  9912  rankmapu  9916  rankxplim  9917  rankxplim3  9919  rankxpsuc  9920  tcrank  9922  scottex  9923  scott0  9924  dfac12lem2  10183  hsmexlem5  10468  r1limwun  10774  wunex3  10779  rankcf  10815  grur1  10858  elhf2  36157  hfuni  36166  dfac11  43051  gruex  44294