Theorem rankon 9809

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 9808	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 6407	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7088	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4883   “ cima 5657  Oncon0 6352  ‘cfv 6531  𝑅₁cr1 9776  rankcrnk 9777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-r1 9778  df-rank 9779

This theorem is referenced by:  rankr1ai  9812  rankr1bg  9817  rankr1clem  9834  rankr1c  9835  rankpwi  9837  rankelb  9838  wfelirr  9839  rankval3b  9840  ranksnb  9841  rankr1a  9850  bndrank  9855  unbndrank  9856  rankunb  9864  rankprb  9865  rankuni2b  9867  rankuni  9877  rankuniss  9880  rankval4  9881  rankbnd2  9883  rankc1  9884  rankc2  9885  rankelun  9886  rankelpr  9887  rankelop  9888  rankmapu  9892  rankxplim  9893  rankxplim3  9895  rankxpsuc  9896  tcrank  9898  scottex  9899  scott0  9900  dfac12lem2  10159  hsmexlem5  10444  r1limwun  10750  wunex3  10755  rankcf  10791  grur1  10834  elhf2  36193  hfuni  36202  dfac11  43086  gruex  44322