Theorem cardon 10062

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 10061	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6444	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7130	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108  Oncon0 6388  ‘cfv 6566   ≈ cen 9008  cardccrd 10053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-card 10057

This theorem is used by:  isnum3  10072  cardidm  10077  ficardom  10079  cardne  10083  carden2b  10085  cardlim  10090  cardsdomelir  10091  cardsdomel  10092  iscard  10093  iscard2  10094  carddom2  10095  carduni  10101  cardom  10106  cardsdom2  10108  domtri2  10109  cardval2  10111  infxpidm2  10135  dfac8b  10149  numdom  10156  indcardi  10159  alephnbtwn  10189  alephnbtwn2  10190  alephsucdom  10197  cardaleph  10207  iscard3  10211  alephinit  10213  alephsson  10218  alephval3  10228  dfac12r  10264  dfac12k  10265  cardadju  10312  djunum  10313  pwsdompw  10320  cff  10364  cardcf  10368  cfonOLD  10372  cfeq0  10373  cfsuc  10374  cff1  10375  cfflb  10376  cflim2  10380  cfss  10382  fin1a2lem9  10525  ttukeylem6  10631  ttukeylem7  10632  unsnen  10676  inar1  10899  tskcard  10905  tskuni  10907  gruina  10942  unidifsnel  33229  unidifsnne  33230  findcard4  38900  iscard4  44795  minregex  44796