Theorem cardon 9939

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9938	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6419	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7100	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  Oncon0 6365  ‘cfv 6544   ≈ cen 8936  cardccrd 9930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-card 9934

This theorem is referenced by:  isnum3  9949  cardidm  9954  ficardom  9956  cardne  9960  carden2b  9962  cardlim  9967  cardsdomelir  9968  cardsdomel  9969  iscard  9970  iscard2  9971  carddom2  9972  carduni  9976  cardom  9981  cardsdom2  9983  domtri2  9984  cardval2  9986  infxpidm2  10012  dfac8b  10026  numdom  10033  indcardi  10036  alephnbtwn  10066  alephnbtwn2  10067  alephsucdom  10074  cardaleph  10084  iscard3  10088  alephinit  10090  alephsson  10095  alephval3  10105  dfac12r  10141  dfac12k  10142  cardadju  10189  djunum  10190  pwsdompw  10199  cff  10243  cardcf  10247  cfon  10250  cfeq0  10251  cfsuc  10252  cff1  10253  cfflb  10254  cflim2  10258  cfss  10260  fin1a2lem9  10403  ttukeylem6  10509  ttukeylem7  10510  unsnen  10548  inar1  10770  tskcard  10776  tskuni  10778  gruina  10813  iscard4  42284  minregex  42285