Theorem cardon 9868

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9867	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6378	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7050	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  Oncon0 6323  ‘cfv 6498   ≈ cen 8890  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-card 9863

This theorem is referenced by:  isnum3  9878  cardidm  9883  ficardom  9885  cardne  9889  carden2b  9891  cardlim  9896  cardsdomelir  9897  cardsdomel  9898  iscard  9899  iscard2  9900  carddom2  9901  carduni  9905  cardom  9910  cardsdom2  9912  domtri2  9913  cardval2  9915  infxpidm2  9939  dfac8b  9953  numdom  9960  indcardi  9963  alephnbtwn  9993  alephnbtwn2  9994  alephsucdom  10001  cardaleph  10011  iscard3  10015  alephinit  10017  alephsson  10022  alephval3  10032  dfac12r  10069  dfac12k  10070  cardadju  10117  djunum  10118  pwsdompw  10125  cff  10170  cardcf  10174  cfon  10177  cfeq0  10178  cfsuc  10179  cff1  10180  cfflb  10181  cflim2  10185  cfss  10187  fin1a2lem9  10330  ttukeylem6  10436  ttukeylem7  10437  unsnen  10475  inar1  10698  tskcard  10704  tskuni  10706  gruina  10741  iscard4  43960  minregex  43961