Theorem cardon 9862

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9861	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6373	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7045	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  Oncon0 6318  ‘cfv 6493   ≈ cen 8884  cardccrd 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-card 9857

This theorem is referenced by:  isnum3  9872  cardidm  9877  ficardom  9879  cardne  9883  carden2b  9885  cardlim  9890  cardsdomelir  9891  cardsdomel  9892  iscard  9893  iscard2  9894  carddom2  9895  carduni  9899  cardom  9904  cardsdom2  9906  domtri2  9907  cardval2  9909  infxpidm2  9933  dfac8b  9947  numdom  9954  indcardi  9957  alephnbtwn  9987  alephnbtwn2  9988  alephsucdom  9995  cardaleph  10005  iscard3  10009  alephinit  10011  alephsson  10016  alephval3  10026  dfac12r  10063  dfac12k  10064  cardadju  10111  djunum  10112  pwsdompw  10119  cff  10164  cardcf  10168  cfon  10171  cfeq0  10172  cfsuc  10173  cff1  10174  cfflb  10175  cflim2  10179  cfss  10181  fin1a2lem9  10324  ttukeylem6  10430  ttukeylem7  10431  unsnen  10469  inar1  10692  tskcard  10698  tskuni  10700  gruina  10735  iscard4  43981  minregex  43982