Theorem cardon 9984

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9983	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6438	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7118	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {cab 2714  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  ‘cfv 6561   ≈ cen 8982  cardccrd 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-card 9979

This theorem is referenced by:  isnum3  9994  cardidm  9999  ficardom  10001  cardne  10005  carden2b  10007  cardlim  10012  cardsdomelir  10013  cardsdomel  10014  iscard  10015  iscard2  10016  carddom2  10017  carduni  10021  cardom  10026  cardsdom2  10028  domtri2  10029  cardval2  10031  infxpidm2  10057  dfac8b  10071  numdom  10078  indcardi  10081  alephnbtwn  10111  alephnbtwn2  10112  alephsucdom  10119  cardaleph  10129  iscard3  10133  alephinit  10135  alephsson  10140  alephval3  10150  dfac12r  10187  dfac12k  10188  cardadju  10235  djunum  10236  pwsdompw  10243  cff  10288  cardcf  10292  cfon  10295  cfeq0  10296  cfsuc  10297  cff1  10298  cfflb  10299  cflim2  10303  cfss  10305  fin1a2lem9  10448  ttukeylem6  10554  ttukeylem7  10555  unsnen  10593  inar1  10815  tskcard  10821  tskuni  10823  gruina  10858  iscard4  43546  minregex  43547