Theorem cardon 9904

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9903	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6390	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7073	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  Oncon0 6335  ‘cfv 6514   ≈ cen 8918  cardccrd 9895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-card 9899

This theorem is referenced by:  isnum3  9914  cardidm  9919  ficardom  9921  cardne  9925  carden2b  9927  cardlim  9932  cardsdomelir  9933  cardsdomel  9934  iscard  9935  iscard2  9936  carddom2  9937  carduni  9941  cardom  9946  cardsdom2  9948  domtri2  9949  cardval2  9951  infxpidm2  9977  dfac8b  9991  numdom  9998  indcardi  10001  alephnbtwn  10031  alephnbtwn2  10032  alephsucdom  10039  cardaleph  10049  iscard3  10053  alephinit  10055  alephsson  10060  alephval3  10070  dfac12r  10107  dfac12k  10108  cardadju  10155  djunum  10156  pwsdompw  10163  cff  10208  cardcf  10212  cfon  10215  cfeq0  10216  cfsuc  10217  cff1  10218  cfflb  10219  cflim2  10223  cfss  10225  fin1a2lem9  10368  ttukeylem6  10474  ttukeylem7  10475  unsnen  10513  inar1  10735  tskcard  10741  tskuni  10743  gruina  10778  iscard4  43529  minregex  43530