MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardon 8968
Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardon (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardf2 8967 . 2 card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On
2 0elon 5919 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6511 1 (card‘𝐴) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  {cab 2757  wrex 3062   class class class wbr 4786  Oncon0 5864  cfv 6029  cen 8104  cardccrd 8959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5867  df-on 5868  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-fv 6037  df-card 8963
This theorem is referenced by:  isnum3  8978  cardidm  8983  ficardom  8985  cardne  8989  carden2b  8991  cardlim  8996  cardsdomelir  8997  cardsdomel  8998  iscard  8999  iscard2  9000  carddom2  9001  carduni  9005  cardom  9010  cardsdom2  9012  domtri2  9013  cardval2  9015  infxpidm2  9038  dfac8b  9052  numdom  9059  indcardi  9062  alephnbtwn  9092  alephnbtwn2  9093  alephsucdom  9100  cardaleph  9110  iscard3  9114  alephinit  9116  alephsson  9121  alephval3  9131  dfac12r  9168  dfac12k  9169  cardacda  9220  cdanum  9221  pwsdompw  9226  cff  9270  cardcf  9274  cfon  9277  cfeq0  9278  cfsuc  9279  cff1  9280  cfflb  9281  cflim2  9285  cfss  9287  fin1a2lem9  9430  ttukeylem6  9536  ttukeylem7  9537  unsnen  9575  inar1  9797  tskcard  9803  tskuni  9805  gruina  9840
  Copyright terms: Public domain W3C validator