Theorem cardon 9981

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9980	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6439	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7117	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  {cab 2711  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  Oncon0 6385  ‘cfv 6562   ≈ cen 8980  cardccrd 9972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-fv 6570  df-card 9976

This theorem is referenced by:  isnum3  9991  cardidm  9996  ficardom  9998  cardne  10002  carden2b  10004  cardlim  10009  cardsdomelir  10010  cardsdomel  10011  iscard  10012  iscard2  10013  carddom2  10014  carduni  10018  cardom  10023  cardsdom2  10025  domtri2  10026  cardval2  10028  infxpidm2  10054  dfac8b  10068  numdom  10075  indcardi  10078  alephnbtwn  10108  alephnbtwn2  10109  alephsucdom  10116  cardaleph  10126  iscard3  10130  alephinit  10132  alephsson  10137  alephval3  10147  dfac12r  10184  dfac12k  10185  cardadju  10232  djunum  10233  pwsdompw  10240  cff  10285  cardcf  10289  cfon  10292  cfeq0  10293  cfsuc  10294  cff1  10295  cfflb  10296  cflim2  10300  cfss  10302  fin1a2lem9  10445  ttukeylem6  10551  ttukeylem7  10552  unsnen  10590  inar1  10812  tskcard  10818  tskuni  10820  gruina  10855  iscard4  43522  minregex  43523