Theorem cardon 9859

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9858	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6365	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7039	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063   class class class wbr 5072  Oncon0 6310  ‘cfv 6485   ≈ cen 8880  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-card 9854

This theorem is referenced by:  isnum3  9869  cardidm  9874  ficardom  9876  cardne  9880  carden2b  9882  cardlim  9887  cardsdomelir  9888  cardsdomel  9889  iscard  9890  iscard2  9891  carddom2  9892  carduni  9896  cardom  9901  cardsdom2  9903  domtri2  9904  cardval2  9906  infxpidm2  9930  dfac8b  9944  numdom  9951  indcardi  9954  alephnbtwn  9984  alephnbtwn2  9985  alephsucdom  9992  cardaleph  10002  iscard3  10006  alephinit  10008  alephsson  10013  alephval3  10023  dfac12r  10060  dfac12k  10061  cardadju  10108  djunum  10109  pwsdompw  10116  cff  10161  cardcf  10165  cfon  10168  cfeq0  10169  cfsuc  10170  cff1  10171  cfflb  10172  cflim2  10176  cfss  10178  fin1a2lem9  10321  ttukeylem6  10427  ttukeylem7  10428  unsnen  10466  inar1  10689  tskcard  10695  tskuni  10697  gruina  10732  iscard4  43977  minregex  43978