Theorem cardon 9902

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9901	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6401	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7079	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  Oncon0 6346  ‘cfv 6521   ≈ cen 8924  cardccrd 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-card 9897

This theorem is referenced by:  isnum3  9912  cardidm  9917  ficardom  9919  cardne  9923  carden2b  9925  cardlim  9930  cardsdomelir  9931  cardsdomel  9932  iscard  9933  iscard2  9934  carddom2  9935  carduni  9939  cardom  9944  cardsdom2  9946  domtri2  9947  cardval2  9949  infxpidm2  9973  dfac8b  9987  numdom  9994  indcardi  9997  alephnbtwn  10027  alephnbtwn2  10028  alephsucdom  10035  cardaleph  10045  iscard3  10049  alephinit  10051  alephsson  10056  alephval3  10066  dfac12r  10103  dfac12k  10104  cardadju  10151  djunum  10152  pwsdompw  10159  cff  10204  cardcf  10208  cfonOLD  10212  cfeq0  10213  cfsuc  10214  cff1  10215  cfflb  10216  cflim2  10220  cfss  10222  fin1a2lem9  10365  ttukeylem6  10471  ttukeylem7  10472  unsnen  10510  inar1  10733  tskcard  10739  tskuni  10741  gruina  10776  iscard4  44109  minregex  44110