Theorem cardon 9856

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9855	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6372	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7043	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   ≈ cen 8880  cardccrd 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-card 9851

This theorem is referenced by:  isnum3  9866  cardidm  9871  ficardom  9873  cardne  9877  carden2b  9879  cardlim  9884  cardsdomelir  9885  cardsdomel  9886  iscard  9887  iscard2  9888  carddom2  9889  carduni  9893  cardom  9898  cardsdom2  9900  domtri2  9901  cardval2  9903  infxpidm2  9927  dfac8b  9941  numdom  9948  indcardi  9951  alephnbtwn  9981  alephnbtwn2  9982  alephsucdom  9989  cardaleph  9999  iscard3  10003  alephinit  10005  alephsson  10010  alephval3  10020  dfac12r  10057  dfac12k  10058  cardadju  10105  djunum  10106  pwsdompw  10113  cff  10158  cardcf  10162  cfon  10165  cfeq0  10166  cfsuc  10167  cff1  10168  cfflb  10169  cflim2  10173  cfss  10175  fin1a2lem9  10318  ttukeylem6  10424  ttukeylem7  10425  unsnen  10463  inar1  10686  tskcard  10692  tskuni  10694  gruina  10729  iscard4  43784  minregex  43785