Theorem cardon 9946

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9945	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6420	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7097	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  Oncon0 6364  ‘cfv 6540   ≈ cen 8946  cardccrd 9937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-card 9941

This theorem is used by:  isnum3  9956  cardidm  9961  ficardom  9963  cardne  9967  carden2b  9969  cardlim  9974  cardsdomelir  9975  cardsdomel  9976  iscard  9977  iscard2  9978  carddom2  9979  carduni  9983  cardom  9988  cardsdom2  9990  domtri2  9991  cardval2  9993  infxpidm2  10017  dfac8b  10031  numdom  10038  indcardi  10041  alephnbtwn  10071  alephnbtwn2  10072  alephsucdom  10079  cardaleph  10089  iscard3  10093  alephinit  10095  alephsson  10100  alephval3  10110  dfac12r  10146  dfac12k  10147  cardadju  10194  djunum  10195  pwsdompw  10202  cff  10246  cardcf  10250  cfonOLD  10254  cfeq0  10255  cfsuc  10256  cff1  10257  cfflb  10258  cflim2  10262  cfss  10264  fin1a2lem9  10407  ttukeylem6  10513  ttukeylem7  10514  unsnen  10554  inar1  10777  tskcard  10783  tskuni  10785  gruina  10820  findcard4  38424  iscard4  44319  minregex  44320