Theorem cardon 9958

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9957	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6407	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7088	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  Oncon0 6352  ‘cfv 6531   ≈ cen 8956  cardccrd 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-card 9953

This theorem is referenced by:  isnum3  9968  cardidm  9973  ficardom  9975  cardne  9979  carden2b  9981  cardlim  9986  cardsdomelir  9987  cardsdomel  9988  iscard  9989  iscard2  9990  carddom2  9991  carduni  9995  cardom  10000  cardsdom2  10002  domtri2  10003  cardval2  10005  infxpidm2  10031  dfac8b  10045  numdom  10052  indcardi  10055  alephnbtwn  10085  alephnbtwn2  10086  alephsucdom  10093  cardaleph  10103  iscard3  10107  alephinit  10109  alephsson  10114  alephval3  10124  dfac12r  10161  dfac12k  10162  cardadju  10209  djunum  10210  pwsdompw  10217  cff  10262  cardcf  10266  cfon  10269  cfeq0  10270  cfsuc  10271  cff1  10272  cfflb  10273  cflim2  10277  cfss  10279  fin1a2lem9  10422  ttukeylem6  10528  ttukeylem7  10529  unsnen  10567  inar1  10789  tskcard  10795  tskuni  10797  gruina  10832  iscard4  43557  minregex  43558