Theorem cardon 9854

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9853	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6370	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7041	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  {cab 2712  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  Oncon0 6315  ‘cfv 6490   ≈ cen 8878  cardccrd 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-card 9849

This theorem is referenced by:  isnum3  9864  cardidm  9869  ficardom  9871  cardne  9875  carden2b  9877  cardlim  9882  cardsdomelir  9883  cardsdomel  9884  iscard  9885  iscard2  9886  carddom2  9887  carduni  9891  cardom  9896  cardsdom2  9898  domtri2  9899  cardval2  9901  infxpidm2  9925  dfac8b  9939  numdom  9946  indcardi  9949  alephnbtwn  9979  alephnbtwn2  9980  alephsucdom  9987  cardaleph  9997  iscard3  10001  alephinit  10003  alephsson  10008  alephval3  10018  dfac12r  10055  dfac12k  10056  cardadju  10103  djunum  10104  pwsdompw  10111  cff  10156  cardcf  10160  cfon  10163  cfeq0  10164  cfsuc  10165  cff1  10166  cfflb  10167  cflim2  10171  cfss  10173  fin1a2lem9  10316  ttukeylem6  10422  ttukeylem7  10423  unsnen  10461  inar1  10684  tskcard  10690  tskuni  10692  gruina  10727  iscard4  43716  minregex  43717