Theorem cardon 9868

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9867	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6380	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7052	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  Oncon0 6325  ‘cfv 6500   ≈ cen 8892  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-card 9863

This theorem is referenced by:  isnum3  9878  cardidm  9883  ficardom  9885  cardne  9889  carden2b  9891  cardlim  9896  cardsdomelir  9897  cardsdomel  9898  iscard  9899  iscard2  9900  carddom2  9901  carduni  9905  cardom  9910  cardsdom2  9912  domtri2  9913  cardval2  9915  infxpidm2  9939  dfac8b  9953  numdom  9960  indcardi  9963  alephnbtwn  9993  alephnbtwn2  9994  alephsucdom  10001  cardaleph  10011  iscard3  10015  alephinit  10017  alephsson  10022  alephval3  10032  dfac12r  10069  dfac12k  10070  cardadju  10117  djunum  10118  pwsdompw  10125  cff  10170  cardcf  10174  cfon  10177  cfeq0  10178  cfsuc  10179  cff1  10180  cfflb  10181  cflim2  10185  cfss  10187  fin1a2lem9  10330  ttukeylem6  10436  ttukeylem7  10437  unsnen  10475  inar1  10698  tskcard  10704  tskuni  10706  gruina  10741  iscard4  43889  minregex  43890