Theorem cardon 9357

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9356	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6212	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6841	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  Oncon0 6159  ‘cfv 6324   ≈ cen 8489  cardccrd 9348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-card 9352

This theorem is referenced by:  isnum3  9367  cardidm  9372  ficardom  9374  cardne  9378  carden2b  9380  cardlim  9385  cardsdomelir  9386  cardsdomel  9387  iscard  9388  iscard2  9389  carddom2  9390  carduni  9394  cardom  9399  cardsdom2  9401  domtri2  9402  cardval2  9404  infxpidm2  9428  dfac8b  9442  numdom  9449  indcardi  9452  alephnbtwn  9482  alephnbtwn2  9483  alephsucdom  9490  cardaleph  9500  iscard3  9504  alephinit  9506  alephsson  9511  alephval3  9521  dfac12r  9557  dfac12k  9558  cardadju  9605  djunum  9606  pwsdompw  9615  cff  9659  cardcf  9663  cfon  9666  cfeq0  9667  cfsuc  9668  cff1  9669  cfflb  9670  cflim2  9674  cfss  9676  fin1a2lem9  9819  ttukeylem6  9925  ttukeylem7  9926  unsnen  9964  inar1  10186  tskcard  10192  tskuni  10194  gruina  10229  iscard4  40241