Theorem cardon 9953

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9952	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7095	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   ≈ cen 8953  cardccrd 9944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-card 9948

This theorem is used by:  isnum3  9963  cardidm  9968  ficardom  9970  cardne  9974  carden2b  9976  cardlim  9981  cardsdomelir  9982  cardsdomel  9983  iscard  9984  iscard2  9985  carddom2  9986  carduni  9990  cardom  9995  cardsdom2  9997  domtri2  9998  cardval2  10000  infxpidm2  10024  dfac8b  10038  numdom  10045  indcardi  10048  alephnbtwn  10078  alephnbtwn2  10079  alephsucdom  10086  cardaleph  10096  iscard3  10100  alephinit  10102  alephsson  10107  alephval3  10117  dfac12r  10153  dfac12k  10154  cardadju  10201  djunum  10202  pwsdompw  10209  cff  10253  cardcf  10257  cfonOLD  10261  cfeq0  10262  cfsuc  10263  cff1  10264  cfflb  10265  cflim2  10269  cfss  10271  fin1a2lem9  10414  ttukeylem6  10520  ttukeylem7  10521  unsnen  10565  inar1  10788  tskcard  10794  tskuni  10796  gruina  10831  findcard4  38471  iscard4  44381  minregex  44382