Theorem cardon 9930

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9929	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6417	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7094	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   ≈ cen 8940  cardccrd 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-card 9925

This theorem is referenced by:  isnum3  9940  cardidm  9945  ficardom  9947  cardne  9951  carden2b  9953  cardlim  9958  cardsdomelir  9959  cardsdomel  9960  iscard  9961  iscard2  9962  carddom2  9963  carduni  9967  cardom  9972  cardsdom2  9974  domtri2  9975  cardval2  9977  infxpidm2  10001  dfac8b  10015  numdom  10022  indcardi  10025  alephnbtwn  10055  alephnbtwn2  10056  alephsucdom  10063  cardaleph  10073  iscard3  10077  alephinit  10079  alephsson  10084  alephval3  10094  dfac12r  10130  dfac12k  10131  cardadju  10178  djunum  10179  pwsdompw  10186  cff  10231  cardcf  10235  cfonOLD  10239  cfeq0  10240  cfsuc  10241  cff1  10242  cfflb  10243  cflim2  10247  cfss  10249  fin1a2lem9  10392  ttukeylem6  10498  ttukeylem7  10499  unsnen  10537  inar1  10760  tskcard  10766  tskuni  10768  gruina  10803  iscard4  44151  minregex  44152