Theorem cardon 10013

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 10012	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6449	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7132	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  Oncon0 6395  ‘cfv 6573   ≈ cen 9000  cardccrd 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-card 10008

This theorem is referenced by:  isnum3  10023  cardidm  10028  ficardom  10030  cardne  10034  carden2b  10036  cardlim  10041  cardsdomelir  10042  cardsdomel  10043  iscard  10044  iscard2  10045  carddom2  10046  carduni  10050  cardom  10055  cardsdom2  10057  domtri2  10058  cardval2  10060  infxpidm2  10086  dfac8b  10100  numdom  10107  indcardi  10110  alephnbtwn  10140  alephnbtwn2  10141  alephsucdom  10148  cardaleph  10158  iscard3  10162  alephinit  10164  alephsson  10169  alephval3  10179  dfac12r  10216  dfac12k  10217  cardadju  10264  djunum  10265  pwsdompw  10272  cff  10317  cardcf  10321  cfon  10324  cfeq0  10325  cfsuc  10326  cff1  10327  cfflb  10328  cflim2  10332  cfss  10334  fin1a2lem9  10477  ttukeylem6  10583  ttukeylem7  10584  unsnen  10622  inar1  10844  tskcard  10850  tskuni  10852  gruina  10887  iscard4  43495  minregex  43496