Theorem cardon 9837

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9836	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6361	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7031	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  Oncon0 6306  ‘cfv 6481   ≈ cen 8866  cardccrd 9828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-card 9832

This theorem is referenced by:  isnum3  9847  cardidm  9852  ficardom  9854  cardne  9858  carden2b  9860  cardlim  9865  cardsdomelir  9866  cardsdomel  9867  iscard  9868  iscard2  9869  carddom2  9870  carduni  9874  cardom  9879  cardsdom2  9881  domtri2  9882  cardval2  9884  infxpidm2  9908  dfac8b  9922  numdom  9929  indcardi  9932  alephnbtwn  9962  alephnbtwn2  9963  alephsucdom  9970  cardaleph  9980  iscard3  9984  alephinit  9986  alephsson  9991  alephval3  10001  dfac12r  10038  dfac12k  10039  cardadju  10086  djunum  10087  pwsdompw  10094  cff  10139  cardcf  10143  cfon  10146  cfeq0  10147  cfsuc  10148  cff1  10149  cfflb  10150  cflim2  10154  cfss  10156  fin1a2lem9  10299  ttukeylem6  10405  ttukeylem7  10406  unsnen  10444  inar1  10666  tskcard  10672  tskuni  10674  gruina  10709  iscard4  43636  minregex  43637