Theorem cardon 9926

Description: The cardinal number of a set is an ordinal number. Proposition 10.6(1) of [TakeutiZaring] p. 85. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cardon	⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem cardon

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardf2 9925	. 2 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
2		0elon 6416	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7093	1 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  {cab 2741  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  Oncon0 6360  ‘cfv 6536   ≈ cen 8936  cardccrd 9917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-card 9921

This theorem is referenced by:  isnum3  9936  cardidm  9941  ficardom  9943  cardne  9947  carden2b  9949  cardlim  9954  cardsdomelir  9955  cardsdomel  9956  iscard  9957  iscard2  9958  carddom2  9959  carduni  9963  cardom  9968  cardsdom2  9970  domtri2  9971  cardval2  9973  infxpidm2  9997  dfac8b  10011  numdom  10018  indcardi  10021  alephnbtwn  10051  alephnbtwn2  10052  alephsucdom  10059  cardaleph  10069  iscard3  10073  alephinit  10075  alephsson  10080  alephval3  10090  dfac12r  10126  dfac12k  10127  cardadju  10174  djunum  10175  pwsdompw  10182  cff  10226  cardcf  10230  cfonOLD  10234  cfeq0  10235  cfsuc  10236  cff1  10237  cfflb  10238  cflim2  10242  cfss  10244  fin1a2lem9  10387  ttukeylem6  10493  ttukeylem7  10494  unsnen  10532  inar1  10755  tskcard  10761  tskuni  10763  gruina  10798  iscard4  44279  minregex  44280