Theorem smupf 16641

Description: The sequence of partial sums of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
smupf	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑝)   𝑃(𝑚, 𝑛, 𝑝)

Proof of Theorem smupf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12614	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		iftrue 4488	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4		0ex 5261	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6991	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
6	1, 5	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
7		0elpw 5317	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℕ0
8	6, 7	eqeltrdi 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 𝒫 ℕ0)
9		df-ov 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) = ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10		elpwi 4564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 → 𝑝 ⊆ ℕ0)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑝 ⊆ ℕ0)
12		ssrab2 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
13		sadcl 16625	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ⊆ ℕ0 ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
14	11, 12, 13	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
15		nn0ex 12605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	elpw2 5296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0 ↔ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0)
18	17	rgen2 3203	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})) = (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))
20	19	fmpo 8077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0 ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})):(𝒫 ℕ0 × ℕ0)⟶𝒫 ℕ0)
21	18, 20	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})):(𝒫 ℕ0 × ℕ0)⟶𝒫 ℕ0
22	21, 7	f0cli 7096	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 𝒫 ℕ0
23	9, 22	eqeltri 2857	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) ∈ 𝒫 ℕ0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) ∈ 𝒫 ℕ0)
25		nn0uz 12996	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26		0zd 12698	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27		fvexd 6898	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
28	8, 24, 25, 26, 27	seqf2 14157	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
29		smuval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
30	29	feq1i 6698	. 2 ⊢ (𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0 ↔ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
31	28, 30	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   − cmin 11534  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  seqcseq 14137   sadd csad 16583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-had 1624  df-cad 1640  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-seq 14138  df-sad 16614

This theorem is used by:  smupp1  16643  smuval2  16645  smupvallem  16646  smueqlem  16653