Theorem smupf 16417

Description: The sequence of partial sums of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
smuval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p	⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
smupf	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem smupf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4		0ex 5254	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6949	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
6	1, 5	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
7		0elpw 5303	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℕ0
8	6, 7	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 𝒫 ℕ0)
9		df-ov 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) = ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
10		elpwi 4563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 → 𝑝 ⊆ ℕ0)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑝 ⊆ ℕ0)
12		ssrab2 4034	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
13		sadcl 16401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ⊆ ℕ0 ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
14	11, 12, 13	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
15		nn0ex 12419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ∈ V
16	15	elpw2 5281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0 ↔ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ⊆ ℕ0)
17	14, 16	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0)
18	17	rgen2 3178	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0
19		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})) = (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))
20	19	fmpo 8022	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0∀𝑚 ∈ ℕ0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}) ∈ 𝒫 ℕ0 ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})):(𝒫 ℕ0 × ℕ0)⟶𝒫 ℕ0)
21	18, 20	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})):(𝒫 ℕ0 × ℕ0)⟶𝒫 ℕ0
22	21, 7	f0cli 7052	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 𝒫 ℕ0
23	9, 22	eqeltri 2833	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) ∈ 𝒫 ℕ0
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)}))𝑦) ∈ 𝒫 ℕ0)
25		nn0uz 12801	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26		0zd 12512	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27		fvexd 6857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
28	8, 24, 25, 26, 27	seqf2 13956	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
29		smuval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
30	29	feq1i 6661	. 2 ⊢ (𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0 ↔ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚 ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 − 𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
31	28, 30	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936   sadd csad 16359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sad 16390

This theorem is referenced by:  smupp1  16419  smuval2  16421  smupvallem  16422  smueqlem  16429