MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smupf 16419
Description: The sequence of partial sums of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
smupf (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)
Proof of Theorem smupf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12487 . . . . 5 0 ∈ β„•0
2 iftrue 4535 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))
4 0ex 5308 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6999 . . . . 5 (0 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) = βˆ…)
61, 5mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) = βˆ…)
7 0elpw 5355 . . . 4 βˆ… ∈ 𝒫 β„•0
86, 7eqeltrdi 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) ∈ 𝒫 β„•0)
9 df-ov 7412 . . . . 5 (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) = ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
10 elpwi 4610 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 β†’ 𝑝 βŠ† β„•0)
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑝 βŠ† β„•0)
12 ssrab2 4078 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
13 sadcl 16403 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 βŠ† β„•0 ∧ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
15 nn0ex 12478 . . . . . . . . . 10 β„•0 ∈ V
1615elpw2 5346 . . . . . . . . 9 ((𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0 ↔ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0)
1817rgen2 3198 . . . . . . 7 βˆ€π‘ ∈ 𝒫 β„•0βˆ€π‘š ∈ β„•0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})) = (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))
2019fmpo 8054 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 β„•0βˆ€π‘š ∈ β„•0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0 ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})):(𝒫 β„•0 Γ— β„•0)βŸΆπ’« β„•0)
2118, 20mpbi 229 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})):(𝒫 β„•0 Γ— β„•0)βŸΆπ’« β„•0
2221, 7f0cli 7100 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ 𝒫 β„•0
239, 22eqeltri 2830 . . . 4 (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) ∈ 𝒫 β„•0
2423a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„•0 ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) ∈ 𝒫 β„•0)
25 nn0uz 12864 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
26 0zd 12570 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
27 fvexd 6907 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜π‘₯) ∈ V)
288, 24, 25, 26, 27seqf2 13987 . 2 (πœ‘ β†’ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))):β„•0βŸΆπ’« β„•0)
29 smuval.p . . 3 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
3029feq1i 6709 . 2 (𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ↔ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))):β„•0βŸΆπ’« β„•0)
3128, 30sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  seqcseq 13966   sadd csad 16361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sad 16392
This theorem is referenced by:  smupp1  16421  smuval2  16423  smupvallem  16424  smueqlem  16431
  Copyright terms: Public domain W3C validator