MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smupf 16363
Description: The sequence of partial sums of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„•0)
smuval.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† β„•0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
Assertion
Ref Expression
smupf (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑛,𝑝,𝐴   πœ‘,𝑛   𝐡,π‘š,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(π‘š,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem smupf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12433 . . . . 5 0 ∈ β„•0
2 iftrue 4493 . . . . . 6 (𝑛 = 0 β†’ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)) = βˆ…)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))
4 0ex 5265 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6949 . . . . 5 (0 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) = βˆ…)
61, 5mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) = βˆ…)
7 0elpw 5312 . . . 4 βˆ… ∈ 𝒫 β„•0
86, 7eqeltrdi 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜0) ∈ 𝒫 β„•0)
9 df-ov 7361 . . . . 5 (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) = ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
10 elpwi 4568 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 β†’ 𝑝 βŠ† β„•0)
1110adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ 𝑝 βŠ† β„•0)
12 ssrab2 4038 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0
13 sadcl 16347 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 βŠ† β„•0 ∧ {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)} βŠ† β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
15 nn0ex 12424 . . . . . . . . . 10 β„•0 ∈ V
1615elpw2 5303 . . . . . . . . 9 ((𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0 ↔ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) βŠ† β„•0)
1714, 16sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0)
1817rgen2 3191 . . . . . . 7 βˆ€π‘ ∈ 𝒫 β„•0βˆ€π‘š ∈ β„•0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})) = (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))
2019fmpo 8001 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ ∈ 𝒫 β„•0βˆ€π‘š ∈ β„•0 (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}) ∈ 𝒫 β„•0 ↔ (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})):(𝒫 β„•0 Γ— β„•0)βŸΆπ’« β„•0)
2118, 20mpbi 229 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})):(𝒫 β„•0 Γ— β„•0)βŸΆπ’« β„•0
2221, 7f0cli 7049 . . . . 5 ((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©) ∈ 𝒫 β„•0
239, 22eqeltri 2830 . . . 4 (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) ∈ 𝒫 β„•0
2423a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 β„•0 ∧ 𝑦 ∈ V)) β†’ (π‘₯(𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)}))𝑦) ∈ 𝒫 β„•0)
25 nn0uz 12810 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
26 0zd 12516 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
27 fvexd 6858 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))β€˜π‘₯) ∈ V)
288, 24, 25, 26, 27seqf2 13933 . 2 (πœ‘ β†’ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))):β„•0βŸΆπ’« β„•0)
29 smuval.p . . 3 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1))))
3029feq1i 6660 . 2 (𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0 ↔ seq0((𝑝 ∈ 𝒫 β„•0, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ β„•0 ∣ (π‘š ∈ 𝐴 ∧ (𝑛 βˆ’ π‘š) ∈ 𝐡)})), (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, βˆ…, (𝑛 βˆ’ 1)))):β„•0βŸΆπ’« β„•0)
3128, 30sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•0βŸΆπ’« β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  π’« cpw 4561  βŸ¨cop 4593   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  seqcseq 13912   sadd csad 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-had 1596  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-seq 13913  df-sad 16336
This theorem is referenced by:  smupp1  16365  smuval2  16367  smupvallem  16368  smueqlem  16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator