Theorem ackbij1lem13 10250

Description: Lemma for ackbij1 10256. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10247	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7889	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 7101	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 8618	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 4387	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6893	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 10240	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 4388	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 10246	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2760	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15		nnacan 8642	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1457	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 229	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3939   ∩ cin 3940  ∅c0 4319  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ∪ ciun 4992   ↦ cmpt 5227   × cxp 5671  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ωcom 7865   +_o coa 8477  Fincfn 8957  cardccrd 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10251  ackbij1  10256