Theorem ackbij1lem13 10139

Description: Lemma for ackbij1 10145. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10136	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7829	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 7041	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 8530	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 4344	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6835	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 10129	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 4345	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 10135	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2764	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15		nnacan 8554	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1463	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 230	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806   +_o coa 8392  Fincfn 8881  cardccrd 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10140  ackbij1  10145