MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem13 10272
Description: Lemma for ackbij1 10278. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13 (𝐹‘∅) = ∅
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 10269 . . . . 5 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3 peano1 7911 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3f0cli 7117 . . . 4 (𝐹‘∅) ∈ ω
5 nna0 8643 . . . 4 ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7 un0 4393 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
87fveq2i 6908 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9 ackbij1lem3 10262 . . . . 5 (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
103, 9ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11 in0 4394 . . . 4 (∅ ∩ ∅) = ∅
121ackbij1lem9 10268 . . . 4 ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
1310, 10, 11, 12mp3an 1462 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
146, 8, 133eqtr2ri 2771 . 2 ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15 nnacan 8667 . . 3 (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
164, 4, 3, 15mp3an 1462 . 2 (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
1714, 16mpbi 230 1 (𝐹‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  cin 3949  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   ciun 4990  cmpt 5224   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  ωcom 7888   +o coa 8504  Fincfn 8986  cardccrd 9976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10273  ackbij1  10278
  Copyright terms: Public domain W3C validator