Theorem ackbij1lem13 10153

Description: Lemma for ackbij1 10159. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 10150	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7840	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 7050	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 8540	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 4334	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 10143	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 4335	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 10149	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2766	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15		nnacan 8564	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1464	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 230	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  𝒫 cpw 4541  {csn 4567  ∪ ciun 4933   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ωcom 7817   +_o coa 8402  Fincfn 8893  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  10154  ackbij1  10159