MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem13 9450
Description: Lemma for ackbij1 9456. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13 (𝐹‘∅) = ∅
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 9447 . . . . 5 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3 peano1 7414 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3f0cli 6685 . . . 4 (𝐹‘∅) ∈ ω
5 nna0 8029 . . . 4 ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7 un0 4224 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
87fveq2i 6499 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9 ackbij1lem3 9440 . . . . 5 (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
103, 9ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11 in0 4225 . . . 4 (∅ ∩ ∅) = ∅
121ackbij1lem9 9446 . . . 4 ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
1310, 10, 11, 12mp3an 1441 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
146, 8, 133eqtr2ri 2802 . 2 ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15 nnacan 8053 . . 3 (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
164, 4, 3, 15mp3an 1441 . 2 (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
1714, 16mpbi 222 1 (𝐹‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1508  wcel 2051  cun 3820  cin 3821  c0 4172  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   ciun 4788  cmpt 5004   × cxp 5401  cfv 6185  (class class class)co 6974  ωcom 7394   +o coa 7900  Fincfn 8304  cardccrd 9156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9451  ackbij1  9456
  Copyright terms: Public domain W3C validator