Theorem ackbij1lem13 9919

Description: Lemma for ackbij1 9925. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ackbij.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
ackbij1lem13	⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ackbij.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2	1	ackbij1lem10 9916	. . . . 5 ⊢ 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3		peano1 7710	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
4	2, 3	f0cli 6956	. . . 4 ⊢ (𝐹‘∅) ∈ ω
5		nna0 8397	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅))
6	4, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹‘∅) +o ∅) = (𝐹‘∅)
7		un0 4321	. . . 4 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
8	7	fveq2i 6759	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9		ackbij1lem3 9909	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
10	3, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11		in0 4322	. . . 4 ⊢ (∅ ∩ ∅) = ∅
12	1	ackbij1lem9 9915	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)))
13	10, 10, 11, 12	mp3an 1459	. . 3 ⊢ (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅))
14	6, 8, 13	3eqtr2ri 2773	. 2 ⊢ ((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅)
15		nnacan 8421	. . 3 ⊢ (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
16	4, 4, 3, 15	mp3an 1459	. 2 ⊢ (((𝐹‘∅) +o (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +o ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
17	14, 16	mpbi 229	1 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ ciun 4921   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ωcom 7687   +_o coa 8264  Fincfn 8691  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628

This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9920  ackbij1  9925