Theorem bdayelon 27704

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27605	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6740	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6366	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7036	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Oncon0 6311  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486   No csur 27567   bday cbday 27569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fo 6492  df-fv 6494  df-1o 8395  df-no 27570  df-bday 27572

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27706  scutbdaybnd2lim  27746  scutbdaylt  27747  slerec  27748  bday1s  27763  cuteq1  27766  leftf  27797  rightf  27798  madebdayim  27820  oldbdayim  27821  oldirr  27822  madebdaylemold  27830  madebdaylemlrcut  27831  madebday  27832  newbday  27834  lrcut  27836  0elold  27842  bdayiun  27847  cofcutr  27855  lrrecval2  27870  lrrecpo  27871  addsproplem2  27900  addsproplem4  27902  addsproplem5  27903  addsproplem6  27904  addsproplem7  27905  addsprop  27906  addsbdaylem  27946  addsbday  27947  negsproplem2  27958  negsproplem4  27960  negsproplem5  27961  negsproplem6  27962  negsproplem7  27963  negsprop  27964  negsbdaylem  27985  mulsproplem2  28043  mulsproplem3  28044  mulsproplem4  28045  mulsproplem5  28046  mulsproplem6  28047  mulsproplem7  28048  mulsproplem8  28049  mulsproplem12  28053  mulsproplem13  28054  mulsproplem14  28055  mulsprop  28056  sltonold  28185  onscutlt  28188  onnolt  28190  onslt  28191  onsiso  28192  n0sbday  28267  onsfi  28270  bdayn0p1  28281  zs12bday  28379