Theorem bdayelon 27836

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27737	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6821	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6440	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7118	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Oncon0 6386  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563   No csur 27699   bday cbday 27701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fo 6569  df-fv 6571  df-1o 8505  df-no 27702  df-bday 27704

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27837  scutbdaybnd2lim  27877  scutbdaylt  27878  slerec  27879  bday1s  27891  cuteq1  27893  leftf  27919  rightf  27920  madebdayim  27941  oldbdayim  27942  oldirr  27943  madebdaylemold  27951  madebdaylemlrcut  27952  madebday  27953  newbday  27955  lrcut  27956  0elold  27962  cofcutr  27973  lrrecval2  27988  lrrecpo  27989  addsproplem2  28018  addsproplem4  28020  addsproplem5  28021  addsproplem6  28022  addsproplem7  28023  addsprop  28024  addsbdaylem  28064  addsbday  28065  negsproplem2  28076  negsproplem4  28078  negsproplem5  28079  negsproplem6  28080  negsproplem7  28081  negsprop  28082  negsbdaylem  28103  mulsproplem2  28158  mulsproplem3  28159  mulsproplem4  28160  mulsproplem5  28161  mulsproplem6  28162  mulsproplem7  28163  mulsproplem8  28164  mulsproplem12  28168  mulsproplem13  28169  mulsproplem14  28170  mulsprop  28171  sltonold  28298  n0sbday  28369  pw2bday  28433  zs12bday  28439