Theorem bdayelon 27745

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27646	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6795	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6412	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7093	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Oncon0 6357  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536   No csur 27608   bday cbday 27610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fo 6542  df-fv 6544  df-1o 8485  df-no 27611  df-bday 27613

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27746  scutbdaybnd2lim  27786  scutbdaylt  27787  slerec  27788  bday1s  27800  cuteq1  27803  leftf  27834  rightf  27835  madebdayim  27856  oldbdayim  27857  oldirr  27858  madebdaylemold  27866  madebdaylemlrcut  27867  madebday  27868  newbday  27870  lrcut  27872  0elold  27878  cofcutr  27889  lrrecval2  27904  lrrecpo  27905  addsproplem2  27934  addsproplem4  27936  addsproplem5  27937  addsproplem6  27938  addsproplem7  27939  addsprop  27940  addsbdaylem  27980  addsbday  27981  negsproplem2  27992  negsproplem4  27994  negsproplem5  27995  negsproplem6  27996  negsproplem7  27997  negsprop  27998  negsbdaylem  28019  mulsproplem2  28077  mulsproplem3  28078  mulsproplem4  28079  mulsproplem5  28080  mulsproplem6  28081  mulsproplem7  28082  mulsproplem8  28083  mulsproplem12  28087  mulsproplem13  28088  mulsproplem14  28089  mulsprop  28090  sltonold  28219  onscutlt  28222  onnolt  28224  onslt  28225  onsiso  28226  n0sbday  28301  onsfi  28304  bdayn0p1  28315  zs12bday  28400