Theorem bdayelon 27022

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 26931	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6744	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6360	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7035	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Oncon0 6307  ⟶wf 6480  –onto→wfo 6482  ‘cfv 6484   No csur 26894   bday cbday 26896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377  ax-un 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6310  df-on 6311  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-1o 8372  df-no 26897  df-bday 26899

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27023  scutbdaybnd2lim  27062  scutbdaylt  27063  slerec  27064  bday1s  27076  leftf  34157  rightf  34158  madebdayim  34178  oldbdayim  34179  oldirr  34180  madebdaylemold  34186  madebdaylemlrcut  34187  madebday  34188  newbday  34190  lrcut  34191  cofcutr  34200  lrrecval2  34205  lrrecpo  34206  addsproplem2  34234  addsproplem4  34236  addsproplem5  34237  addsproplem6  34238  addsproplem7  34239  addsprop  34240