Theorem bdayelon 27718

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27619	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6742	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6368	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7039	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Oncon0 6313  ⟶wf 6484  –onto→wfo 6486  ‘cfv 6488   No csur 27581   bday cbday 27583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-fo 6494  df-fv 6496  df-1o 8393  df-no 27584  df-bday 27586

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27720  scutbdaybnd2lim  27761  scutbdaylt  27762  slerec  27763  bday1s  27778  cuteq1  27781  leftf  27813  rightf  27814  madebdayim  27836  oldbdayim  27837  oldirr  27838  madebdaylemold  27846  madebdaylemlrcut  27847  madebday  27848  newbday  27850  lrcut  27852  0elold  27858  bdayiun  27863  cofcutr  27871  lrrecval2  27886  lrrecpo  27887  addsproplem2  27916  addsproplem4  27918  addsproplem5  27919  addsproplem6  27920  addsproplem7  27921  addsprop  27922  addsbdaylem  27962  addsbday  27963  negsproplem2  27974  negsproplem4  27976  negsproplem5  27977  negsproplem6  27978  negsproplem7  27979  negsprop  27980  negsbdaylem  28001  mulsproplem2  28059  mulsproplem3  28060  mulsproplem4  28061  mulsproplem5  28062  mulsproplem6  28063  mulsproplem7  28064  mulsproplem8  28065  mulsproplem12  28069  mulsproplem13  28070  mulsproplem14  28071  mulsprop  28072  sltonold  28201  onscutlt  28204  onnolt  28206  onslt  28207  onsiso  28208  n0sbday  28283  onsfi  28286  bdayn0p1  28297  zs12bday  28397