Theorem bdayelon 27822

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27723	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6819	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6437	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7117	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Oncon0 6383  ⟶wf 6556  –onto→wfo 6558  ‘cfv 6560   No csur 27685   bday cbday 27687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fo 6566  df-fv 6568  df-1o 8507  df-no 27688  df-bday 27690

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27823  scutbdaybnd2lim  27863  scutbdaylt  27864  slerec  27865  bday1s  27877  cuteq1  27879  leftf  27905  rightf  27906  madebdayim  27927  oldbdayim  27928  oldirr  27929  madebdaylemold  27937  madebdaylemlrcut  27938  madebday  27939  newbday  27941  lrcut  27942  0elold  27948  cofcutr  27959  lrrecval2  27974  lrrecpo  27975  addsproplem2  28004  addsproplem4  28006  addsproplem5  28007  addsproplem6  28008  addsproplem7  28009  addsprop  28010  addsbdaylem  28050  addsbday  28051  negsproplem2  28062  negsproplem4  28064  negsproplem5  28065  negsproplem6  28066  negsproplem7  28067  negsprop  28068  negsbdaylem  28089  mulsproplem2  28144  mulsproplem3  28145  mulsproplem4  28146  mulsproplem5  28147  mulsproplem6  28148  mulsproplem7  28149  mulsproplem8  28150  mulsproplem12  28154  mulsproplem13  28155  mulsproplem14  28156  mulsprop  28157  sltonold  28284  n0sbday  28355  pw2bday  28419  zs12bday  28425