Theorem bdayelon 27159

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27062	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6761	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6376	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7053	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Oncon0 6322  ⟶wf 6497  –onto→wfo 6499  ‘cfv 6501   No csur 27025   bday cbday 27027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-1o 8417  df-no 27028  df-bday 27030

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27160  scutbdaybnd2lim  27199  scutbdaylt  27200  slerec  27201  bday1s  27213  leftf  27238  rightf  27239  madebdayim  27260  oldbdayim  27261  oldirr  27262  madebdaylemold  27270  madebdaylemlrcut  27271  madebday  27272  newbday  27274  lrcut  27275  cofcutr  27286  lrrecval2  27295  lrrecpo  27296  addsproplem2  27325  addsproplem4  27327  addsproplem5  27328  addsproplem6  27329  addsproplem7  27330  addsprop  27331  negsproplem2  27370  negsproplem4  27372  negsproplem5  27373  negsproplem6  27374  negsproplem7  27375  negsprop  27376  mulsproplem2  27423  mulsproplem3  27424  mulsproplem4  27425  mulsproplem5  27426  mulsproplem6  27427  mulsproplem7  27428  mulsproplem8  27429  mulsproplem9  27430