Theorem bdayelon 27839

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27740	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6834	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6449	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7132	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573   No csur 27702   bday cbday 27704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fo 6579  df-fv 6581  df-1o 8522  df-no 27705  df-bday 27707

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27840  scutbdaybnd2lim  27880  scutbdaylt  27881  slerec  27882  bday1s  27894  cuteq1  27896  leftf  27922  rightf  27923  madebdayim  27944  oldbdayim  27945  oldirr  27946  madebdaylemold  27954  madebdaylemlrcut  27955  madebday  27956  newbday  27958  lrcut  27959  0elold  27965  cofcutr  27976  lrrecval2  27991  lrrecpo  27992  addsproplem2  28021  addsproplem4  28023  addsproplem5  28024  addsproplem6  28025  addsproplem7  28026  addsprop  28027  addsbdaylem  28067  addsbday  28068  negsproplem2  28079  negsproplem4  28081  negsproplem5  28082  negsproplem6  28083  negsproplem7  28084  negsprop  28085  negsbdaylem  28106  mulsproplem2  28161  mulsproplem3  28162  mulsproplem4  28163  mulsproplem5  28164  mulsproplem6  28165  mulsproplem7  28166  mulsproplem8  28167  mulsproplem12  28171  mulsproplem13  28172  mulsproplem14  28173  mulsprop  28174  sltonold  28301  n0sbday  28372  pw2bday  28436  zs12bday  28442