Theorem bdayelon 27285

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27187	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6805	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6418	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7099	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Oncon0 6364  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543   No csur 27150   bday cbday 27152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-1o 8468  df-no 27153  df-bday 27155

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27286  scutbdaybnd2lim  27326  scutbdaylt  27327  slerec  27328  bday1s  27340  cuteq1  27342  leftf  27368  rightf  27369  madebdayim  27390  oldbdayim  27391  oldirr  27392  madebdaylemold  27400  madebdaylemlrcut  27401  madebday  27402  newbday  27404  lrcut  27405  0elold  27411  cofcutr  27420  lrrecval2  27433  lrrecpo  27434  addsproplem2  27463  addsproplem4  27465  addsproplem5  27466  addsproplem6  27467  addsproplem7  27468  addsprop  27469  negsproplem2  27513  negsproplem4  27515  negsproplem5  27516  negsproplem6  27517  negsproplem7  27518  negsprop  27519  negsbdaylem  27540  mulsproplem2  27583  mulsproplem3  27584  mulsproplem4  27585  mulsproplem5  27586  mulsproplem6  27587  mulsproplem7  27588  mulsproplem8  27589  mulsproplem12  27593  mulsproplem13  27594  mulsproplem14  27595  mulsprop  27596  sltonold  27697