Theorem bdayelon 27725

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27626	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6743	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6369	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7040	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Oncon0 6314  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489   No csur 27588   bday cbday 27590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-ord 6317  df-on 6318  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fo 6495  df-fv 6497  df-1o 8394  df-no 27591  df-bday 27593

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27727  scutbdaybnd2lim  27768  scutbdaylt  27769  slerec  27770  bday1s  27785  cuteq1  27788  leftf  27820  rightf  27821  madebdayim  27843  oldbdayim  27844  oldirr  27845  madebdaylemold  27853  madebdaylemlrcut  27854  madebday  27855  newbday  27857  lrcut  27859  0elold  27865  bdayiun  27870  cofcutr  27878  lrrecval2  27893  lrrecpo  27894  addsproplem2  27923  addsproplem4  27925  addsproplem5  27926  addsproplem6  27927  addsproplem7  27928  addsprop  27929  addsbdaylem  27969  addsbday  27970  negsproplem2  27981  negsproplem4  27983  negsproplem5  27984  negsproplem6  27985  negsproplem7  27986  negsprop  27987  negsbdaylem  28008  mulsproplem2  28066  mulsproplem3  28067  mulsproplem4  28068  mulsproplem5  28069  mulsproplem6  28070  mulsproplem7  28071  mulsproplem8  28072  mulsproplem12  28076  mulsproplem13  28077  mulsproplem14  28078  mulsprop  28079  sltonold  28208  onscutlt  28211  onnolt  28213  onslt  28214  onsiso  28215  n0sbday  28290  onsfi  28293  bdayn0p1  28304  zs12bday  28404