Theorem bdayelon 27278

Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bdayelon	⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdayfo 27180	. . 3 ⊢ bday : No –onto→On
2		fof 6806	. . 3 ⊢ ( bday : No –onto→On → bday : No ⟶On)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ bday : No ⟶On
4		0elon 6419	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
5	3, 4	f0cli 7100	1 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Oncon0 6365  ⟶wf 6540  –onto→wfo 6542  ‘cfv 6544   No csur 27143   bday cbday 27145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-1o 8466  df-no 27146  df-bday 27148

This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27279  scutbdaybnd2lim  27318  scutbdaylt  27319  slerec  27320  bday1s  27332  cuteq1  27334  leftf  27360  rightf  27361  madebdayim  27382  oldbdayim  27383  oldirr  27384  madebdaylemold  27392  madebdaylemlrcut  27393  madebday  27394  newbday  27396  lrcut  27397  0elold  27402  cofcutr  27411  lrrecval2  27424  lrrecpo  27425  addsproplem2  27454  addsproplem4  27456  addsproplem5  27457  addsproplem6  27458  addsproplem7  27459  addsprop  27460  negsproplem2  27503  negsproplem4  27505  negsproplem5  27506  negsproplem6  27507  negsproplem7  27508  negsprop  27509  negsbdaylem  27530  mulsproplem2  27573  mulsproplem3  27574  mulsproplem4  27575  mulsproplem5  27576  mulsproplem6  27577  mulsproplem7  27578  mulsproplem8  27579  mulsproplem12  27583  mulsproplem13  27584  mulsproplem14  27585  mulsprop  27586