MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bdayelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bdayelon 27138
Description: The value of the birthday function is always an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
bdayelon ( bday β€˜π΄) ∈ On

Proof of Theorem bdayelon
StepHypRef Expression
1 bdayfo 27041 . . 3 bday : No –ontoβ†’On
2 fof 6757 . . 3 ( bday : No –ontoβ†’On β†’ bday : No ⟢On)
31, 2ax-mp 5 . 2 bday : No ⟢On
4 0elon 6372 . 2 βˆ… ∈ On
53, 4f0cli 7049 1 ( bday β€˜π΄) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Oncon0 6318  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497   No csur 27004   bday cbday 27006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-1o 8413  df-no 27007  df-bday 27009
This theorem is referenced by:  nocvxminlem  27139  scutbdaybnd2lim  27178  scutbdaylt  27179  slerec  27180  bday1s  27192  leftf  27217  rightf  27218  madebdayim  27239  oldbdayim  27240  oldirr  27241  madebdaylemold  27249  madebdaylemlrcut  27250  madebday  27251  newbday  27253  lrcut  27254  cofcutr  27265  lrrecval2  27274  lrrecpo  27275  addsproplem2  27304  addsproplem4  27306  addsproplem5  27307  addsproplem6  27308  addsproplem7  27309  addsprop  27310  negsproplem2  27349  negsproplem4  27351  negsproplem5  27352  negsproplem6  27353  negsproplem7  27354  negsprop  27355  mulsproplem2  27402  mulsproplem3  27403  mulsproplem4  27404  mulsproplem5  27405  mulsproplem6  27406  mulsproplem7  27407  mulsproplem8  27408  mulsproplem9  27409
  Copyright terms: Public domain W3C validator