Theorem harcl 9248

Description: Values of the Hartogs function are ordinals (closure of the Hartogs function in the ordinals). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harcl	⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harf 9247	. 2 ⊢ har:V⟶On
2		0elon 6304	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6956	1 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  Oncon0 6251  ‘cfv 6418  harchar 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-en 8692  df-dom 8693  df-oi 9199  df-har 9246

This theorem is referenced by:  harndom  9251  harcard  9667  harsdom  9684  onsdom  9685  harval2  9686  alephon  9756  dfac12lem2  9831  dfac12r  9833  hsmexlem9  10112  hsmexlem6  10118  pwcfsdom  10270  pwfseq  10351  gchaleph2  10359  hargch  10360  gchhar  10366  gchacg  10367  ttac  40774  isnumbasgrplem2  40845  isnumbasabl  40847