Theorem harcl 9599

Description: Values of the Hartogs function are ordinals (closure of the Hartogs function in the ordinals). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harcl	⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harf 9598	. 2 ⊢ har:V⟶On
2		0elon 6438	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7118	1 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  Oncon0 6384  ‘cfv 6561  harchar 9596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-en 8986  df-dom 8987  df-oi 9550  df-har 9597

This theorem is referenced by:  harndom  9602  harcard  10018  harsdom  10035  onsdom  10036  harval2  10037  alephon  10109  dfac12lem2  10185  dfac12r  10187  hsmexlem9  10465  hsmexlem6  10471  pwcfsdom  10623  pwfseq  10704  gchaleph2  10712  hargch  10713  gchhar  10719  gchacg  10720  ttac  43048  isnumbasgrplem2  43116  isnumbasabl  43118