Theorem harcl 9451

Description: Values of the Hartogs function are ordinals (closure of the Hartogs function in the ordinals). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harcl	⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harf 9450	. 2 ⊢ har:V⟶On
2		0elon 6362	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7032	1 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  Oncon0 6307  ‘cfv 6482  harchar 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-en 8873  df-dom 8874  df-oi 9402  df-har 9449

This theorem is referenced by:  harndom  9454  harcard  9874  harsdom  9891  onsdom  9892  harval2  9893  alephon  9963  dfac12lem2  10039  dfac12r  10041  hsmexlem9  10319  hsmexlem6  10325  pwcfsdom  10477  pwfseq  10558  gchaleph2  10566  hargch  10567  gchhar  10573  gchacg  10574  ttac  43009  isnumbasgrplem2  43077  isnumbasabl  43079