MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harcl 9017
Description: Closure of the Hartogs function in the ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
harcl (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl
StepHypRef Expression
1 harf 9016 . 2 har:V⟶On
2 0elon 6241 . 2 ∅ ∈ On
31, 2f0cli 6859 1 (har‘𝑋) ∈ On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3499  Oncon0 6188  cfv 6351  harchar 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-en 8502  df-dom 8503  df-oi 8966  df-har 9014
This theorem is referenced by:  harndom  9020  harcard  9399  harsdom  9416  onsdom  9417  harval2  9418  alephon  9487  dfac12lem2  9562  dfac12r  9564  hsmexlem9  9839  hsmexlem6  9845  pwcfsdom  9997  pwfseq  10078  gchaleph2  10086  hargch  10087  gchhar  10093  gchacg  10094  ttac  39494  isnumbasgrplem2  39565  isnumbasabl  39567
  Copyright terms: Public domain W3C validator