Theorem harcl 9464

Description: Values of the Hartogs function are ordinals (closure of the Hartogs function in the ordinals). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harcl	⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harf 9463	. 2 ⊢ har:V⟶On
2		0elon 6365	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 7039	1 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  Oncon0 6310  ‘cfv 6485  harchar 9461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-en 8884  df-dom 8885  df-oi 9415  df-har 9462

This theorem is referenced by:  harndom  9467  harcard  9893  harsdom  9910  onsdom  9911  harval2  9912  alephon  9982  dfac12lem2  10058  dfac12r  10060  hsmexlem9  10338  hsmexlem6  10344  pwcfsdom  10497  pwfseq  10578  gchaleph2  10586  hargch  10587  gchhar  10593  gchacg  10594  ttac  43481  isnumbasgrplem2  43549  isnumbasabl  43551