Theorem harcl 9318

Description: Values of the Hartogs function are ordinals (closure of the Hartogs function in the ordinals). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harcl	⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Proof of Theorem harcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harf 9317	. 2 ⊢ har:V⟶On
2		0elon 6319	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6974	1 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  Oncon0 6266  ‘cfv 6433  harchar 9315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-en 8734  df-dom 8735  df-oi 9269  df-har 9316

This theorem is referenced by:  harndom  9321  harcard  9736  harsdom  9753  onsdom  9754  harval2  9755  alephon  9825  dfac12lem2  9900  dfac12r  9902  hsmexlem9  10181  hsmexlem6  10187  pwcfsdom  10339  pwfseq  10420  gchaleph2  10428  hargch  10429  gchhar  10435  gchacg  10436  ttac  40858  isnumbasgrplem2  40929  isnumbasabl  40931