Theorem sadcf 16397

Description: The carry sequence is a sequence of elements of 2_o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
sadcf	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶2o)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem sadcf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12486	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		iftrue 4527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4		0ex 5298	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅
7	4	prid1 4759	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
8		df2o3 8470	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, 1o}
9	7, 8	eleqtrri 2824	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
10	6, 9	eqeltri 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o)
12		df-ov 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) = ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		1oex 8472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
14	13	prid2 4760	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
15	14, 8	eleqtrri 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
16	15, 9	ifcli 4568	. . . . . . . 8 ⊢ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
17	16	rgen2w 3058	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑐 ∈ 2o ∀𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
18		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))
19	18	fmpo 8048	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐 ∈ 2o ∀𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o ↔ (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o)
20	17, 19	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o
21	20, 9	f0cli 7090	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 2o
22	12, 21	eqeltri 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 2o ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o)
24		nn0uz 12863	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
25		0zd 12569	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26		fvexd 6897	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
27	11, 23, 24, 25, 26	seqf2 13988	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
28		sadval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
29	28	feq1i 6699	. 2 ⊢ (𝐶:ℕ0⟶2o ↔ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
30	27, 29	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  caddwcad 1599   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ifcif 4521  {cpr 4623  ⟨cop 4627   ↦ cmpt 5222   × cxp 5665  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   − cmin 11443  ℕ₀cn0 12471  ℤ_≥cuz 12821  seqcseq 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-seq 13968

This theorem is referenced by:  sadcp1  16399