MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcf 16330
Description: The carry sequence is a sequence of elements of 2o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
sadcf (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem sadcf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 12425 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2 iftrue 4491 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4 0ex 5263 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6946 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅
74prid1 4722 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅, 1o}
8 df2o3 8417 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
97, 8eleqtrri 2837 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
106, 9eqeltri 2834 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o)
12 df-ov 7357 . . . . 5 (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) = ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 1oex 8419 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
1413prid2 4723 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {∅, 1o}
1514, 8eleqtrri 2837 . . . . . . . . 9 1o ∈ 2o
1615, 9ifcli 4532 . . . . . . . 8 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
1716rgen2w 3068 . . . . . . 7 𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
18 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))
1918fmpo 7997 . . . . . . 7 (∀𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o ↔ (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o)
2017, 19mpbi 229 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o
2120, 9f0cli 7045 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 2o
2212, 21eqeltri 2834 . . . 4 (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o
2322a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 2o𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o)
24 nn0uz 12802 . . 3 0 = (ℤ‘0)
25 0zd 12508 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26 fvexd 6855 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
2711, 23, 24, 25, 26seqf2 13924 . 2 (𝜑 → seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
28 sadval.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
2928feq1i 6657 . 2 (𝐶:ℕ0⟶2o ↔ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
3027, 29sylibr 233 1 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  caddwcad 1607  wcel 2106  wral 3063  Vcvv 3444  wss 3909  c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4587  cop 4591  cmpt 5187   × cxp 5630  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7354  cmpo 7356  1oc1o 8402  2oc2o 8403  0cc0 11048  1c1 11049   + caddc 11051  cmin 11382  0cn0 12410  cuz 12760  seqcseq 13903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-seq 13904
This theorem is referenced by:  sadcp1  16332
  Copyright terms: Public domain W3C validator