MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadcf 15661
Description: The carry sequence is a sequence of elements of 2o encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
sadcf (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem sadcf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11723 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
2 iftrue 4351 . . . . . . 7 (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3 eqid 2773 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4 0ex 5065 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6594 . . . . . 6 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
61, 5ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅
74prid1 4569 . . . . . 6 ∅ ∈ {∅, 1o}
8 df2o3 7918 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
97, 8eleqtrri 2860 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
106, 9eqeltri 2857 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2o)
12 df-ov 6978 . . . . 5 (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) = ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
13 1oex 7912 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
1413prid2 4570 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {∅, 1o}
1514, 8eleqtrri 2860 . . . . . . . . 9 1o ∈ 2o
1615, 9ifcli 4391 . . . . . . . 8 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
1716rgen2w 3096 . . . . . . 7 𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o
18 eqid 2773 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)) = (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))
1918fmpo 7573 . . . . . . 7 (∀𝑐 ∈ 2o𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅) ∈ 2o ↔ (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o)
2017, 19mpbi 222 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)):(2o × ℕ0)⟶2o
2120, 9f0cli 6686 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 2o
2212, 21eqeltri 2857 . . . 4 (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o
2322a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 2o𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅))𝑦) ∈ 2o)
24 nn0uz 12093 . . 3 0 = (ℤ‘0)
25 0zd 11804 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26 fvexd 6512 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
2711, 23, 24, 25, 26seqf2 13203 . 2 (𝜑 → seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
28 sadval.c . . 3 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
2928feq1i 6333 . 2 (𝐶:ℕ0⟶2o ↔ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2o)
3027, 29sylibr 226 1 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2o)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  caddwcad 1570  wcel 2051  wral 3083  Vcvv 3410  wss 3824  c0 4173  ifcif 4345  {cpr 4438  cop 4442  cmpt 5005   × cxp 5402  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  cmpo 6977  1oc1o 7897  2oc2o 7898  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337  cmin 10669  0cn0 11706  cuz 12057  seqcseq 13183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-seq 13184
This theorem is referenced by:  sadcp1  15663
  Copyright terms: Public domain W3C validator