MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arith2 16930
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith2 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2 1arith.2 . . . . . 6 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
31, 21arith 16929 . . . . 5 𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅
4 f1ocnv 6855 . . . . 5 (𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ
6 f1ofveu 7418 . . . 4 ((𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
75, 6mpan 688 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
8 f1ocnvfvb 7293 . . . . 5 ((𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
93, 8mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
109reubidva 3380 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧))
117, 10mpbird 256 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔)
1211rgen 3053 1 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  ∃!wreu 3362  {crab 3419  cmpt 5236  ccnv 5681  cima 5685  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554  (class class class)co 7424  m cmap 8855  Fincfn 8974  cn 12264  0cn0 12524  cprime 16672   pCnt cpc 16838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-prm 16673  df-pc 16839
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator