Theorem 1arith2 16987

Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arith.1	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2	⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
1arith2	⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arith.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2		1arith.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m ℙ) ∣ (◡𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
3	1, 2	1arith 16986	. . . . 5 ⊢ 𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅
4		f1ocnv 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 → ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ
6		f1ofveu 7404	. . . 4 ⊢ ((◡𝑀:𝑅–1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
7	5, 6	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧)
8		f1ocnvfvb 7277	. . . . 5 ⊢ ((𝑀:ℕ–1-1-onto→𝑅 ∧ 𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
9	3, 8	mp3an1 1475	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔 ∈ 𝑅) → ((𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
10	9	reubidva 3381	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (◡𝑀‘𝑔) = 𝑧))
11	7, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔)
12	11	rgen 3079	1 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔 ∈ 𝑅 (𝑀‘𝑧) = 𝑔

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  ∃!wreu 3365  {crab 3414   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8823  Fincfn 8942  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℙcprime 16728   pCnt cpc 16895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-pc 16896

This theorem is referenced by: (None)