MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1arith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arith2 16253
Description: Fundamental theorem of arithmetic, where a prime factorization is represented as a finite monotonic 1-based sequence of primes. Every positive integer has a unique prime factorization. Theorem 1.10 in [ApostolNT] p. 17. This is Metamath 100 proof #80. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
1arith.1 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
1arith.2 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
1arith2 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Distinct variable groups:   𝑒,𝑔,𝑛,𝑝,𝑧   𝑒,𝑀,𝑔   𝑅,𝑔,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧,𝑒,𝑝)   𝑀(𝑧,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem 1arith2
StepHypRef Expression
1 1arith.1 . . . . . 6 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑝 ∈ ℙ ↦ (𝑝 pCnt 𝑛)))
2 1arith.2 . . . . . 6 𝑅 = {𝑒 ∈ (ℕ0m ℙ) ∣ (𝑒 “ ℕ) ∈ Fin}
31, 21arith 16252 . . . . 5 𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅
4 f1ocnv 6609 . . . . 5 (𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ
6 f1ofveu 7135 . . . 4 ((𝑀:𝑅1-1-onto→ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
75, 6mpan 689 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧)
8 f1ocnvfvb 7019 . . . . 5 ((𝑀:ℕ–1-1-onto𝑅𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
93, 8mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑔𝑅) → ((𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ (𝑀𝑔) = 𝑧))
109reubidva 3369 . . 3 (𝑧 ∈ ℕ → (∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔 ↔ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑔) = 𝑧))
117, 10mpbird 260 . 2 (𝑧 ∈ ℕ → ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔)
1211rgen 3140 1 𝑧 ∈ ℕ ∃!𝑔𝑅 (𝑀𝑧) = 𝑔
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  ∃!wreu 3132  {crab 3134  cmpt 5122  ccnv 5531  cima 5535  1-1-ontowf1o 6333  cfv 6334  (class class class)co 7140  m cmap 8393  Fincfn 8496  cn 11625  0cn0 11885  cprime 16004   pCnt cpc 16162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator