Theorem ply1divalg3 36142

Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26307 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m	⊢ + = (+g‘𝑃)
ply1divalg3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg3.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
ply1divalg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg3.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
10		ply1divalg3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
11	1, 3, 10	uc1pcl 26312	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	1, 5, 10	uc1pn0 26314	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
14	9, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	2, 15, 10	uc1pldg 26317	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
17	9, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15	ply1divalg2 26307	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	1	ply1ring 22418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	7, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
23	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
25	3, 19, 23, 24	grpinvcld 19061	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	3, 19, 22	grpinvf1o 19081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵)
27		f1ofveu 7406	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
28	26, 27	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29		eqcom 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
30	29	reubii 3377	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
31	28, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞))
32		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝑝 ∙ 𝐺) = (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))
33	32	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺)) = (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)))
34	33	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
35	34	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
36	25, 31, 35	reuxfr1ds 3713	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
37	18, 36	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
38	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
39	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
40	3, 6, 38, 25, 39	ringcld 20345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
41		ply1divalg3.m	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑃)
42	3, 41, 19, 4	grpsubval 19058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
43	8, 40, 42	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
44	3, 6, 19, 38, 24, 39	ringmneg1 20394	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) = ((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺)))
45	44	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))))
46	3, 6, 38, 24, 39	ringcld 20345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
47	3, 19	grpinvinv 19078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
48	22, 46, 47	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
49	45, 48	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝑞 ∙ 𝐺))
50	49	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
51	43, 50	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
52	51	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))))
53	52	breq1d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
54	53	reubidva 3382	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
55	37, 54	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3366   class class class wbr 5108  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   < clt 11249  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  ._rcmulr 17317  0_gc0g 17498  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  -_gcsg 19008  Ringcrg 20321  Unitcui 20444  Poly₁cpl1 22348  coe₁cco1 22349  deg₁cdg1 26222  Unic_1pcuc1p 26295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-rlreg 20804  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-cnfld 21534  df-psr 22070  df-mvr 22071  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-vr1 22352  df-ply1 22353  df-coe1 22354  df-mdeg 26223  df-deg1 26224  df-uc1p 26300

This theorem is used by:  r1peuqusdeg1  36143