Theorem ply1divalg3 35648

Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26179 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m	⊢ + = (+g‘𝑃)
ply1divalg3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg3.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
ply1divalg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg3.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
10		ply1divalg3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
11	1, 3, 10	uc1pcl 26184	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	1, 5, 10	uc1pn0 26186	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	2, 15, 10	uc1pldg 26189	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
17	9, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15	ply1divalg2 26179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	1	ply1ring 22250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	7, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
25	3, 19, 23, 24	grpinvcld 19007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	3, 19, 22	grpinvf1o 19028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵)
27		f1ofveu 7426	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
28	26, 27	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29		eqcom 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
30	29	reubii 3388	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
31	28, 30	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞))
32		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝑝 ∙ 𝐺) = (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))
33	32	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺)) = (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)))
34	33	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
35	34	breq1d 5152	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
36	25, 31, 35	reuxfr1ds 3756	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
37	18, 36	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
38	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
39	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
40	3, 6, 38, 25, 39	ringcld 20258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
41		ply1divalg3.m	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑃)
42	3, 41, 19, 4	grpsubval 19004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
43	8, 40, 42	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
44	3, 6, 19, 38, 24, 39	ringmneg1 20302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) = ((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺)))
45	44	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))))
46	3, 6, 38, 24, 39	ringcld 20258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
47	3, 19	grpinvinv 19024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
48	22, 46, 47	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
49	45, 48	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝑞 ∙ 𝐺))
50	49	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
51	43, 50	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
52	51	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))))
53	52	breq1d 5152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
54	53	reubidva 3395	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
55	37, 54	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃!wreu 3377   class class class wbr 5142  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   < clt 11296  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953  -_gcsg 18954  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  Poly₁cpl1 22179  coe₁cco1 22180  deg₁cdg1 26094  Unic_1pcuc1p 26167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-uc1p 26172

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35649