Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1divalg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg3 35648
Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26179 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg3.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg3.d 𝐷 = (deg1𝑅)
ply1divalg3.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m + = (+g𝑃)
ply1divalg3.t = (.r𝑃)
ply1divalg3.c 𝐶 = (Unic1p𝑅)
ply1divalg3.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg3.g (𝜑𝐺𝐶)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg3 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg3.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1divalg3.d . . . 4 𝐷 = (deg1𝑅)
3 ply1divalg3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2736 . . . 4 (-g𝑃) = (-g𝑃)
5 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
6 ply1divalg3.t . . . 4 = (.r𝑃)
7 ply1divalg3.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 ply1divalg3.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
9 ply1divalg3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐶)
10 ply1divalg3.c . . . . . 6 𝐶 = (Unic1p𝑅)
111, 3, 10uc1pcl 26184 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺𝐵)
129, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
131, 5, 10uc1pn0 26186 . . . . 5 (𝐺𝐶𝐺 ≠ (0g𝑃))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
15 eqid 2736 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
162, 15, 10uc1pldg 26189 . . . . 5 (𝐺𝐶 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
179, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15ply1divalg2 26179 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑝𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(𝑝 𝐺))) < (𝐷𝐺))
19 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
201ply1ring 22250 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
217, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
2221ringgrpd 20240 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑞𝐵)
253, 19, 23, 24grpinvcld 19007 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → ((invg𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
263, 19, 22grpinvf1o 19028 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝑃):𝐵1-1-onto𝐵)
27 f1ofveu 7426 . . . . . 6 (((invg𝑃):𝐵1-1-onto𝐵𝑝𝐵) → ∃!𝑞𝐵 ((invg𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
2826, 27sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐵) → ∃!𝑞𝐵 ((invg𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29 eqcom 2743 . . . . . 6 (𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
3029reubii 3388 . . . . 5 (∃!𝑞𝐵 𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞𝐵 ((invg𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
3128, 30sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → ∃!𝑞𝐵 𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞))
32 oveq1 7439 . . . . . . 7 (𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) → (𝑝 𝐺) = (((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))
3332oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g𝑃)(𝑝 𝐺)) = (𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)))
3433fveq2d 6909 . . . . 5 (𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(𝑝 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))))
3534breq1d 5152 . . . 4 (𝑝 = ((invg𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(𝑝 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3625, 31, 35reuxfr1ds 3756 . . 3 (𝜑 → (∃!𝑝𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(𝑝 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
3718, 36mpbid 232 . 2 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) < (𝐷𝐺))
3821adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
3912adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → 𝐺𝐵)
403, 6, 38, 25, 39ringcld 20258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → (((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺) ∈ 𝐵)
41 ply1divalg3.m . . . . . . . 8 + = (+g𝑃)
423, 41, 19, 4grpsubval 19004 . . . . . . 7 ((𝐹𝐵 ∧ (((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)) = (𝐹 + ((invg𝑃)‘(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))))
438, 40, 42syl2an2r 685 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)) = (𝐹 + ((invg𝑃)‘(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))))
443, 6, 19, 38, 24, 39ringmneg1 20302 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐵) → (((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺) = ((invg𝑃)‘(𝑞 𝐺)))
4544fveq2d 6909 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → ((invg𝑃)‘(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)) = ((invg𝑃)‘((invg𝑃)‘(𝑞 𝐺))))
463, 6, 38, 24, 39ringcld 20258 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝑞 𝐺) ∈ 𝐵)
473, 19grpinvinv 19024 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg𝑃)‘((invg𝑃)‘(𝑞 𝐺))) = (𝑞 𝐺))
4822, 46, 47syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐵) → ((invg𝑃)‘((invg𝑃)‘(𝑞 𝐺))) = (𝑞 𝐺))
4945, 48eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐵) → ((invg𝑃)‘(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)) = (𝑞 𝐺))
5049oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹 + ((invg𝑃)‘(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 𝐺)))
5143, 50eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 𝐺)))
5251fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 𝐺))))
5352breq1d 5152 . . 3 ((𝜑𝑞𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
5453reubidva 3395 . 2 (𝜑 → (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g𝑃)(((invg𝑃)‘𝑞) 𝐺))) < (𝐷𝐺) ↔ ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺)))
5537, 54mpbid 232 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 𝐺))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  ∃!wreu 3377   class class class wbr 5142  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432   < clt 11296  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  -gcsg 18954  Ringcrg 20231  Unitcui 20356  Poly1cpl1 22179  coe1cco1 22180  deg1cdg1 26094  Unic1pcuc1p 26167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-cnfld 21366  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-uc1p 26172
This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35649
  Copyright terms: Public domain W3C validator