Theorem ply1divalg3 36067

Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26265 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m	⊢ + = (+g‘𝑃)
ply1divalg3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg3.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
ply1divalg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
5		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg3.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
10		ply1divalg3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
11	1, 3, 10	uc1pcl 26270	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	1, 5, 10	uc1pn0 26272	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
14	9, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
15		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	2, 15, 10	uc1pldg 26275	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
17	9, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15	ply1divalg2 26265	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	1	ply1ring 22376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	7, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20324	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
23	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
25	3, 19, 23, 24	grpinvcld 19055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	3, 19, 22	grpinvf1o 19075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵)
27		f1ofveu 7405	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
28	26, 27	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29		eqcom 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
30	29	reubii 3384	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
31	28, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞))
32		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝑝 ∙ 𝐺) = (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))
33	32	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺)) = (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)))
34	33	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
35	34	breq1d 5121	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
36	25, 31, 35	reuxfr1ds 3721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
37	18, 36	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
38	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
39	12	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
40	3, 6, 38, 25, 39	ringcld 20342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
41		ply1divalg3.m	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑃)
42	3, 41, 19, 4	grpsubval 19052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
43	8, 40, 42	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
44	3, 6, 19, 38, 24, 39	ringmneg1 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) = ((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺)))
45	44	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))))
46	3, 6, 38, 24, 39	ringcld 20342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
47	3, 19	grpinvinv 19072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
48	22, 46, 47	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
49	45, 48	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝑞 ∙ 𝐺))
50	49	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
51	43, 50	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
52	51	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))))
53	52	breq1d 5121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
54	53	reubidva 3389	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
55	37, 54	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃!wreu 3373   class class class wbr 5111  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   < clt 11243  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  -_gcsg 19002  Ringcrg 20315  Unitcui 20437  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307  deg₁cdg1 26180  Unic_1pcuc1p 26253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-rlreg 20779  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-cnfld 21492  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312  df-mdeg 26181  df-deg1 26182  df-uc1p 26258

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  36068