Theorem ply1divalg3 36208

Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26366 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m	⊢ + = (+g‘𝑃)
ply1divalg3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg3.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
ply1divalg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg3.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
10		ply1divalg3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
11	1, 3, 10	uc1pcl 26371	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	1, 5, 10	uc1pn0 26373	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
14	9, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
15		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	2, 15, 10	uc1pldg 26376	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
17	9, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15	ply1divalg2 26366	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	1	ply1ring 22473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	7, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
25	3, 19, 23, 24	grpinvcld 19113	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	3, 19, 22	grpinvf1o 19133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵)
27		f1ofveu 7410	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
28	26, 27	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29		eqcom 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
30	29	reubii 3376	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
31	28, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞))
32		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝑝 ∙ 𝐺) = (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))
33	32	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺)) = (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)))
34	33	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
35	34	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
36	25, 31, 35	reuxfr1ds 3712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
37	18, 36	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
38	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
39	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
40	3, 6, 38, 25, 39	ringcld 20397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
41		ply1divalg3.m	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑃)
42	3, 41, 19, 4	grpsubval 19110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
43	8, 40, 42	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
44	3, 6, 19, 38, 24, 39	ringmneg1 20447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) = ((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺)))
45	44	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))))
46	3, 6, 38, 24, 39	ringcld 20397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
47	3, 19	grpinvinv 19130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
48	22, 46, 47	syl2an2r 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
49	45, 48	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝑞 ∙ 𝐺))
50	49	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
51	43, 50	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
52	51	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))))
53	52	breq1d 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
54	53	reubidva 3381	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
55	37, 54	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5107  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   < clt 11270  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  ._rcmulr 17347  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  inv_gcminusg 19059  -_gcsg 19060  Ringcrg 20373  Unitcui 20497  Poly₁cpl1 22403  coe₁cco1 22404  deg₁cdg1 26281  Unic_1pcuc1p 26354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-cnfld 21587  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-mdeg 26282  df-deg1 26283  df-uc1p 26359

This theorem is used by:  r1peuqusdeg1  36209