Theorem ply1divalg3 35610

Description: Uniqueness of polynomial remainder: convert the subtraction in ply1divalg2 26198 to addition. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg3.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg3.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg3.m	⊢ + = (+g‘𝑃)
ply1divalg3.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg3.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
ply1divalg3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg3	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   + ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg3.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg3.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (-g‘𝑃) = (-g‘𝑃)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg3.t	. . . 4 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg3.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
10		ply1divalg3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
11	1, 3, 10	uc1pcl 26203	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
13	1, 5, 10	uc1pn0 26205	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝑃))
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
16	2, 15, 10	uc1pldg 26208	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
17	9, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 17, 15	ply1divalg2 26198	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
19		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
20	1	ply1ring 22270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
21	7, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
22	21	ringgrpd 20269	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Grp)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑞 ∈ 𝐵)
25	3, 19, 23, 24	grpinvcld 19028	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘𝑞) ∈ 𝐵)
26	3, 19, 22	grpinvf1o 19049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵)
27		f1ofveu 7442	. . . . . 6 ⊢ (((invg‘𝑃):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
28	26, 27	sylan 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
29		eqcom 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
30	29	reubii 3397	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 ((invg‘𝑃)‘𝑞) = 𝑝)
31	28, 30	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞))
32		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝑝 ∙ 𝐺) = (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))
33	32	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺)) = (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)))
34	33	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
35	34	breq1d 5176	. . . 4 ⊢ (𝑝 = ((invg‘𝑃)‘𝑞) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
36	25, 31, 35	reuxfr1ds 3773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑝 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(𝑝 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
37	18, 36	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))
38	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
39	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ 𝐵)
40	3, 6, 38, 25, 39	ringcld 20286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
41		ply1divalg3.m	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑃)
42	3, 41, 19, 4	grpsubval 19025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
43	8, 40, 42	syl2an2r 684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))))
44	3, 6, 19, 38, 24, 39	ringmneg1 20327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺) = ((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺)))
45	44	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))))
46	3, 6, 38, 24, 39	ringcld 20286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵)
47	3, 19	grpinvinv 19045	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (𝑞 ∙ 𝐺) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
48	22, 46, 47	syl2an2r 684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘((invg‘𝑃)‘(𝑞 ∙ 𝐺))) = (𝑞 ∙ 𝐺))
49	45, 48	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝑞 ∙ 𝐺))
50	49	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹 + ((invg‘𝑃)‘(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
51	43, 50	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺)) = (𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺)))
52	51	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) = (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))))
53	52	breq1d 5176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → ((𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
54	53	reubidva 3404	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹(-g‘𝑃)(((invg‘𝑃)‘𝑞) ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺) ↔ ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺)))
55	37, 54	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 + (𝑞 ∙ 𝐺))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃!wreu 3386   class class class wbr 5166  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   < clt 11324  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  Poly₁cpl1 22199  coe₁cco1 22200  deg₁cdg1 26113  Unic_1pcuc1p 26186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-cnfld 21388  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-uc1p 26191

This theorem is referenced by:  r1peuqusdeg1  35611