Theorem opnmblALT 24748

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 24747 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10175. (This was also the original proof before the current opnmbl 24747 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 23904	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2		eltg3 22093	. . . 4 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
4		uniiun 4992	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
5		ssdomg 8757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7		omelon 9365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
8		qnnen 15903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ≈ ℕ
9		xpen 8892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
10	8, 8, 9	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11		xpnnen 15901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
12	10, 11	entri 8765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13		nnenom 13681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
14	12, 13	entr2i 8766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
15		isnumi 9688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
16	7, 14, 15	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17		ioof 13161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18		ffun 6599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun (,)
20		qssre 12681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
21		ressxr 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
23		xpss12 5603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
24	22, 22, 23	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
25	17	fdmi 6608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
26	24, 25	sseqtrri 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27		fores 6694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
28	19, 26, 27	mp2an 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29		fodomnum 9797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31		domentr 8770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
32	30, 12, 31	mp2an 688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33		domtr 8764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
34	6, 32, 33	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35		imassrn 5977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36		ffn 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38		ioombl 24710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
39	38	rgen2w 3078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40		ffnov 7392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
41	37, 39, 40	mpbir2an 707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42		frn 6603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ dom vol
44	35, 43	sstri 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45		sstr 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
46	44, 45	mpan2 687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47		dfss3 3913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
48	46, 47	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49		iunmbl2 24702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
50	34, 48, 49	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
51	4, 50	eqeltrid 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
52		eleq1 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
53	51, 52	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom vol))
54	53	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
55	54	exlimiv 1936	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
56	3, 55	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57		eqid 2739	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
58	57	tgqioo 23944	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
59	56, 58	eleq2s 2858	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1785   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065   ⊆ wss 3891  𝒫 cpw 4538  ∪ cuni 4844  ∪ ciun 4929   class class class wbr 5078   × cxp 5586  dom cdm 5588  ran crn 5589   ↾ cres 5590   “ cima 5591  Oncon0 6263  Fun wfun 6424   Fn wfn 6425  ⟶wf 6426  –onto→wfo 6428  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ωcom 7700   ≈ cen 8704   ≼ cdom 8705  cardccrd 9677  ℝcr 10854  ℝ^*cxr 10992  ℕcn 11956  ℚcq 12670  (,)cioo 13061  topGenctg 17129  TopBasesctb 22076  volcvol 24608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cc 10175  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-disj 5044  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-omul 8286  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-acn 9684  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xadd 12831  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-rlim 15179  df-sum 15379  df-topgen 17135  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bases 22077  df-ovol 24609  df-vol 24610

This theorem is referenced by: (None)