Theorem opnmblALT 25831

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25830 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10437. (This was also the original proof before the current opnmbl 25830 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 24985	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2		eltg3 23187	. . . 4 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
4		uniiun 5017	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
5		ssdomg 9006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7		omelon 9625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
8		qnnen 16301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ≈ ℕ
9		xpen 9138	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
10	8, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11		xpnnen 16299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
12	10, 11	entri 9014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13		nnenom 14044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
14	12, 13	entr2i 9015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
15		isnumi 9951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
16	7, 14, 15	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17		ioof 13500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18		ffun 6705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun (,)
20		qssre 13008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
21		ressxr 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
23		xpss12 5670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
24	22, 22, 23	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
25	17	fdmi 6714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
26	24, 25	sseqtrri 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27		fores 6799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
28	19, 26, 27	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29		fodomnum 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31		domentr 9019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
32	30, 12, 31	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33		domtr 9013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
34	6, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35		imassrn 6067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36		ffn 6702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38		ioombl 25793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
39	38	rgen2w 3081	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40		ffnov 7539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
41	37, 39, 40	mpbir2an 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42		frn 6710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ dom vol
44	35, 43	sstri 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45		sstr 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
46	44, 45	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47		dfss3 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
48	46, 47	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49		iunmbl2 25785	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
50	34, 48, 49	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
51	4, 50	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
52		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
53	51, 52	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom vol))
54	53	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
55	54	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
56	3, 55	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57		eqid 2760	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
58	57	tgqioo 25026	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
59	56, 58	eleq2s 2878	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  Oncon0 6357  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ωcom 7862   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  cardccrd 9940  ℝcr 11123  ℝ^*cxr 11266  ℕcn 12257  ℚcq 12997  (,)cioo 13398  topGenctg 17522  TopBasesctb 23170  volcvol 25691

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xadd 13164  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-topgen 17528  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bases 23171  df-ovol 25692  df-vol 25693

This theorem is used by: (None)