MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmblALT 25651
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25650 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10472. (This was also the original proof before the current opnmbl 25650 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 24795 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2 eltg3 22984 . . . 4 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥))
4 uniiun 5062 . . . . . . 7 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
5 ssdomg 9038 . . . . . . . . . 10 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7 omelon 9683 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
8 qnnen 16245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ≈ ℕ
9 xpen 9178 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
108, 8, 9mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11 xpnnen 16243 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
1210, 11entri 9046 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13 nnenom 14017 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
1412, 13entr2i 9047 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ (ℚ × ℚ)
15 isnumi 9983 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
167, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17 ioof 13483 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun (,)
20 qssre 12998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
21 ressxr 11302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℝ*
23 xpss12 5703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2422, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2517fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . 13 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2624, 25sseqtrri 4032 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27 fores 6830 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2819, 26, 27mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29 fodomnum 10094 . . . . . . . . . . 11 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31 domentr 9051 . . . . . . . . . 10 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
3230, 12, 31mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33 domtr 9045 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
346, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35 imassrn 6090 . . . . . . . . . . 11 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
3938rgen2w 3063 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40 ffnov 7558 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
4137, 39, 40mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42 frn 6743 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ dom vol
4435, 43sstri 4004 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45 sstr 4003 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4644, 45mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47 dfss3 3983 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
4846, 47sylib 218 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49 iunmbl2 25605 . . . . . . . 8 ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
514, 50eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ∈ dom vol)
52 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ dom vol))
5351, 52syl5ibrcom 247 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ dom vol))
5453imp 406 . . . 4 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
5554exlimiv 1927 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
563, 55sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57 eqid 2734 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5857tgqioo 24835 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5956, 58eleq2s 2856 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wss 3962  𝒫 cpw 4604   cuni 4911   ciun 4995   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Oncon0 6385  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  ontowfo 6560  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  cardccrd 9972  cr 11151  *cxr 11291  cn 12263  cq 12987  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopBasesctb 22967  volcvol 25511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xadd 13152  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-topgen 17489  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bases 22968  df-ovol 25512  df-vol 25513
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator