Theorem opnmblALT 24368

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 24367 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 9948. (This was also the original proof before the current opnmbl 24367 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 23525	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2		eltg3 21726	. . . 4 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
4		uniiun 4954	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
5		ssdomg 8614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7		omelon 9195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
8		qnnen 15671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ≈ ℕ
9		xpen 8743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
10	8, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11		xpnnen 15669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
12	10, 11	entri 8622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13		nnenom 13452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
14	12, 13	entr2i 8623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
15		isnumi 9461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
16	7, 14, 15	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17		ioof 12934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18		ffun 6518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun (,)
20		qssre 12454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
21		ressxr 10776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
23		xpss12 5550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
24	22, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
25	17	fdmi 6527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
26	24, 25	sseqtrri 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27		fores 6613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
28	19, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29		fodomnum 9570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31		domentr 8627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
32	30, 12, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33		domtr 8621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
34	6, 32, 33	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35		imassrn 5924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36		ffn 6515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38		ioombl 24330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
39	38	rgen2w 3067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40		ffnov 7306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
41	37, 39, 40	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42		frn 6522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ dom vol
44	35, 43	sstri 3896	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45		sstr 3895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
46	44, 45	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47		dfss3 3875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
48	46, 47	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49		iunmbl2 24322	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
50	34, 48, 49	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
51	4, 50	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
52		eleq1 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
53	51, 52	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom vol))
54	53	imp 410	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
55	54	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
56	3, 55	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57		eqid 2739	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
58	57	tgqioo 23565	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
59	56, 58	eleq2s 2852	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4498  ∪ cuni 4806  ∪ ciun 4891   class class class wbr 5040   × cxp 5533  dom cdm 5535  ran crn 5536   ↾ cres 5537   “ cima 5538  Oncon0 6183  Fun wfun 6344   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  –onto→wfo 6348  ‘cfv 6350  (class class class)co 7183  ωcom 7612   ≈ cen 8565   ≼ cdom 8566  cardccrd 9450  ℝcr 10627  ℝ^*cxr 10765  ℕcn 11729  ℚcq 12443  (,)cioo 12834  topGenctg 16827  TopBasesctb 21709  volcvol 24228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-inf2 9190  ax-cc 9948  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-of 7438  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-omul 8149  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-oi 9060  df-dju 9416  df-card 9454  df-acn 9457  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xadd 12604  df-ioo 12838  df-ico 12840  df-icc 12841  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-clim 14948  df-rlim 14949  df-sum 15149  df-topgen 16833  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bases 21710  df-ovol 24229  df-vol 24230

This theorem is referenced by: (None)