MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnmblALT 25051
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25050 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10414. (This was also the original proof before the current opnmbl 25050 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 24207 . . . 4 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
2 eltg3 22396 . . . 4 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯))
4 uniiun 5055 . . . . . . 7 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
5 ssdomg 8981 . . . . . . . . . 10 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7 omelon 9625 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ ∈ On
8 qnnen 16140 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š β‰ˆ β„•
9 xpen 9125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
108, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
11 xpnnen 16138 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
1210, 11entri 8989 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
13 nnenom 13929 . . . . . . . . . . . . 13 β„• β‰ˆ Ο‰
1412, 13entr2i 8990 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
15 isnumi 9925 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
167, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
17 ioof 13408 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffun 6708 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun (,)
20 qssre 12927 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š βŠ† ℝ
21 ressxr 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† ℝ*
2220, 21sstri 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 β„š βŠ† ℝ*
23 xpss12 5685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2422, 22, 23mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2517fdmi 6717 . . . . . . . . . . . . 13 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2624, 25sseqtrri 4016 . . . . . . . . . . . 12 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
27 fores 6803 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
2819, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
29 fodomnum 10036 . . . . . . . . . . 11 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
31 domentr 8994 . . . . . . . . . 10 ((((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•)
3230, 12, 31mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•
33 domtr 8988 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
346, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
35 imassrn 6061 . . . . . . . . . . 11 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
36 ffn 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
38 ioombl 25013 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol
3938rgen2w 3066 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol
40 ffnov 7520 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol))
4137, 39, 40mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol
42 frn 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol β†’ ran (,) βŠ† dom vol)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) βŠ† dom vol
4435, 43sstri 3988 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† dom vol
45 sstr 3987 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† dom vol) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
4644, 45mpan2 689 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
47 dfss3 3967 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† dom vol ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
4846, 47sylib 217 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
49 iunmbl2 25005 . . . . . . . 8 ((π‘₯ β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
514, 50eqeltrid 2837 . . . . . 6 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ dom vol)
52 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝐴 = βˆͺ π‘₯ β†’ (𝐴 ∈ dom vol ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ dom vol))
5351, 52syl5ibrcom 246 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ (𝐴 = βˆͺ π‘₯ β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5453imp 407 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
5554exlimiv 1933 . . 3 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
563, 55sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
57 eqid 2732 . . 3 (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
5857tgqioo 24247 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
5956, 58eleq2s 2851 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3945  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5668  dom cdm 5670  ran crn 5671   β†Ύ cres 5672   β€œ cima 5673  Oncon0 6354  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“ontoβ†’wfo 6531  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7394  Ο‰com 7839   β‰ˆ cen 8921   β‰Ό cdom 8922  cardccrd 9914  β„cr 11093  β„*cxr 11231  β„•cn 12196  β„šcq 12916  (,)cioo 13308  topGenctg 17367  TopBasesctb 22379  volcvol 24911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-inf2 9620  ax-cc 10414  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-2o 8451  df-oadd 8454  df-omul 8455  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-oi 9489  df-dju 9880  df-card 9918  df-acn 9921  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xadd 13077  df-ioo 13312  df-ico 13314  df-icc 13315  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-fl 13741  df-seq 13951  df-exp 14012  df-hash 14275  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-clim 15416  df-rlim 15417  df-sum 15617  df-topgen 17373  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bases 22380  df-ovol 24912  df-vol 24913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator