MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmblALT 25638
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25637 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10475. (This was also the original proof before the current opnmbl 25637 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 24780 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2 eltg3 22969 . . . 4 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥))
4 uniiun 5058 . . . . . . 7 𝑥 = 𝑦𝑥 𝑦
5 ssdomg 9040 . . . . . . . . . 10 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7 omelon 9686 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
8 qnnen 16249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ≈ ℕ
9 xpen 9180 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
108, 8, 9mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11 xpnnen 16247 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
1210, 11entri 9048 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13 nnenom 14021 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ≈ ω
1412, 13entr2i 9049 . . . . . . . . . . . 12 ω ≈ (ℚ × ℚ)
15 isnumi 9986 . . . . . . . . . . . 12 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
167, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17 ioof 13487 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun (,)
20 qssre 13001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℚ ⊆ ℝ
21 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℝ*
23 xpss12 5700 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2422, 22, 23mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2517fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . 13 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2624, 25sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27 fores 6830 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2819, 26, 27mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29 fodomnum 10097 . . . . . . . . . . 11 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31 domentr 9053 . . . . . . . . . 10 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
3230, 12, 31mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33 domtr 9047 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
346, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35 imassrn 6089 . . . . . . . . . . 11 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38 ioombl 25600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
3938rgen2w 3066 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40 ffnov 7559 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
4137, 39, 40mpbir2an 711 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42 frn 6743 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ dom vol
4435, 43sstri 3993 . . . . . . . . . 10 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45 sstr 3992 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
4644, 45mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47 dfss3 3972 . . . . . . . . 9 (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
4846, 47sylib 218 . . . . . . . 8 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49 iunmbl2 25592 . . . . . . . 8 ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑦𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
514, 50eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ∈ dom vol)
52 eleq1 2829 . . . . . 6 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ dom vol))
5351, 52syl5ibrcom 247 . . . . 5 (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ dom vol))
5453imp 406 . . . 4 ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
5554exlimiv 1930 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
563, 55sylbi 217 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57 eqid 2737 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5857tgqioo 24821 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5956, 58eleq2s 2859 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Oncon0 6384  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  cardccrd 9975  cr 11154  *cxr 11294  cn 12266  cq 12990  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  TopBasesctb 22952  volcvol 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-topgen 17488  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bases 22953  df-ovol 25499  df-vol 25500
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator