Theorem opnmblALT 24812

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 24811 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10237. (This was also the original proof before the current opnmbl 24811 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 23968	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2		eltg3 22157	. . . 4 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
4		uniiun 4995	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
5		ssdomg 8821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7		omelon 9448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
8		qnnen 15967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ≈ ℕ
9		xpen 8965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
10	8, 8, 9	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11		xpnnen 15965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
12	10, 11	entri 8829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13		nnenom 13746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
14	12, 13	entr2i 8830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
15		isnumi 9748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
16	7, 14, 15	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17		ioof 13225	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18		ffun 6633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun (,)
20		qssre 12745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
21		ressxr 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
23		xpss12 5615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
24	22, 22, 23	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
25	17	fdmi 6642	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
26	24, 25	sseqtrri 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27		fores 6728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
28	19, 26, 27	mp2an 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29		fodomnum 9859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31		domentr 8834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
32	30, 12, 31	mp2an 690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33		domtr 8828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
34	6, 32, 33	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35		imassrn 5990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36		ffn 6630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38		ioombl 24774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
39	38	rgen2w 3067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40		ffnov 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
41	37, 39, 40	mpbir2an 709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42		frn 6637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ dom vol
44	35, 43	sstri 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45		sstr 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
46	44, 45	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47		dfss3 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
48	46, 47	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49		iunmbl2 24766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
50	34, 48, 49	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
51	4, 50	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
52		eleq1 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
53	51, 52	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom vol))
54	53	imp 408	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
55	54	exlimiv 1931	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
56	3, 55	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57		eqid 2736	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
58	57	tgqioo 24008	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
59	56, 58	eleq2s 2855	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4844  ∪ ciun 4931   class class class wbr 5081   × cxp 5598  dom cdm 5600  ran crn 5601   ↾ cres 5602   “ cima 5603  Oncon0 6281  Fun wfun 6452   Fn wfn 6453  ⟶wf 6454  –onto→wfo 6456  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ωcom 7744   ≈ cen 8761   ≼ cdom 8762  cardccrd 9737  ℝcr 10916  ℝ^*cxr 11054  ℕcn 12019  ℚcq 12734  (,)cioo 13125  topGenctg 17193  TopBasesctb 22140  volcvol 24672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cc 10237  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-dju 9703  df-card 9741  df-acn 9744  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xadd 12895  df-ioo 13129  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829  df-hash 14091  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-sum 15443  df-topgen 17199  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bases 22141  df-ovol 24673  df-vol 24674

This theorem is referenced by: (None)