Theorem opnmblALT 25638

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25637 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10475. (This was also the original proof before the current opnmbl 25637 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 24780	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
2		eltg3 22969	. . . 4 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
4		uniiun 5058	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑥 = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
5		ssdomg 9040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
7		omelon 9686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ∈ On
8		qnnen 16249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ≈ ℕ
9		xpen 9180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
10	8, 8, 9	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
11		xpnnen 16247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
12	10, 11	entri 9048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
13		nnenom 14021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ ≈ ω
14	12, 13	entr2i 9049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
15		isnumi 9986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
16	7, 14, 15	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
17		ioof 13487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
18		ffun 6739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Fun (,)
20		qssre 13001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
21		ressxr 11305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	20, 21	sstri 3993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
23		xpss12 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
24	22, 22, 23	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
25	17	fdmi 6747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
26	24, 25	sseqtrri 4033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
27		fores 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
28	19, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
29		fodomnum 10097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
31		domentr 9053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ)
32	30, 12, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ
33		domtr 9047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ≼ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ℕ) → 𝑥 ≼ ℕ)
34	6, 32, 33	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ≼ ℕ)
35		imassrn 6089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
36		ffn 6736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
38		ioombl 25600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
39	38	rgen2w 3066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol
40		ffnov 7559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ dom vol))
41	37, 39, 40	mpbir2an 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol
42		frn 6743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶dom vol → ran (,) ⊆ dom vol)
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ dom vol
44	35, 43	sstri 3993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol
45		sstr 3992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ dom vol) → 𝑥 ⊆ dom vol)
46	44, 45	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → 𝑥 ⊆ dom vol)
47		dfss3 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ⊆ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
48	46, 47	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
49		iunmbl2 25592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≼ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
50	34, 48, 49	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ dom vol)
51	4, 50	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → ∪ 𝑥 ∈ dom vol)
52		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑥 ∈ dom vol))
53	51, 52	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ dom vol))
54	53	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
55	54	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ dom vol)
56	3, 55	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → 𝐴 ∈ dom vol)
57		eqid 2737	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
58	57	tgqioo 24821	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
59	56, 58	eleq2s 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ∪ cuni 4907  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686   ↾ cres 5687   “ cima 5688  Oncon0 6384  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  –onto→wfo 6559  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  cardccrd 9975  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294  ℕcn 12266  ℚcq 12990  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  TopBasesctb 22952  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-topgen 17488  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bases 22953  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by: (None)