MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmblALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem opnmblALT 25127
Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 25126 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 10432. (This was also the original proof before the current opnmbl 25126 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opnmblALT (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Proof of Theorem opnmblALT
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopbas 24283 . . . 4 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
2 eltg3 22472 . . . 4 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯))
4 uniiun 5061 . . . . . . 7 βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦
5 ssdomg 8998 . . . . . . . . . 10 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7 omelon 9643 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ ∈ On
8 qnnen 16158 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š β‰ˆ β„•
9 xpen 9142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
108, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
11 xpnnen 16156 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
1210, 11entri 9006 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
13 nnenom 13947 . . . . . . . . . . . . 13 β„• β‰ˆ Ο‰
1412, 13entr2i 9007 . . . . . . . . . . . 12 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
15 isnumi 9943 . . . . . . . . . . . 12 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
167, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
17 ioof 13426 . . . . . . . . . . . . 13 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
18 ffun 6720 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun (,)
20 qssre 12945 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„š βŠ† ℝ
21 ressxr 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ βŠ† ℝ*
2220, 21sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . 14 β„š βŠ† ℝ*
23 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2422, 22, 23mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2517fdmi 6729 . . . . . . . . . . . . 13 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2624, 25sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . 12 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
27 fores 6815 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
2819, 26, 27mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
29 fodomnum 10054 . . . . . . . . . . 11 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
3016, 28, 29mp2 9 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
31 domentr 9011 . . . . . . . . . 10 ((((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•)
3230, 12, 31mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•
33 domtr 9005 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ β‰Ό ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό β„•) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
346, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ β‰Ό β„•)
35 imassrn 6070 . . . . . . . . . . 11 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
36 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
3717, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
38 ioombl 25089 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol
3938rgen2w 3066 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol
40 ffnov 7537 . . . . . . . . . . . . 13 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol ↔ ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ dom vol))
4137, 39, 40mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . 12 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol
42 frn 6724 . . . . . . . . . . . 12 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢dom vol β†’ ran (,) βŠ† dom vol)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) βŠ† dom vol
4435, 43sstri 3991 . . . . . . . . . 10 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† dom vol
45 sstr 3990 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† dom vol) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
4644, 45mpan2 689 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ π‘₯ βŠ† dom vol)
47 dfss3 3970 . . . . . . . . 9 (π‘₯ βŠ† dom vol ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
4846, 47sylib 217 . . . . . . . 8 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
49 iunmbl2 25081 . . . . . . . 8 ((π‘₯ β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
5034, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . 7 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦 ∈ dom vol)
514, 50eqeltrid 2837 . . . . . 6 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ dom vol)
52 eleq1 2821 . . . . . 6 (𝐴 = βˆͺ π‘₯ β†’ (𝐴 ∈ dom vol ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ dom vol))
5351, 52syl5ibrcom 246 . . . . 5 (π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ (𝐴 = βˆͺ π‘₯ β†’ 𝐴 ∈ dom vol))
5453imp 407 . . . 4 ((π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
5554exlimiv 1933 . . 3 (βˆƒπ‘₯(π‘₯ βŠ† ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ 𝐴 = βˆͺ π‘₯) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
563, 55sylbi 216 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
57 eqid 2732 . . 3 (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
5857tgqioo 24323 . 2 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
5956, 58eleq2s 2851 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  cardccrd 9932  β„cr 11111  β„*cxr 11249  β„•cn 12214  β„šcq 12934  (,)cioo 13326  topGenctg 17385  TopBasesctb 22455  volcvol 24987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xadd 13095  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-topgen 17391  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bases 22456  df-ovol 24988  df-vol 24989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator