Theorem connima 21637

Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connima.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connima.c	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
connima	⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connima.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		connima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		connima.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		eqid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 21458	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
7	6	ffund 6295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
8		connima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
9	6	fdmd 6300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
10	8, 9	sseqtr4d 3860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6376	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
12	7, 10, 11	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
13		cntop2 21453	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
14	2, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
15		imassrn 5731	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
16	6	frnd 6298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
17	15, 16	syl5ss 3831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾)
18	4	restuni 21374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
19	14, 17, 18	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
20		foeq3 6364	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
22	12, 21	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
23	3	cnrest 21497	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
24	2, 8, 23	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
25	4	toptopon 21129	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	14, 25	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		df-ima 5368	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
28		eqimss2 3876	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
29	27, 28	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
30		cnrest2 21498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
31	26, 29, 17, 30	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
32	24, 31	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
33		eqid 2777	. . 3 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))
34	33	cnconn 21634	. 2 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∧ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))) → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)
35	1, 22, 32, 34	syl3anc 1439	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  ∪ cuni 4671  dom cdm 5355  ran crn 5356   ↾ cres 5357   “ cima 5358  Fun wfun 6129  ⟶wf 6131  –onto→wfo 6133  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↾_t crest 16467  Topctop 21105  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  Conncconn 21623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-fin 8245  df-fi 8605  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-cn 21439  df-conn 21624

This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  22323  tgpconncomp  22324