MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem connima 22928
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
connima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
connima.c (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
53, 4cnf 22749 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
76ffund 6721 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
96fdmd 6728 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 4023 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
11 fores 6815 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
127, 10, 11syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
13 cntop2 22744 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 6070 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
166frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1715, 16sstrid 3993 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾)
184restuni 22665 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
20 foeq3 6803 . . . 4 ((𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2212, 21mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
233cnrest 22788 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 22419 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2614, 25sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 df-ima 5689 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
28 eqimss2 4041 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
30 cnrest2 22789 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3224, 31mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
33 eqid 2732 . . 3 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))
3433cnconn 22925 . 2 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1371 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  Conncconn 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-conn 22915
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  23615  tgpconncomp  23616
  Copyright terms: Public domain W3C validator