MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem connima 23280
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
connima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
connima.c (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2726 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
53, 4cnf 23101 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
76ffund 6714 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
96fdmd 6721 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 4018 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
11 fores 6808 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
127, 10, 11syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
13 cntop2 23096 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 6063 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
166frnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1715, 16sstrid 3988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾)
184restuni 23017 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
20 foeq3 6796 . . . 4 ((𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2212, 21mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
233cnrest 23140 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 22771 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2614, 25sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 df-ima 5682 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
28 eqimss2 4036 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
30 cnrest2 23141 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3224, 31mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
33 eqid 2726 . . 3 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))
3433cnconn 23277 . 2 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύt crest 17373  Topctop 22746  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079  Conncconn 23266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cld 22874  df-cn 23082  df-conn 23267
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  23967  tgpconncomp  23968
  Copyright terms: Public domain W3C validator