Theorem connima 23748

Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connima.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connima.c	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
connima	⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connima.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		connima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		connima.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23569	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
7	6	ffund 6714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
8		connima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
9	6	fdmd 6720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
10	8, 9	sseqtrrd 3945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6806	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
13		cntop2 23564	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
15		imassrn 6197	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
16	6	frnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
17	15, 16	sstrid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾)
18	4	restuni 23485	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
20		foeq3 6794	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
22	12, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
23	3	cnrest 23608	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
24	2, 8, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
25		toptopon2 23241	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	14, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		df-ima 5663	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
28		eqimss2 3967	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
29	27, 28	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
30		cnrest2 23609	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
31	26, 29, 17, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
32	24, 31	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
33		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))
34	33	cnconn 23745	. 2 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∧ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))) → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)
35	1, 22, 32, 34	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17596  Topctop 23216  TopOnctopon 23233   Cn ccn 23547  Conncconn 23734

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-en 8977  df-fin 8980  df-fi 9406  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cld 23342  df-cn 23550  df-conn 23735

This theorem is used by:  tgpconncompeqg  24436  tgpconncomp  24437