Theorem connima 23563

Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connima.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connima.c	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
connima	⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connima.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		connima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		connima.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23384	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
7	6	ffund 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
8		connima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
9	6	fdmd 6718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
10	8, 9	sseqtrrd 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6804	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
12	7, 10, 11	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
13		cntop2 23379	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
15		imassrn 6075	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
16	6	frnd 6716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
17	15, 16	sstrid 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾)
18	4	restuni 23300	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
19	14, 17, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
20		foeq3 6792	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
22	12, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
23	3	cnrest 23423	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
24	2, 8, 23	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
25		toptopon2 23056	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	14, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		df-ima 5676	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
28		eqimss2 3997	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
29	27, 28	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
30		cnrest2 23424	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
31	26, 29, 17, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
32	24, 31	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
33		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))
34	33	cnconn 23560	. 2 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∧ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))) → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)
35	1, 22, 32, 34	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4873  dom cdm 5663  ran crn 5664   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17474  Topctop 23031  TopOnctopon 23048   Cn ccn 23362  Conncconn 23549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8827  df-en 8945  df-fin 8948  df-fi 9372  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cld 23157  df-cn 23365  df-conn 23550

This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  24250  tgpconncomp  24251