MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 22799
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
connima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
connima.c (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2733 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
53, 4cnf 22620 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
76ffund 6676 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
96fdmd 6683 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 3989 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
11 fores 6770 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
127, 10, 11syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
13 cntop2 22615 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 6028 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
166frnd 6680 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1715, 16sstrid 3959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾)
184restuni 22536 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
20 foeq3 6758 . . . 4 ((𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2212, 21mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
233cnrest 22659 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 22290 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2614, 25sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 df-ima 5650 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
28 eqimss2 4005 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
30 cnrest2 22660 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3224, 31mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
33 eqid 2733 . . 3 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))
3433cnconn 22796 . 2 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1372 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€“ontoβ†’wfo 6498  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  Conncconn 22785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-conn 22786
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  23486  tgpconncomp  23487
  Copyright terms: Public domain W3C validator