MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem connima 23347
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = βˆͺ 𝐽
connima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
connima.c (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ 𝐽
4 eqid 2727 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
53, 4cnf 23168 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
76ffund 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
96fdmd 6736 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† dom 𝐹)
11 fores 6824 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
127, 10, 11syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴))
13 cntop2 23163 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 6077 . . . . . 6 (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† ran 𝐹
166frnd 6733 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1715, 16sstrid 3991 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾)
184restuni 23084 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
20 foeq3 6812 . . . 4 ((𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’(𝐹 β€œ 𝐴) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
2212, 21mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))
233cnrest 23207 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 22838 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2614, 25sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
27 df-ima 5693 . . . . 5 (𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴)
28 eqimss2 4039 . . . . 5 ((𝐹 β€œ 𝐴) = ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴))
30 cnrest2 23208 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ 𝐴) βŠ† (𝐹 β€œ 𝐴) ∧ (𝐹 β€œ 𝐴) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))))
3224, 31mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))))
33 eqid 2727 . . 3 βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) = βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴))
3433cnconn 23344 . 2 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴–ontoβ†’βˆͺ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∧ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1368 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4910  dom cdm 5680  ran crn 5681   β†Ύ cres 5682   β€œ cima 5683  Fun wfun 6545  βŸΆwf 6547  β€“ontoβ†’wfo 6549  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   β†Ύt crest 17407  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146  Conncconn 23333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851  df-en 8969  df-fin 8972  df-fi 9440  df-rest 17409  df-topgen 17430  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cld 22941  df-cn 23149  df-conn 23334
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  24034  tgpconncomp  24035
  Copyright terms: Public domain W3C validator