MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 23414
Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = 𝐽
connima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (𝜑𝐴𝑋)
connima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2726 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 23235 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
76ffund 6721 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
96fdmd 6727 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 4020 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11 fores 6814 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
127, 10, 11syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
13 cntop2 23230 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 6070 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
166frnd 6725 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
1715, 16sstrid 3990 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
184restuni 23151 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
20 foeq3 6802 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2212, 21mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
233cnrest 23274 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 22905 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2614, 25sylib 217 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
27 df-ima 5685 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
28 eqimss2 4038 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
30 cnrest2 23275 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3224, 31mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
33 eqid 2726 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3433cnconn 23411 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946   cuni 4905  dom cdm 5672  ran crn 5673  cres 5674  cima 5675  Fun wfun 6537  wf 6539  ontowfo 6541  cfv 6543  (class class class)co 7413  t crest 17427  Topctop 22880  TopOnctopon 22897   Cn ccn 23213  Conncconn 23400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8846  df-en 8964  df-fin 8967  df-fi 9444  df-rest 17429  df-topgen 17450  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22934  df-cld 23008  df-cn 23216  df-conn 23401
This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  24101  tgpconncomp  24102
  Copyright terms: Public domain W3C validator