Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connima 22030
 Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
connima.x 𝑋 = 𝐽
connima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a (𝜑𝐴𝑋)
connima.c (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
Assertion
Ref Expression
connima (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima
StepHypRef Expression
1 connima.c . 2 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) ∈ Conn)
2 connima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 connima.x . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
4 eqid 2798 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 21851 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋 𝐾)
76ffund 6491 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
8 connima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
96fdmd 6497 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
108, 9sseqtrrd 3956 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11 fores 6575 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
127, 10, 11syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴))
13 cntop2 21846 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
15 imassrn 5907 . . . . . 6 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
166frnd 6494 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 𝐾)
1715, 16sstrid 3926 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾)
184restuni 21767 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
1914, 17, 18syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)))
20 foeq3 6563 . . . 4 ((𝐹𝐴) = (𝐾t (𝐹𝐴)) → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2119, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴):𝐴onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴))))
2212, 21mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)))
233cnrest 21890 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
242, 8, 23syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
25 toptopon2 21523 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
2614, 25sylib 221 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
27 df-ima 5532 . . . . 5 (𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴)
28 eqimss2 3972 . . . . 5 ((𝐹𝐴) = ran (𝐹𝐴) → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
2927, 28mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴))
30 cnrest2 21891 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐾) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3126, 29, 17, 30syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))))
3224, 31mpbid 235 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴))))
33 eqid 2798 . . 3 (𝐾t (𝐹𝐴)) = (𝐾t (𝐹𝐴))
3433cnconn 22027 . 2 (((𝐽t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹𝐴):𝐴onto (𝐾t (𝐹𝐴)) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn (𝐾t (𝐹𝐴)))) → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
351, 22, 32, 34syl3anc 1368 1 (𝜑 → (𝐾t (𝐹𝐴)) ∈ Conn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  –onto→wfo 6322  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↾t crest 16686  Topctop 21498  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829  Conncconn 22016 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-fin 8496  df-fi 8859  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cld 21624  df-cn 21832  df-conn 22017 This theorem is referenced by:  tgpconncompeqg  22717  tgpconncomp  22718
 Copyright terms: Public domain W3C validator