Theorem connima 23619

Description: The image of a connected set is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
connima.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
connima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
connima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
connima.c	⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)

Assertion

Ref	Expression
connima	⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

Proof of Theorem connima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		connima.c	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn)
2		connima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		connima.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
5	3, 4	cnf 23440	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
7	6	ffund 6717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
8		connima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
9	6	fdmd 6723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
10	8, 9	sseqtrrd 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6809	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴))
13		cntop2 23435	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
14	2, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
15		imassrn 6078	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ran 𝐹
16	6	frnd 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ∪ 𝐾)
17	15, 16	sstrid 3951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾)
18	4	restuni 23356	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
19	14, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
20		foeq3 6797	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
21	19, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→(𝐹 “ 𝐴) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
22	12, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))
23	3	cnrest 23479	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
24	2, 8, 23	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
25		toptopon2 23112	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
26	14, 25	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
27		df-ima 5679	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴)
28		eqimss2 3999	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) = ran (𝐹 ↾ 𝐴) → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
29	27, 28	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴))
30		cnrest2 23480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran (𝐹 ↾ 𝐴) ⊆ (𝐹 “ 𝐴) ∧ (𝐹 “ 𝐴) ⊆ ∪ 𝐾) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
31	26, 29, 17, 30	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))))
32	24, 31	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))))
33		eqid 2766	. . 3 ⊢ ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) = ∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴))
34	33	cnconn 23616	. 2 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Conn ∧ (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴–onto→∪ (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∧ (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)))) → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)
35	1, 22, 32, 34	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t (𝐹 “ 𝐴)) ∈ Conn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4877  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_t crest 17498  Topctop 23087  TopOnctopon 23104   Cn ccn 23418  Conncconn 23605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cld 23213  df-cn 23421  df-conn 23606

This theorem is used by:  tgpconncompeqg  24306  tgpconncomp  24307