Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 39562
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
lmhmfgima.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (𝜑𝐴𝑈)
lmhmfgima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 19734 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9 eqid 2818 . . . . . 6 (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
117, 8, 9, 10islssfg2 39549 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
132, 12mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
1514sseli 3960 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
1615elpwid 4549 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
1810, 9, 17lmhmlsp 19750 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
193, 16, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2019oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))))
21 lmhmlmod2 19733 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 5933 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
25 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2610, 25lmhmf 19735 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
2827frnd 6514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
2924, 28sstrid 3975 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
3029adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31 inss2 4203 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
3231sseli 3960 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3427ffund 6511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
3534adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
3616adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
3727fdmd 6516 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3936, 38sseqtrrd 4005 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40 fores 6593 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
4135, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
42 fofi 8798 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
44 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
4517, 25, 44islssfgi 39550 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝑥) ∈ Fin) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2910 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 5918 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹𝐴))
4948oveq2d 7161 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s (𝐹𝐴)))
5049eleq1d 2894 . . . . 5 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 246 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3281 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53eqeltrid 2914 1 (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  Basecbs 16471  s cress 16472  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672   LMHom clmhm 19720  LFinGenclfig 39545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lmhm 19723  df-lfig 39546
This theorem is referenced by:  lnmepi  39563
  Copyright terms: Public domain W3C validator