Theorem lmhmfgima 44179

Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmfgima.y	⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
lmhmfgima.x	⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
lmhmfgima.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lmhmfgima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lmhmfgima	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmfgima.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
2		lmhmfgima.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
3		lmhmfgima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4		lmhmlmod1 21313	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
6		lmhmfgima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		lmhmfgima.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
8		lmhmfgima.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	7, 8, 9, 10	islssfg2 44166	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
12	5, 6, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
13	2, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14		inss1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
15	14	sseli 3904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
16	15	elpwid 4565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	10, 9, 17	lmhmlsp 21329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
19	3, 16, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
20	19	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))))
21		lmhmlmod2 21312	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24		imassrn 6197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐹
25		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
26	10, 25	lmhmf 21314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
27	3, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
28	27	frnd 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
29	24, 28	sstrid 3919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31		inss2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
32	31	sseli 3904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
34	27	ffund 6714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
36	16	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
37	27	fdmd 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
39	36, 38	sseqtrrd 3945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40		fores 6806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
41	35, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
42		fofi 9308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
44		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
45	17, 25, 44	islssfgi 44167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
46	23, 30, 43, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
47	20, 46	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48		imaeq2 6047	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹 “ 𝐴))
49	48	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)))
50	49	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
51	47, 50	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
52	51	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
53	13, 52	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen)
54	1, 53	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  dom cdm 5650  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8976  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  LModclmod 21140  LSubSpclss 21211  LSpanclspn 21251   LMHom clmhm 21299  LFinGenclfig 44162

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-mgp 20366  df-ur 20413  df-ring 20466  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lmhm 21302  df-lfig 44163

This theorem is used by:  lnmepi  44180