Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 41440
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
lmhmfgima.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmfgima.xf (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
lmhmfgima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 20510 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘†) = (LSpanβ€˜π‘†)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
117, 8, 9, 10islssfg2 41427 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
132, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴)
14 inss1 4193 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘†)
1514sseli 3945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†))
1615elpwid 4574 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‡) = (LSpanβ€˜π‘‡)
1810, 9, 17lmhmlsp 20526 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
193, 16, 18syl2an 597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
2019oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))))
21 lmhmlmod2 20509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 6029 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† ran 𝐹
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
2610, 25lmhmf 20511 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
2827frnd 6681 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
2924, 28sstrid 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
31 inss2 4194 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† Fin
3231sseli 3945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3427ffund 6677 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐹)
3616adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
3727fdmd 6684 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3936, 38sseqtrrd 3990 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝐹)
40 fores 6771 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
4135, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
42 fofi 9289 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
4517, 25, 44islssfgi 41428 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 6014 . . . . . . 7 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = (𝐹 β€œ 𝐴))
4948oveq2d 7378 . . . . . 6 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)))
5049eleq1d 2823 . . . . 5 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ ((𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3153 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53eqeltrid 2842 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448   LMHom clmhm 20496  LFinGenclfig 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lfig 41424
This theorem is referenced by:  lnmepi  41441
  Copyright terms: Public domain W3C validator