Theorem lmhmfgima 43116

Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmfgima.y	⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
lmhmfgima.x	⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
lmhmfgima.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lmhmfgima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lmhmfgima	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmfgima.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
2		lmhmfgima.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
3		lmhmfgima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4		lmhmlmod1 20965	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
6		lmhmfgima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		lmhmfgima.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
8		lmhmfgima.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	7, 8, 9, 10	islssfg2 43103	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
12	5, 6, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
13	2, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14		inss1 4187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
15	14	sseli 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
16	15	elpwid 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	10, 9, 17	lmhmlsp 20981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
19	3, 16, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
20	19	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))))
21		lmhmlmod2 20964	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24		imassrn 6020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐹
25		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
26	10, 25	lmhmf 20966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
28	27	frnd 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
29	24, 28	sstrid 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31		inss2 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
32	31	sseli 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
34	27	ffund 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
36	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
37	27	fdmd 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
39	36, 38	sseqtrrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40		fores 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
41	35, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
42		fofi 9197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
44		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
45	17, 25, 44	islssfgi 43104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
46	23, 30, 43, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
47	20, 46	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48		imaeq2 6005	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹 “ 𝐴))
49	48	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)))
50	49	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
51	47, 50	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
52	51	rexlimdva 3133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
53	13, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen)
54	1, 53	eqeltrid 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  dom cdm 5616  ran crn 5617   ↾ cres 5618   “ cima 5619  Fun wfun 6475  ⟶wf 6477  –onto→wfo 6479  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  LModclmod 20791  LSubSpclss 20862  LSpanclspn 20902   LMHom clmhm 20951  LFinGenclfig 43099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-ring 20151  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lmhm 20954  df-lfig 43100

This theorem is referenced by:  lnmepi  43117