Theorem lmhmfgima 43933

Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmfgima.y	⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
lmhmfgima.x	⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
lmhmfgima.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lmhmfgima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lmhmfgima	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmfgima.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
2		lmhmfgima.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
3		lmhmfgima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4		lmhmlmod1 21223	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
6		lmhmfgima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		lmhmfgima.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
8		lmhmfgima.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	7, 8, 9, 10	islssfg2 43920	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
12	5, 6, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
13	2, 12	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14		inss1 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
15	14	sseli 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
16	15	elpwid 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	10, 9, 17	lmhmlsp 21239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
19	3, 16, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
20	19	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))))
21		lmhmlmod2 21222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
23	22	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24		imassrn 6071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐹
25		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
26	10, 25	lmhmf 21224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
27	3, 26	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
28	27	frnd 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
29	24, 28	sstrid 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
30	29	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31		inss2 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
32	31	sseli 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
34	27	ffund 6711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
36	16	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
37	27	fdmd 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
39	36, 38	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40		fores 6803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
41	35, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
42		fofi 9287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
44		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
45	17, 25, 44	islssfgi 43921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
46	23, 30, 43, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
47	20, 46	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48		imaeq2 6056	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹 “ 𝐴))
49	48	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)))
50	49	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
51	47, 50	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
52	51	rexlimdva 3165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
53	13, 52	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen)
54	1, 53	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  LSpanclspn 21161   LMHom clmhm 21209  LFinGenclfig 43916

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-lmhm 21212  df-lfig 43917

This theorem is used by:  lnmepi  43934