Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 42480
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
lmhmfgima.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (𝜑𝐴𝑈)
lmhmfgima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 20911 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9 eqid 2727 . . . . . 6 (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
117, 8, 9, 10islssfg2 42467 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
132, 12mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14 inss1 4224 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
1514sseli 3974 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
1615elpwid 4607 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
1810, 9, 17lmhmlsp 20927 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
193, 16, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2019oveq2d 7430 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))))
21 lmhmlmod2 20910 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 6068 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
25 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2610, 25lmhmf 20912 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
2827frnd 6724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
2924, 28sstrid 3989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31 inss2 4225 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
3231sseli 3974 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3427ffund 6720 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
3616adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
3727fdmd 6727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3936, 38sseqtrrd 4019 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40 fores 6815 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
4135, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
42 fofi 9356 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
44 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
4517, 25, 44islssfgi 42468 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝑥) ∈ Fin) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2828 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 6053 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹𝐴))
4948oveq2d 7430 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s (𝐹𝐴)))
5049eleq1d 2813 . . . . 5 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3150 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53eqeltrid 2832 1 (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4598  dom cdm 5672  ran crn 5673  cres 5674  cima 5675  Fun wfun 6536  wf 6538  ontowfo 6540  cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8957  Basecbs 17173  s cress 17202  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSpanclspn 20848   LMHom clmhm 20897  LFinGenclfig 42463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lmhm 20900  df-lfig 42464
This theorem is referenced by:  lnmepi  42481
  Copyright terms: Public domain W3C validator