Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 42573
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
lmhmfgima.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmfgima.xf (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
lmhmfgima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 20922 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
9 eqid 2725 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘†) = (LSpanβ€˜π‘†)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
117, 8, 9, 10islssfg2 42560 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
132, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴)
14 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘†)
1514sseli 3968 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†))
1615elpwid 4607 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
17 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‡) = (LSpanβ€˜π‘‡)
1810, 9, 17lmhmlsp 20938 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
193, 16, 18syl2an 594 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
2019oveq2d 7432 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))))
21 lmhmlmod2 20921 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 6069 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† ran 𝐹
25 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
2610, 25lmhmf 20923 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
2827frnd 6725 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
2924, 28sstrid 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
31 inss2 4224 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† Fin
3231sseli 3968 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3332adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3427ffund 6721 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
3534adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐹)
3616adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
3727fdmd 6728 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3936, 38sseqtrrd 4014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝐹)
40 fores 6816 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
4135, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
42 fofi 9362 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
44 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
4517, 25, 44islssfgi 42561 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2825 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 6054 . . . . . . 7 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = (𝐹 β€œ 𝐴))
4948oveq2d 7432 . . . . . 6 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)))
5049eleq1d 2810 . . . . 5 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ ((𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3145 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53eqeltrid 2829 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  π’« cpw 4598  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859   LMHom clmhm 20908  LFinGenclfig 42556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lmhm 20911  df-lfig 42557
This theorem is referenced by:  lnmepi  42574
  Copyright terms: Public domain W3C validator