Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 42404
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
lmhmfgima.u π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
lmhmfgima.xf (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
lmhmfgima.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 π‘Œ = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 20881 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆 β†Ύs 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LSubSpβ€˜π‘†)
9 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘†) = (LSpanβ€˜π‘†)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
117, 8, 9, 10islssfg2 42391 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ LFinGen ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴))
132, 12mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴)
14 inss1 4223 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘†)
1514sseli 3973 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘†))
1615elpwid 4606 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
17 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘‡) = (LSpanβ€˜π‘‡)
1810, 9, 17lmhmlsp 20897 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
193, 16, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
2019oveq2d 7421 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))))
21 lmhmlmod2 20880 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 6064 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† ran 𝐹
25 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘‡) = (Baseβ€˜π‘‡)
2610, 25lmhmf 20882 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:(Baseβ€˜π‘†)⟢(Baseβ€˜π‘‡))
2827frnd 6719 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
2924, 28sstrid 3988 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡))
31 inss2 4224 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) βŠ† Fin
3231sseli 3973 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3427ffund 6715 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
3534adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ Fun 𝐹)
3616adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
3727fdmd 6722 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ dom 𝐹 = (Baseβ€˜π‘†))
3936, 38sseqtrrd 4018 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† dom 𝐹)
40 fores 6809 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ π‘₯ βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
4135, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯))
42 fofi 9340 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ π‘₯):π‘₯–ontoβ†’(𝐹 β€œ π‘₯)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin)
44 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯)))
4517, 25, 44islssfgi 42392 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘‡) ∧ (𝐹 β€œ π‘₯) ∈ Fin) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs ((LSpanβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ π‘₯))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 6049 . . . . . . 7 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯)) = (𝐹 β€œ 𝐴))
4948oveq2d 7421 . . . . . 6 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) = (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)))
5049eleq1d 2812 . . . . 5 (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ ((𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ ((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 244 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)) β†’ (((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝒫 (Baseβ€˜π‘†) ∩ Fin)((LSpanβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύs (𝐹 β€œ 𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53eqeltrid 2831 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  βŸΆwf 6533  β€“ontoβ†’wfo 6535  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818   LMHom clmhm 20867  LFinGenclfig 42387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lfig 42388
This theorem is referenced by:  lnmepi  42405
  Copyright terms: Public domain W3C validator