Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmfgima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmfgima 38439
Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmfgima.y 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
lmhmfgima.x 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
lmhmfgima.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a (𝜑𝐴𝑈)
lmhmfgima.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Assertion
Ref Expression
lmhmfgima (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmfgima.y . 2 𝑌 = (𝑇s (𝐹𝐴))
2 lmhmfgima.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ LFinGen)
3 lmhmfgima.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4 lmhmlmod1 19354 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
6 lmhmfgima.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
7 lmhmfgima.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑆s 𝐴)
8 lmhmfgima.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9 eqid 2799 . . . . . 6 (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10 eqid 2799 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
117, 8, 9, 10islssfg2 38426 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
125, 6, 11syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
132, 12mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14 inss1 4028 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
1514sseli 3794 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
1615elpwid 4361 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
1810, 9, 17lmhmlsp 19370 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
193, 16, 18syl2an 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
2019oveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))))
21 lmhmlmod2 19353 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
223, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
2322adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24 imassrn 5694 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
25 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
2610, 25lmhmf 19355 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
2827frnd 6263 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
2924, 28syl5ss 3809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
3029adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31 inss2 4029 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
3231sseli 3794 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3332adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3427ffund 6260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
3534adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
3616adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
3727fdmd 6265 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3837adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
3936, 38sseqtr4d 3838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40 fores 6341 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
4135, 39, 40syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
42 fofi 8494 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
4333, 41, 42syl2anc 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ∈ Fin)
44 eqid 2799 . . . . . . . 8 (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) = (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥)))
4517, 25, 44islssfgi 38427 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹𝑥) ∈ Fin) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4623, 30, 43, 45syl3anc 1491 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝑥))) ∈ LFinGen)
4720, 46eqeltrd 2878 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48 imaeq2 5679 . . . . . . 7 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹𝐴))
4948oveq2d 6894 . . . . . 6 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇s (𝐹𝐴)))
5049eleq1d 2863 . . . . 5 (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5147, 50syl5ibcom 237 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5251rexlimdva 3212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen))
5313, 52mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑇s (𝐹𝐴)) ∈ LFinGen)
541, 53syl5eqel 2882 1 (𝜑𝑌 ∈ LFinGen)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4349  dom cdm 5312  ran crn 5313  cres 5314  cima 5315  Fun wfun 6095  wf 6097  ontowfo 6099  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  Basecbs 16184  s cress 16185  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSpanclspn 19292   LMHom clmhm 19340  LFinGenclfig 38422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lmhm 19343  df-lfig 38423
This theorem is referenced by:  lnmepi  38440
  Copyright terms: Public domain W3C validator