Theorem lmhmfgima 43073

Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmfgima.y	⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
lmhmfgima.x	⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
lmhmfgima.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lmhmfgima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lmhmfgima	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmfgima.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
2		lmhmfgima.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
3		lmhmfgima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4		lmhmlmod1 20940	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
6		lmhmfgima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		lmhmfgima.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
8		lmhmfgima.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	7, 8, 9, 10	islssfg2 43060	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
12	5, 6, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
13	2, 12	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14		inss1 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
15	14	sseli 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
16	15	elpwid 4572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	10, 9, 17	lmhmlsp 20956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
19	3, 16, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
20	19	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))))
21		lmhmlmod2 20939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24		imassrn 6042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐹
25		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
26	10, 25	lmhmf 20941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
28	27	frnd 6696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
29	24, 28	sstrid 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31		inss2 4201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
32	31	sseli 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
34	27	ffund 6692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
36	16	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
37	27	fdmd 6698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
39	36, 38	sseqtrrd 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40		fores 6782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
41	35, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
42		fofi 9262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
44		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
45	17, 25, 44	islssfgi 43061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
46	23, 30, 43, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
47	20, 46	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48		imaeq2 6027	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹 “ 𝐴))
49	48	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)))
50	49	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
51	47, 50	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
52	51	rexlimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
53	13, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen)
54	1, 53	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877   LMHom clmhm 20926  LFinGenclfig 43056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lfig 43057

This theorem is referenced by:  lnmepi  43074