Theorem lmhmfgima 40909

Description: A homomorphism maps finitely generated submodules to finitely generated submodules. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmfgima.y	⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
lmhmfgima.x	⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
lmhmfgima.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
lmhmfgima.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
lmhmfgima.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lmhmfgima.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lmhmfgima	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Proof of Theorem lmhmfgima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmfgima.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴))
2		lmhmfgima.xf	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ LFinGen)
3		lmhmfgima.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
4		lmhmlmod1 20295	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
6		lmhmfgima.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
7		lmhmfgima.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝑆 ↾s 𝐴)
8		lmhmfgima.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
10		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11	7, 8, 9, 10	islssfg2 40896	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
12	5, 6, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ LFinGen ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴))
13	2, 12	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴)
14		inss1 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (Base‘𝑆)
15	14	sseli 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑆))
16	15	elpwid 4544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
18	10, 9, 17	lmhmlsp 20311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
19	3, 16, 18	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
20	19	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))))
21		lmhmlmod2 20294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑇 ∈ LMod)
24		imassrn 5980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ ran 𝐹
25		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
26	10, 25	lmhmf 20296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
27	3, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
28	27	frnd 6608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (Base‘𝑇))
29	24, 28	sstrid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇))
31		inss2 4163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) ⊆ Fin
32	31	sseli 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
33	32	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
34	27	ffund 6604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
36	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑆))
37	27	fdmd 6611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → dom 𝐹 = (Base‘𝑆))
39	36, 38	sseqtrrd 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
40		fores 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
41	35, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
42		fofi 9105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
43	33, 41, 42	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin)
44		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) = (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥)))
45	17, 25, 44	islssfgi 40897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐹 “ 𝑥) ⊆ (Base‘𝑇) ∧ (𝐹 “ 𝑥) ∈ Fin) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
46	23, 30, 43, 45	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹 “ 𝑥))) ∈ LFinGen)
47	20, 46	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen)
48		imaeq2 5965	. . . . . . 7 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥)) = (𝐹 “ 𝐴))
49	48	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) = (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)))
50	49	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → ((𝑇 ↾s (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝑥))) ∈ LFinGen ↔ (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
51	47, 50	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)) → (((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
52	51	rexlimdva 3213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 (Base‘𝑆) ∩ Fin)((LSpan‘𝑆)‘𝑥) = 𝐴 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen))
53	13, 52	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾s (𝐹 “ 𝐴)) ∈ LFinGen)
54	1, 53	eqeltrid 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LFinGen)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233   LMHom clmhm 20281  LFinGenclfig 40892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lfig 40893

This theorem is referenced by:  lnmepi  40910