MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1opwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1opwfi 9396
Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1opwfi (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝐹,𝑏

Proof of Theorem f1opwfi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏))
2 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
32elin2d 4205 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
4 f1ofun 6850 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
5 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4607 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏𝐴)
87adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
9 f1odm 6852 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
118, 10sseqtrrd 4021 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ dom 𝐹)
12 fores 6830 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑏 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
134, 11, 12syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
14 fofi 9351 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
153, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
16 imassrn 6089 . . . . . 6 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
17 f1ofo 6855 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
18 forn 6823 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
2016, 19sseqtrid 4026 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2215, 21elpwd 4606 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
2322, 15elind 4200 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2524elin2d 4205 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
26 dff1o3 6854 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Fun 𝐹))
2726simprbi 496 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
28 elinel1 4201 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
30 elpwi 4607 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎𝐵)
32 f1ocnv 6860 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
34 f1odm 6852 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐵)
3631, 35sseqtrrd 4021 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ dom 𝐹)
37 fores 6830 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑎 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
3827, 36, 37syl2an2r 685 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
39 fofi 9351 . . . . 5 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
4025, 38, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
41 imassrn 6089 . . . . . 6 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
42 dfdm4 5906 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
4342, 9eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐴)
4441, 43sseqtrid 4026 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4544adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4640, 45elpwd 4606 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
4746, 40elind 4200 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
485, 28anim12i 613 . . 3 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵))
4930adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑎𝐵)
50 foimacnv 6865 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5117, 49, 50syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5251eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
53 imaeq2 6074 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
5453eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
5552, 54syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
56 f1of1 6847 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
576adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏𝐴)
58 f1imacnv 6864 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑏𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
5956, 57, 58syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
6059eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
61 imaeq2 6074 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
6261eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
6360, 62syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
6455, 63impbid 212 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
6548, 64sylan2 593 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
661, 23, 47, 65f1o2d 7687 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  Fun wfun 6555  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  fictb  10284  ackbijnn  15864  tsmsf1o  24153  eulerpartgbij  34374
  Copyright terms: Public domain W3C validator