Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1opwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1opwfi 8830
 Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1opwfi (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝐹,𝑏

Proof of Theorem f1opwfi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . 2 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏))
2 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
32elin2d 4129 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
4 f1ofun 6601 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
5 elinel1 4125 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4509 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏𝐴)
87adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
9 f1odm 6603 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
118, 10sseqtrrd 3958 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ dom 𝐹)
12 fores 6583 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑏 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
134, 11, 12syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
14 fofi 8812 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
153, 13, 14syl2anc 587 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
16 imassrn 5911 . . . . . 6 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
17 f1ofo 6606 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
18 forn 6576 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
2016, 19sseqtrid 3969 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2215, 21elpwd 4508 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
2322, 15elind 4124 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
24 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2524elin2d 4129 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
26 dff1o3 6605 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Fun 𝐹))
2726simprbi 500 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
28 elinel1 4125 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
2928adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
30 elpwi 4509 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎𝐵)
32 f1ocnv 6611 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3332adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
34 f1odm 6603 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐵)
3631, 35sseqtrrd 3958 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ dom 𝐹)
37 fores 6583 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑎 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
3827, 36, 37syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
39 fofi 8812 . . . . 5 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
4025, 38, 39syl2anc 587 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
41 imassrn 5911 . . . . . 6 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
42 dfdm4 5734 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
4342, 9syl5eqr 2847 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐴)
4441, 43sseqtrid 3969 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4544adantr 484 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4640, 45elpwd 4508 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
4746, 40elind 4124 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
485, 28anim12i 615 . . 3 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵))
4930adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑎𝐵)
50 foimacnv 6616 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5117, 49, 50syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5251eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
53 imaeq2 5896 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
5453eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
5552, 54syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
56 f1of1 6598 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
576adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏𝐴)
58 f1imacnv 6615 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑏𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
5956, 57, 58syl2an 598 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
6059eqcomd 2804 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
61 imaeq2 5896 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
6261eqeq2d 2809 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
6360, 62syl5ibrcom 250 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
6455, 63impbid 215 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
6548, 64sylan2 595 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
661, 23, 47, 65f1o2d 7390 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4500   ↦ cmpt 5114  ◡ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526  Fun wfun 6326  –1-1→wf1 6329  –onto→wfo 6330  –1-1-onto→wf1o 6331  Fincfn 8510 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-om 7574  df-1o 8103  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-fin 8514 This theorem is referenced by:  fictb  9674  ackbijnn  15195  tsmsf1o  22791  eulerpartgbij  31806
 Copyright terms: Public domain W3C validator