MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1opwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1opwfi 9402
Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1opwfi (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝐹,𝑏

Proof of Theorem f1opwfi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏))
2 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
32elin2d 4200 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
4 f1ofun 6847 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
5 elinel1 4196 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
6 elpwi 4614 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏𝐴)
87adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
9 f1odm 6849 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
109adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
118, 10sseqtrrd 4021 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ dom 𝐹)
12 fores 6827 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑏 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
134, 11, 12syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
14 fofi 9355 . . . . 5 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
153, 13, 14syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
16 imassrn 6082 . . . . . 6 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
17 f1ofo 6852 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
18 forn 6820 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
2016, 19sseqtrid 4032 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2120adantr 479 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
2215, 21elpwd 4613 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
2322, 15elind 4195 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
24 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2524elin2d 4200 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
26 dff1o3 6851 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Fun 𝐹))
2726simprbi 495 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
28 elinel1 4196 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
2928adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
30 elpwi 4614 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎𝐵)
32 f1ocnv 6857 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
3332adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
34 f1odm 6849 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐵)
3631, 35sseqtrrd 4021 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ dom 𝐹)
37 fores 6827 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑎 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
3827, 36, 37syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
39 fofi 9355 . . . . 5 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
4025, 38, 39syl2anc 582 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
41 imassrn 6082 . . . . . 6 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
42 dfdm4 5904 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
4342, 9eqtr3id 2780 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐴)
4441, 43sseqtrid 4032 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4544adantr 479 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
4640, 45elpwd 4613 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
4746, 40elind 4195 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
485, 28anim12i 611 . . 3 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵))
4930adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑎𝐵)
50 foimacnv 6862 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5117, 49, 50syl2an 594 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
5251eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
53 imaeq2 6067 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
5453eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
5552, 54syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
56 f1of1 6844 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
576adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏𝐴)
58 f1imacnv 6861 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑏𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
5956, 57, 58syl2an 594 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
6059eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
61 imaeq2 6067 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
6261eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
6360, 62syl5ibrcom 246 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
6455, 63impbid 211 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
6548, 64sylan2 591 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
661, 23, 47, 65f1o2d 7682 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3946  wss 3947  𝒫 cpw 4607  cmpt 5238  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  Fun wfun 6550  1-1wf1 6553  ontowfo 6554  1-1-ontowf1o 6555  Fincfn 8976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pr 5435  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-om 7879  df-1o 8498  df-en 8977  df-dom 8978  df-fin 8980
This theorem is referenced by:  fictb  10290  ackbijnn  15834  tsmsf1o  24143  eulerpartgbij  34208
  Copyright terms: Public domain W3C validator