MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stckgenlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 1stckgenlem 23277
Description: The one-point compactification of β„• is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stckgen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
1stckgen.3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp)
Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)
2 ssun2 4172 . . . . . . . . 9 {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
5 lmcl 23021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 snssg 4786 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})))
92, 8mpbiri 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}))
109adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}))
111, 10sseldd 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝑒)
12 eluni2 4911 . . . . . 6 (𝐴 ∈ βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 𝐴 ∈ 𝑀)
1311, 12sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 𝐴 ∈ 𝑀)
14 nnuz 12869 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 simprr 769 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑀)
16 1zzd 12597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 1 ∈ β„€)
174ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
18 simplrl 773 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽)
1918elpwid 4610 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
20 simprl 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
2119, 20sseldd 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐽)
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 22986 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
23 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† ran 𝐹
24 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . 13 ran 𝐹 βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
2523, 24sstri 3990 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)
2725, 26sstrid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒)
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
2928frnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
3023, 29sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† 𝑋)
31 resttopon 22885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))))
323, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))))
33 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Top)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Top)
35 fzfid 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1...𝑗) ∈ Fin)
3628ffund 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
37 fz1ssnn 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑗) βŠ† β„•
3828fdmd 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = β„•)
3937, 38sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹)
40 fores 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐹 ∧ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗)))
4136, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗)))
42 fofi 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
4335, 41, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
44 pwfi 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
4543, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
46 restsspw 17381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗))
47 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin ∧ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Fin)
4845, 46, 47sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Fin)
4934, 48elind 4193 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (Top ∩ Fin))
50 fincmp 23117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (Top ∩ Fin) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp)
52 topontop 22635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
533, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
54 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5630, 55sseqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5857cmpsub 23124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
5953, 56, 58syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6160r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6227, 61syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6362impr 453 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
6463adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
65 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
6665elin1d 4197 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑒)
6766elpwid 4610 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑒)
68 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
6968adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
7069snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑒)
7167, 70unssd 4185 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
72 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 ∈ V
7372elpw2 5344 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒 ↔ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
7471, 73sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒)
7565elin2d 4198 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
76 snfi 9046 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} ∈ Fin
77 unfi 9174 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
7875, 76, 77sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
7974, 78elind 4193 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
8028ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„•)
8180ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝐹 Fn β„•)
82 simprrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
84 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8584eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀))
8685rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀)
8783, 86sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀)
88 elun2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
9089adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
91 elnnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9291anbi1i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
93 elfzuzb 13499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑗) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
9492, 93bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ↔ 𝑛 ∈ (1...𝑗))
95 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
96 funimass4 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐹 ∧ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9736, 39, 96syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9897ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9995, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠)
10099r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠)
101 elun1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
10394, 102sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
104103anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
105 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
106105ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
107 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
108 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
109 uztric 12850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
110107, 108, 109syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
111106, 110sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
11290, 104, 111mpjaodan 955 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
113112ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
114 fnfvrnss 7121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
11581, 113, 114syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
116 elun2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑀 β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
117116ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
118117ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
119118snssd 4811 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ {𝐴} βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
120115, 119unssd 4185 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
121 uniun 4933 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ βˆͺ {𝑀})
122 unisnv 4930 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ {𝑀} = 𝑀
123122uneq2i 4159 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑠 βˆͺ βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)
124121, 123eqtri 2758 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)
125120, 124sseqtrrdi 4032 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
126 unieq 4918 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
127126sseq2d 4013 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
128127rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
12979, 125, 128syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13064, 129rexlimddv 3159 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
131130anassrs 466 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13222, 131rexlimddv 3159 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13313, 132rexlimddv 3159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
134133expr 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣))
135134ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣))
1366snssd 4811 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑋)
13729, 136unssd 4185 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† 𝑋)
138137, 55sseqtrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
13957cmpsub 23124 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
14053, 138, 139syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
141135, 140mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  1c1 11113  β„•cn 12216  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  β‡π‘‘clm 22950  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-lm 22953  df-cmp 23111
This theorem is referenced by:  1stckgen  23278
  Copyright terms: Public domain W3C validator