MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1stckgenlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1stckgenlem 22920
Description: The one-point compactification of β„• is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1stckgen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
1stckgen.3 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp)

Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ 𝑛 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)
2 ssun2 4134 . . . . . . . . 9 {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
5 lmcl 22664 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 snssg 4745 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})))
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})))
92, 8mpbiri 258 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}))
111, 10sseldd 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝑒)
12 eluni2 4870 . . . . . 6 (𝐴 ∈ βˆͺ 𝑒 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 𝐴 ∈ 𝑀)
1311, 12sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 𝐴 ∈ 𝑀)
14 nnuz 12811 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 simprr 772 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑀)
16 1zzd 12539 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 1 ∈ β„€)
174ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝐴)
18 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽)
1918elpwid 4570 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝐽)
20 simprl 770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
2119, 20sseldd 3946 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐽)
2214, 15, 16, 17, 21lmcvg 22629 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
23 imassrn 6025 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† ran 𝐹
24 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . 13 ran 𝐹 βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
2523, 24sstri 3954 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)
2725, 26sstrid 3956 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒)
28 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
2928frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝑋)
3023, 29sstrid 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† 𝑋)
31 resttopon 22528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))))
323, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))))
33 topontop 22278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Top)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Top)
35 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1...𝑗) ∈ Fin)
3628ffund 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
37 fz1ssnn 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...𝑗) βŠ† β„•
3828fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = β„•)
3937, 38sseqtrrid 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹)
40 fores 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐹 ∧ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗)))
4136, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗)))
42 fofi 9285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ (𝐹 β†Ύ (1...𝑗)):(1...𝑗)–ontoβ†’(𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
4335, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
44 pwfi 9125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin ↔ 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
4543, 44sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin)
46 restsspw 17318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗))
47 ssfi 9120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗)) ∈ Fin ∧ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) βŠ† 𝒫 (𝐹 β€œ (1...𝑗))) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Fin)
4845, 46, 47sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Fin)
4934, 48elind 4155 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (Top ∩ Fin))
50 fincmp 22760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ (Top ∩ Fin) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp)
52 topontop 22278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
533, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
54 toponuni 22279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
5630, 55sseqtrd 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝐽)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
5857cmpsub 22767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
5953, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ (1...𝑗))) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)))
6051, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6160r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6227, 61syl5 34 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠))
6362impr 456 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
6463adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
65 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
6665elin1d 4159 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝑒)
6766elpwid 4570 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑒)
68 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
7069snssd 4770 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑒)
7167, 70unssd 4147 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
72 vex 3448 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 ∈ V
7372elpw2 5303 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒 ↔ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
7471, 73sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒)
7565elin2d 4160 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ Fin)
76 snfi 8991 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} ∈ Fin
77 unfi 9119 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
7875, 76, 77sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
7974, 78elind 4155 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
8028ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„•)
8180ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝐹 Fn β„•)
82 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
8382adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)
84 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8584eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀))
8685rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀 ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀)
8783, 86sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀)
88 elun2 4138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
91 elnnuz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
9291anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
93 elfzuzb 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑗) ↔ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
9492, 93bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) ↔ 𝑛 ∈ (1...𝑗))
95 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)
96 funimass4 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Fun 𝐹 ∧ (1...𝑗) βŠ† dom 𝐹) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9736, 39, 96syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ ((𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠 ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠))
9995, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑗)(πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠)
10099r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠)
101 elun1 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ βˆͺ 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
10394, 102sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
104103anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
105 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
106105ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
107 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
108 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
109 uztric 12792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
110107, 108, 109syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
111106, 110sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) ∨ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)))
11290, 104, 111mpjaodan 958 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
113112ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
114 fnfvrnss 7069 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
11581, 113, 114syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ ran 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
116 elun2 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ 𝑀 β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
117116ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ 𝐴 ∈ (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
119118snssd 4770 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ {𝐴} βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
120115, 119unssd 4147 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀))
121 uniun 4892 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ βˆͺ {𝑀})
122 unisnv 4889 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ {𝑀} = 𝑀
123122uneq2i 4121 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑠 βˆͺ βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)
124121, 123eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}) = (βˆͺ 𝑠 βˆͺ 𝑀)
125120, 124sseqtrrdi 3996 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
126 unieq 4877 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ βˆͺ 𝑣 = βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀}))
127126sseq2d 3977 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑠 βˆͺ {𝑀}) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀})))
128127rspcev 3580 . . . . . . . . 9 (((𝑠 βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ (𝑠 βˆͺ {𝑀})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
12979, 125, 128syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) ∧ (𝑠 ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ (𝐹 β€œ (1...𝑗)) βŠ† βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13064, 129rexlimddv 3155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ ((𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
131130anassrs 469 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑗 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13222, 131rexlimddv 3155 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) ∧ (𝑀 ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
13313, 132rexlimddv 3155 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)
134133expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝐽) β†’ ((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣))
135134ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣))
1366snssd 4770 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝐴} βŠ† 𝑋)
13729, 136unssd 4147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† 𝑋)
138137, 55sseqtrd 3985 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐽)
13957cmpsub 22767 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
14053, 138, 139syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝐽((ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑒 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)(ran 𝐹 βˆͺ {𝐴}) βŠ† βˆͺ 𝑣)))
141135, 140mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (ran 𝐹 βˆͺ {𝐴})) ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057  β„•cn 12158  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430   β†Ύt crest 17307  Topctop 22258  TopOnctopon 22275  β‡π‘‘clm 22593  Compccmp 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-lm 22596  df-cmp 22754
This theorem is referenced by:  1stckgen  22921
  Copyright terms: Public domain W3C validator