MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfimaopnlem 25506
Description: Lemma for mbfimaopn 25507. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑑 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 eqid 2724 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
41, 2, 3cnrehmeo 24800 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23586 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 23091 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
86, 7mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
109fveq2i 6884 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΅) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
1110tgqioo 24638 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜π΅)
1211, 11oveq12i 7413 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅))
13 qtopbas 24598 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝐡 ∈ TopBases
15 txbasval 23432 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡))
1614, 14, 15mp2an 689 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1817txval 23390 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ))
1914, 14, 18mp2an 689 . . . . . 6 (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ)
2012, 16, 193eqtri 2756 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = (topGenβ€˜πΎ)
218, 20eleqtrdi 2835 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ))
2217txbas 23393 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 689 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22787 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases β†’ ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2726adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
281cnref1o 12966 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
29 f1ofo 6830 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚
31 elssuni 4931 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323cnfldtopon 24621 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3332toponunii 22740 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3534ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 foimacnv 6840 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)
3938imaeq2d 6049 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑))
40 imauni 7237 . . . . . . 7 (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)
4139, 40eqtrdi 2780 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4237, 41eqtr3d 2766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4342imaeq2d 6049 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)))
44 imaiun 7236 . . . 4 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀))
4543, 44eqtrdi 2780 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)))
46 ssdomg 8992 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases β†’ (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾)
48 omelon 9637 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
49 nnenom 13942 . . . . . . . . . . . 12 β„• β‰ˆ Ο‰
5049ensymi 8996 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ β‰ˆ β„•
51 isnumi 9937 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ β„• ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 689 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ dom card
53 qnnen 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š β‰ˆ β„•
54 xpen 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
5553, 53, 54mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
56 xpnnen 16151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
5755, 56entri 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
5857, 49entr2i 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
59 isnumi 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
61 ioof 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
62 ffun 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š βŠ† ℝ
65 ressxr 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† ℝ*
6664, 65sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ*
67 xpss12 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6961fdmi 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
71 fores 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7263, 70, 71mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
73 fodomnum 10048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
759, 74eqbrtri 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š)
76 domentr 9005 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ 𝐡 β‰Ό β„•)
7775, 57, 76mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 β‰Ό β„•
7814elexi 3486 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7978xpdom1 9067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡)
81 nnex 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
8281xpdom2 9063 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
84 domtr 8999 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡) ∧ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8580, 83, 84mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
86 domentr 9005 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•) ∧ (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•)
8785, 56, 86mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•
88 numdom 10029 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ dom card ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card
90 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
91 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
92 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8049 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
95 dffn4 6801 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
97 fodomnum 10048 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)
99 domtr 8999 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•)
10098, 87, 99mp2an 689 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•
10117, 100eqbrtri 5159 . . . . . 6 𝐾 β‰Ό β„•
102 domtr 8999 . . . . . 6 ((𝑑 β‰Ό 𝐾 ∧ 𝐾 β‰Ό β„•) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10347, 101, 102sylancl 585 . . . . 5 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
104103ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10517eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7537 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
108 elin 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)))
109 mbff 25476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
111 fvco3 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
112110, 111sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
113112eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯))
114 fvco3 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
115110, 114sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
116115eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
119 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„œβ€˜π‘€) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
120 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„‘β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
121119, 120opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
1221cnrecnv 15109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ◑𝐺 = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩)
123 opex 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
126125eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
127118biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
128126, 127bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
129 opelxp 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ ◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ))
131 f1ofn 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ) β†’ ◑𝐺 Fn β„‚)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ◑𝐺 Fn β„‚
133 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺 Fn β„‚ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
135 imacnvcnv 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))
136135eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
137134, 136bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
139117, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
140139pm5.32da 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
141 ref 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„œ:β„‚βŸΆβ„
142 fco 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
143141, 109, 142sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
144 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
147 imf 15057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‘:β„‚βŸΆβ„
148 fco 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
149147, 109, 148sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
150 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
154 anandi 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
162108, 161bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
163162eqrdv 2722 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
164 ismbfcn 25480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
172 imassrn 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
1739, 172eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† ran (,)
174 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
175173, 174sselid 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
176 rsp 3236 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
178166simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
184173, 183sselid 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3236 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (𝑦 ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25393 . . . . . . . . . . . 12 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
191190imaeq2d 6049 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
192191eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3203 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3137 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4042 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 506 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑑 βŠ† 𝐾) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25408 . . . 4 ((𝑑 β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 583 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2825 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1930 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4594  βŸ¨cop 4626  βˆͺ cuni 4899  βˆͺ ciun 4987   class class class wbr 5138   Γ— cxp 5664  β—‘ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   β€œ cima 5669   ∘ ccom 5670  Oncon0 6354  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  βŸΆwf 6529  β€“ontoβ†’wfo 6531  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Ο‰com 7848   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933  cardccrd 9926  β„‚cc 11104  β„cr 11105  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„*cxr 11244  β„•cn 12209  β„šcq 12929  (,)cioo 13321  β„œcre 15041  β„‘cim 15042  TopOpenctopn 17366  topGenctg 17382  β„‚fldccnfld 21228  TopBasesctb 22770   Cn ccn 23050   Γ—t ctx 23386  Homeochmeo 23579  volcvol 25314  MblFncmbf 25465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25507
  Copyright terms: Public domain W3C validator