MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfimaopnlem 25405
Description: Lemma for mbfimaopn 25406. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑑 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 eqid 2731 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
41, 2, 3cnrehmeo 24699 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23485 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 22990 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
86, 7mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
109fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΅) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
1110tgqioo 24537 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜π΅)
1211, 11oveq12i 7424 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅))
13 qtopbas 24497 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2828 . . . . . . 7 𝐡 ∈ TopBases
15 txbasval 23331 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡))
1614, 14, 15mp2an 689 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1817txval 23289 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ))
1914, 14, 18mp2an 689 . . . . . 6 (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ)
2012, 16, 193eqtri 2763 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = (topGenβ€˜πΎ)
218, 20eleqtrdi 2842 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ))
2217txbas 23292 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 689 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22686 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases β†’ ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2726adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
281cnref1o 12974 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
29 f1ofo 6840 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚
31 elssuni 4941 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323cnfldtopon 24520 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3332toponunii 22639 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3534ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 foimacnv 6850 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)
3938imaeq2d 6059 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑))
40 imauni 7248 . . . . . . 7 (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)
4139, 40eqtrdi 2787 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4237, 41eqtr3d 2773 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4342imaeq2d 6059 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)))
44 imaiun 7247 . . . 4 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀))
4543, 44eqtrdi 2787 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)))
46 ssdomg 9000 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases β†’ (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾)
48 omelon 9645 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
49 nnenom 13950 . . . . . . . . . . . 12 β„• β‰ˆ Ο‰
5049ensymi 9004 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ β‰ˆ β„•
51 isnumi 9945 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ β„• ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 689 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ dom card
53 qnnen 16161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š β‰ˆ β„•
54 xpen 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
5553, 53, 54mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
56 xpnnen 16159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
5755, 56entri 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
5857, 49entr2i 9009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
59 isnumi 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
61 ioof 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
62 ffun 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š βŠ† ℝ
65 ressxr 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† ℝ*
6664, 65sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ*
67 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6961fdmi 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
71 fores 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7263, 70, 71mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
73 fodomnum 10056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
759, 74eqbrtri 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š)
76 domentr 9013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ 𝐡 β‰Ό β„•)
7775, 57, 76mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 β‰Ό β„•
7814elexi 3493 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7978xpdom1 9075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡)
81 nnex 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
8281xpdom2 9071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
84 domtr 9007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡) ∧ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8580, 83, 84mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
86 domentr 9013 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•) ∧ (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•)
8785, 56, 86mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•
88 numdom 10037 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ dom card ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card
90 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
91 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
92 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7744 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8060 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
95 dffn4 6811 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
97 fodomnum 10056 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)
99 domtr 9007 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•)
10098, 87, 99mp2an 689 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•
10117, 100eqbrtri 5169 . . . . . 6 𝐾 β‰Ό β„•
102 domtr 9007 . . . . . 6 ((𝑑 β‰Ό 𝐾 ∧ 𝐾 β‰Ό β„•) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10347, 101, 102sylancl 585 . . . . 5 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
104103ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10517eleq2i 2824 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7548 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
108 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)))
109 mbff 25375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
111 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
112110, 111sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
113112eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯))
114 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
115110, 114sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
116115eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
119 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„œβ€˜π‘€) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
120 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„‘β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
121119, 120opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
1221cnrecnv 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ◑𝐺 = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩)
123 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
126125eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
127118biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
128126, 127bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
129 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ ◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ))
131 f1ofn 6834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ) β†’ ◑𝐺 Fn β„‚)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ◑𝐺 Fn β„‚
133 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺 Fn β„‚ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
135 imacnvcnv 6205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))
136135eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
137134, 136bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
139117, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
140139pm5.32da 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
141 ref 15064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„œ:β„‚βŸΆβ„
142 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
143141, 109, 142sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
144 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
147 imf 15065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‘:β„‚βŸΆβ„
148 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
149147, 109, 148sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
150 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
154 anandi 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
162108, 161bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
163162eqrdv 2729 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
164 ismbfcn 25379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
172 imassrn 6070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
1739, 172eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† ran (,)
174 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
175173, 174sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
176 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
178166simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
184173, 183sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (𝑦 ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25292 . . . . . . . . . . . 12 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6055 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
191190imaeq2d 6059 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
192191eleq1d 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3210 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3144 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4050 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 506 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑑 βŠ† 𝐾) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25307 . . . 4 ((𝑑 β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 583 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2832 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1937 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Oncon0 6364  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Ο‰com 7859   β‰ˆ cen 8940   β‰Ό cdom 8941  cardccrd 9934  β„‚cc 11112  β„cr 11113  ici 11116   + caddc 11117   Β· cmul 11119  β„*cxr 11252  β„•cn 12217  β„šcq 12937  (,)cioo 13329  β„œcre 15049  β„‘cim 15050  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  TopBasesctb 22669   Cn ccn 22949   Γ—t ctx 23285  Homeochmeo 23478  volcvol 25213  MblFncmbf 25364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25406
  Copyright terms: Public domain W3C validator