MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopnlem 25505
Description: Lemma for mbfimaopn 25506. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 eqid 2724 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
41, 2, 3cnrehmeo 24799 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23585 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) → 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 23090 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
86, 7mpan 687 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
109fveq2i 6884 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐵) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
1110tgqioo 24637 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘𝐵)
1211, 11oveq12i 7413 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵))
13 qtopbas 24597 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝐵 ∈ TopBases
15 txbasval 23431 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵))
1614, 14, 15mp2an 689 . . . . . 6 ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
1817txval 23389 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾))
1914, 14, 18mp2an 689 . . . . . 6 (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾)
2012, 16, 193eqtri 2756 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = (topGen‘𝐾)
218, 20eleqtrdi 2835 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾))
2217txbas 23392 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 689 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22786 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases → ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2726adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
281cnref1o 12965 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
29 f1ofo 6830 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ
31 elssuni 4931 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
323cnfldtopon 24620 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3332toponunii 22739 . . . . . . . . 9 ℂ = 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ⊆ ℂ)
3534ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
36 foimacnv 6840 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺𝐴) = 𝑡)
3938imaeq2d 6049 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = (𝐺 𝑡))
40 imauni 7237 . . . . . . 7 (𝐺 𝑡) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)
4139, 40eqtrdi 2780 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4237, 41eqtr3d 2766 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4342imaeq2d 6049 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)))
44 imaiun 7236 . . . 4 (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤))
4543, 44eqtrdi 2780 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)))
46 ssdomg 8991 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases → (𝑡𝐾𝑡𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑡𝐾𝑡𝐾)
48 omelon 9636 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ On
49 nnenom 13941 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
5049ensymi 8995 . . . . . . . . . . 11 ω ≈ ℕ
51 isnumi 9936 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 689 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ dom card
53 qnnen 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ≈ ℕ
54 xpen 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
5553, 53, 54mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
56 xpnnen 16150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
5755, 56entri 8999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
5857, 49entr2i 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ω ≈ (ℚ × ℚ)
59 isnumi 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
61 ioof 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
62 ffun 6710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ⊆ ℝ
65 ressxr 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℝ*
6664, 65sstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ*
67 xpss12 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6961fdmi 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
71 fores 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
7263, 70, 71mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
73 fodomnum 10047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
759, 74eqbrtri 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ≼ (ℚ × ℚ)
76 domentr 9004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → 𝐵 ≼ ℕ)
7775, 57, 76mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ≼ ℕ
7814elexi 3486 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7978xpdom1 9066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵)
81 nnex 12214 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
8281xpdom2 9062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
84 domtr 8998 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵) ∧ (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)) → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8580, 83, 84mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
86 domentr 9004 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ)
8785, 56, 86mp2an 689 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ
88 numdom 10028 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ dom card ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 689 . . . . . . . . 9 (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card
90 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
91 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
92 vex 3470 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7733 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8049 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
95 dffn4 6801 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
97 fodomnum 10047 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × 𝐵) ∈ dom card → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)
99 domtr 8998 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ)
10098, 87, 99mp2an 689 . . . . . . 7 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ
10117, 100eqbrtri 5159 . . . . . 6 𝐾 ≼ ℕ
102 domtr 8998 . . . . . 6 ((𝑡𝐾𝐾 ≼ ℕ) → 𝑡 ≼ ℕ)
10347, 101, 102sylancl 585 . . . . 5 (𝑡𝐾𝑡 ≼ ℕ)
104103ad2antrl 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑡 ≼ ℕ)
10517eleq2i 2817 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐾𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7537 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑤𝐾 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
108 elin 3956 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)))
109 mbff 25475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
111 fvco3 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
112110, 111sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
113112eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥))
114 fvco3 6980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
115110, 114sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
116115eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
119 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℜ‘𝑤) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
120 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℑ‘𝑤) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
121119, 120opeq12d 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩ = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
1221cnrecnv 15108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩)
123 opex 5454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
126125eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦)))
127118biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
128126, 127bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
129 opelxp 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
131 f1ofn 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐺 Fn ℂ)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 Fn ℂ
133 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Fn ℂ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)))
135 imacnvcnv 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))
136135eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
137134, 136bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
139117, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
140139pm5.32da 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
141 ref 15055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℜ:ℂ⟶ℝ
142 fco 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
143141, 109, 142sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
144 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
147 imf 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℑ:ℂ⟶ℝ
148 fco 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
149147, 109, 148sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
150 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
154 anandi 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
162108, 161bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
163162eqrdv 2722 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
164 ismbfcn 25479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
172 imassrn 6060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
1739, 172eqsstri 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ ran (,)
174 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
175173, 174sselid 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ran (,))
176 rsp 3236 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ran (,) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
178166simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
184173, 183sselid 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3236 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol → (𝑦 ∈ ran (,) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25392 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
191190imaeq2d 6049 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
192191eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3203 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑤𝐾 → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3137 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4042 . . . . . 6 (𝑡𝐾 → (∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 506 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑡𝐾) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 744 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25407 . . . 4 ((𝑡 ≼ ℕ ∧ ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 583 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2825 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1930 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4594  cop 4626   cuni 4899   ciun 4987   class class class wbr 5138   × cxp 5664  ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667  cres 5668  cima 5669  ccom 5670  Oncon0 6354  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  wf 6529  ontowfo 6531  1-1-ontowf1o 6532  cfv 6533  (class class class)co 7401  cmpo 7403  ωcom 7848  cen 8931  cdom 8932  cardccrd 9925  cc 11103  cr 11104  ici 11107   + caddc 11108   · cmul 11110  *cxr 11243  cn 12208  cq 12928  (,)cioo 13320  cre 15040  cim 15041  TopOpenctopn 17365  topGenctg 17381  fldccnfld 21227  TopBasesctb 22769   Cn ccn 23049   ×t ctx 23385  Homeochmeo 23578  volcvol 25313  MblFncmbf 25464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cc 10425  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-acn 9932  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-ovol 25314  df-vol 25315  df-mbf 25469
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25506
  Copyright terms: Public domain W3C validator