MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfimaopnlem 25164
Description: Lemma for mbfimaopn 25165. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑑 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
41, 2, 3cnrehmeo 24461 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23256 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 22761 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
86, 7mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
109fveq2i 6892 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΅) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
1110tgqioo 24308 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜π΅)
1211, 11oveq12i 7418 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅))
13 qtopbas 24268 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2830 . . . . . . 7 𝐡 ∈ TopBases
15 txbasval 23102 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡))
1614, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1817txval 23060 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ))
1914, 14, 18mp2an 691 . . . . . 6 (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ)
2012, 16, 193eqtri 2765 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = (topGenβ€˜πΎ)
218, 20eleqtrdi 2844 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ))
2217txbas 23063 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 691 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22457 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases β†’ ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2726adantl 483 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
281cnref1o 12966 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
29 f1ofo 6838 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚
31 elssuni 4941 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323cnfldtopon 24291 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3332toponunii 22410 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3534ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 foimacnv 6848 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 588 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)
3938imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑))
40 imauni 7242 . . . . . . 7 (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)
4139, 40eqtrdi 2789 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4237, 41eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4342imaeq2d 6058 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)))
44 imaiun 7241 . . . 4 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀))
4543, 44eqtrdi 2789 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)))
46 ssdomg 8993 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases β†’ (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾)
48 omelon 9638 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
49 nnenom 13942 . . . . . . . . . . . 12 β„• β‰ˆ Ο‰
5049ensymi 8997 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ β‰ˆ β„•
51 isnumi 9938 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ β„• ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 691 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ dom card
53 qnnen 16153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š β‰ˆ β„•
54 xpen 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
5553, 53, 54mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
56 xpnnen 16151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
5755, 56entri 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
5857, 49entr2i 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
59 isnumi 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
61 ioof 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
62 ffun 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š βŠ† ℝ
65 ressxr 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† ℝ*
6664, 65sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ*
67 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6961fdmi 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
71 fores 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7263, 70, 71mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
73 fodomnum 10049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
759, 74eqbrtri 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š)
76 domentr 9006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ 𝐡 β‰Ό β„•)
7775, 57, 76mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 β‰Ό β„•
7814elexi 3494 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7978xpdom1 9068 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡)
81 nnex 12215 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
8281xpdom2 9064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
84 domtr 9000 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡) ∧ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8580, 83, 84mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
86 domentr 9006 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•) ∧ (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•)
8785, 56, 86mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•
88 numdom 10030 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ dom card ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card
90 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
91 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
92 vex 3479 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8053 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
95 dffn4 6809 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
97 fodomnum 10049 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)
99 domtr 9000 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•)
10098, 87, 99mp2an 691 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•
10117, 100eqbrtri 5169 . . . . . 6 𝐾 β‰Ό β„•
102 domtr 9000 . . . . . 6 ((𝑑 β‰Ό 𝐾 ∧ 𝐾 β‰Ό β„•) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10347, 101, 102sylancl 587 . . . . 5 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
104103ad2antrl 727 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10517eleq2i 2826 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7542 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
108 elin 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)))
109 mbff 25134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
111 fvco3 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
112110, 111sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
113112eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯))
114 fvco3 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
115110, 114sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
116115eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
119 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„œβ€˜π‘€) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
120 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„‘β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
121119, 120opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
1221cnrecnv 15109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ◑𝐺 = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩)
123 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
126125eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
127118biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
128126, 127bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
129 opelxp 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ ◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ))
131 f1ofn 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ) β†’ ◑𝐺 Fn β„‚)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ◑𝐺 Fn β„‚
133 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺 Fn β„‚ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
135 imacnvcnv 6203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))
136135eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
137134, 136bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
139117, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
140139pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
141 ref 15056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„œ:β„‚βŸΆβ„
142 fco 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
143141, 109, 142sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
144 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
147 imf 15057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‘:β„‚βŸΆβ„
148 fco 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
149147, 109, 148sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
150 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
154 anandi 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
160159adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
162108, 161bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
163162eqrdv 2731 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
164 ismbfcn 25138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
171170adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
172 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
1739, 172eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† ran (,)
174 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
175173, 174sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
176 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
178166simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
184173, 183sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3245 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (𝑦 ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25051 . . . . . . . . . . . 12 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
191190imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
192191eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3212 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3146 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4050 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 508 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑑 βŠ† 𝐾) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 746 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25066 . . . 4 ((𝑑 β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 585 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2834 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1939 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  Oncon0 6362  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€“ontoβ†’wfo 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6540  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  Ο‰com 7852   β‰ˆ cen 8933   β‰Ό cdom 8934  cardccrd 9927  β„‚cc 11105  β„cr 11106  ici 11109   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11244  β„•cn 12209  β„šcq 12929  (,)cioo 13321  β„œcre 15041  β„‘cim 15042  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  β„‚fldccnfld 20937  TopBasesctb 22440   Cn ccn 22720   Γ—t ctx 23056  Homeochmeo 23249  volcvol 24972  MblFncmbf 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25165
  Copyright terms: Public domain W3C validator