MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopnlem 25690
Description: Lemma for mbfimaopn 25691. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
41, 2, 3cnrehmeo 24984 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23768 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) → 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 23273 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
86, 7mpan 690 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
109fveq2i 6909 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐵) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
1110tgqioo 24821 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘𝐵)
1211, 11oveq12i 7443 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵))
13 qtopbas 24780 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2837 . . . . . . 7 𝐵 ∈ TopBases
15 txbasval 23614 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵))
1614, 14, 15mp2an 692 . . . . . 6 ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
1817txval 23572 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾))
1914, 14, 18mp2an 692 . . . . . 6 (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾)
2012, 16, 193eqtri 2769 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = (topGen‘𝐾)
218, 20eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾))
2217txbas 23575 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 692 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22969 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases → ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2621, 25sylib 218 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2726adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
281cnref1o 13027 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
29 f1ofo 6855 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ
31 elssuni 4937 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
323cnfldtopon 24803 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3332toponunii 22922 . . . . . . . . 9 ℂ = 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ⊆ ℂ)
3534ad2antlr 727 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
36 foimacnv 6865 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺𝐴) = 𝑡)
3938imaeq2d 6078 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = (𝐺 𝑡))
40 imauni 7266 . . . . . . 7 (𝐺 𝑡) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)
4139, 40eqtrdi 2793 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4237, 41eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4342imaeq2d 6078 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)))
44 imaiun 7265 . . . 4 (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤))
4543, 44eqtrdi 2793 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)))
46 ssdomg 9040 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases → (𝑡𝐾𝑡𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑡𝐾𝑡𝐾)
48 omelon 9686 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ On
49 nnenom 14021 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
5049ensymi 9044 . . . . . . . . . . 11 ω ≈ ℕ
51 isnumi 9986 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ dom card
53 qnnen 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ≈ ℕ
54 xpen 9180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
5553, 53, 54mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
56 xpnnen 16247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
5755, 56entri 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
5857, 49entr2i 9049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ω ≈ (ℚ × ℚ)
59 isnumi 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
61 ioof 13487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
62 ffun 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ⊆ ℝ
65 ressxr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℝ*
6664, 65sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ*
67 xpss12 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6961fdmi 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
71 fores 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
7263, 70, 71mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
73 fodomnum 10097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
759, 74eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ≼ (ℚ × ℚ)
76 domentr 9053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → 𝐵 ≼ ℕ)
7775, 57, 76mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ≼ ℕ
7814elexi 3503 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7978xpdom1 9111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵)
81 nnex 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
8281xpdom2 9107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
84 domtr 9047 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵) ∧ (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)) → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8580, 83, 84mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
86 domentr 9053 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ)
8785, 56, 86mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ
88 numdom 10078 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ dom card ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 692 . . . . . . . . 9 (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
91 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
92 vex 3484 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7773 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8095 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
95 dffn4 6826 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
9694, 95mpbi 230 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
97 fodomnum 10097 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × 𝐵) ∈ dom card → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)
99 domtr 9047 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ)
10098, 87, 99mp2an 692 . . . . . . 7 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ
10117, 100eqbrtri 5164 . . . . . 6 𝐾 ≼ ℕ
102 domtr 9047 . . . . . 6 ((𝑡𝐾𝐾 ≼ ℕ) → 𝑡 ≼ ℕ)
10347, 101, 102sylancl 586 . . . . 5 (𝑡𝐾𝑡 ≼ ℕ)
104103ad2antrl 728 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑡 ≼ ℕ)
10517eleq2i 2833 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐾𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7569 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
107105, 106bitri 275 . . . . . . . 8 (𝑤𝐾 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
108 elin 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)))
109 mbff 25660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
111 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
112110, 111sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
113112eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥))
114 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
115110, 114sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
116115eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
119 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℜ‘𝑤) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
120 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℑ‘𝑤) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
121119, 120opeq12d 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩ = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
1221cnrecnv 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩)
123 opex 5469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
126125eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦)))
127118biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
128126, 127bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
129 opelxp 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
131 f1ofn 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐺 Fn ℂ)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 Fn ℂ
133 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Fn ℂ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)))
135 imacnvcnv 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))
136135eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
137134, 136bitr3i 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
139117, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
140139pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
141 ref 15151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℜ:ℂ⟶ℝ
142 fco 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
143141, 109, 142sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
144 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
147 imf 15152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℑ:ℂ⟶ℝ
148 fco 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
149147, 109, 148sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
150 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
154 anandi 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
162108, 161bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
163162eqrdv 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
164 ismbfcn 25664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
171170adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
172 imassrn 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
1739, 172eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ ran (,)
174 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
175173, 174sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ran (,))
176 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ran (,) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
178166simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
184173, 183sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3247 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol → (𝑦 ∈ ran (,) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25577 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
191190imaeq2d 6078 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
192191eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3213 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 242 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑤𝐾 → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3145 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4052 . . . . . 6 (𝑡𝐾 → (∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 506 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑡𝐾) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 747 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25592 . . . 4 ((𝑡 ≼ ℕ ∧ ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2841 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1935 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cop 4632   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  Oncon0 6384  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887  cen 8982  cdom 8983  cardccrd 9975  cc 11153  cr 11154  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294  cn 12266  cq 12990  (,)cioo 13387  cre 15136  cim 15137  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  TopBasesctb 22952   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  Homeochmeo 23761  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25691
  Copyright terms: Public domain W3C validator