MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopnlem 23943
Description: Lemma for mbfimaopn 23944. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 eqid 2797 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
41, 2, 3cnrehmeo 23244 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 22056 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) → 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 21561 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
86, 7mpan 686 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
109fveq2i 6548 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐵) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
1110tgqioo 23095 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘𝐵)
1211, 11oveq12i 7035 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵))
13 qtopbas 23055 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2881 . . . . . . 7 𝐵 ∈ TopBases
15 txbasval 21902 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵))
1614, 14, 15mp2an 688 . . . . . 6 ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
1817txval 21860 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾))
1914, 14, 18mp2an 688 . . . . . 6 (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾)
2012, 16, 193eqtri 2825 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = (topGen‘𝐾)
218, 20syl6eleq 2895 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾))
2217txbas 21863 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 688 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 21258 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases → ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2621, 25sylib 219 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2726adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
281cnref1o 12238 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
29 f1ofo 6497 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ
31 elssuni 4780 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
323cnfldtopon 23078 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3332toponunii 21212 . . . . . . . . 9 ℂ = 𝐽
3431, 33syl6sseqr 3945 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ⊆ ℂ)
3534ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
36 foimacnv 6507 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺𝐴) = 𝑡)
3938imaeq2d 5813 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = (𝐺 𝑡))
40 imauni 6877 . . . . . . 7 (𝐺 𝑡) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)
4139, 40syl6eq 2849 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4237, 41eqtr3d 2835 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4342imaeq2d 5813 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)))
44 imaiun 6876 . . . 4 (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤))
4543, 44syl6eq 2849 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)))
46 ssdomg 8410 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases → (𝑡𝐾𝑡𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑡𝐾𝑡𝐾)
48 omelon 8962 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ On
49 nnenom 13202 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
5049ensymi 8414 . . . . . . . . . . 11 ω ≈ ℕ
51 isnumi 9228 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ dom card
53 qnnen 15403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ≈ ℕ
54 xpen 8534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
5553, 53, 54mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
56 xpnnen 15401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
5755, 56entri 8418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
5857, 49entr2i 8419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ω ≈ (ℚ × ℚ)
59 isnumi 9228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
61 ioof 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
62 ffun 6392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ⊆ ℝ
65 ressxr 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℝ*
6664, 65sstri 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ*
67 xpss12 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6961fdmi 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
7068, 69sseqtr4i 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
71 fores 6475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
7263, 70, 71mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
73 fodomnum 9336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
759, 74eqbrtri 4989 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ≼ (ℚ × ℚ)
76 domentr 8423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → 𝐵 ≼ ℕ)
7775, 57, 76mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ≼ ℕ
7814elexi 3459 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7978xpdom1 8470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵)
81 nnex 11498 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
8281xpdom2 8466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
84 domtr 8417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵) ∧ (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)) → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8580, 83, 84mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
86 domentr 8423 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ)
8785, 56, 86mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ
88 numdom 9317 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ dom card ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card
90 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
91 vex 3443 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
92 vex 3443 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7340 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 7631 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
95 dffn4 6471 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
9694, 95mpbi 231 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
97 fodomnum 9336 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × 𝐵) ∈ dom card → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)
99 domtr 8417 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ)
10098, 87, 99mp2an 688 . . . . . . 7 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ
10117, 100eqbrtri 4989 . . . . . 6 𝐾 ≼ ℕ
102 domtr 8417 . . . . . 6 ((𝑡𝐾𝐾 ≼ ℕ) → 𝑡 ≼ ℕ)
10347, 101, 102sylancl 586 . . . . 5 (𝑡𝐾𝑡 ≼ ℕ)
104103ad2antrl 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑡 ≼ ℕ)
10517eleq2i 2876 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐾𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7150 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
107105, 106bitri 276 . . . . . . . 8 (𝑤𝐾 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
108 elin 4096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)))
109 mbff 23913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
111 fvco3 6634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
112110, 111sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
113112eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥))
114 fvco3 6634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
115110, 114sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
116115eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelrnda 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
119 fveq2 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℜ‘𝑤) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
120 fveq2 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℑ‘𝑤) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
121119, 120opeq12d 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩ = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
1221cnrecnv 14362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩)
123 opex 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
126125eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦)))
127118biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
128126, 127bitr3d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
129 opelxp 5486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
131 f1ofn 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐺 Fn ℂ)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 Fn ℂ
133 elpreima 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Fn ℂ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)))
135 imacnvcnv 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))
136135eleq2i 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
137134, 136bitr3i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
139117, 138bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
140139pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
141 ref 14309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℜ:ℂ⟶ℝ
142 fco 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
143141, 109, 142sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
144 ffn 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
147 imf 14310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℑ:ℂ⟶ℝ
148 fco 6406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
149147, 109, 148sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
150 ffn 6389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
154 anandi 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
155153, 154syl6bbr 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
162108, 161syl5bb 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
163162eqrdv 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
164 ismbfcn 23917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 23916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
171170adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
172 imassrn 5824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
1739, 172eqsstri 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ ran (,)
174 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
175173, 174sseldi 3893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ran (,))
176 rsp 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ran (,) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
178166simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 23916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
184173, 183sseldi 3893 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol → (𝑦 ∈ ran (,) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 23830 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 5809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
191190imaeq2d 5813 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
192191eleq1d 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 248 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3259 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
195107, 194syl5bi 243 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑤𝐾 → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3150 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
197 ssralv 3960 . . . . . 6 (𝑡𝐾 → (∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 507 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑡𝐾) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 743 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 23845 . . . 4 ((𝑡 ≼ ℕ ∧ ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2885 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1917 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  cin 3864  wss 3865  𝒫 cpw 4459  cop 4484   cuni 4751   ciun 4831   class class class wbr 4968   × cxp 5448  ccnv 5449  dom cdm 5450  ran crn 5451  cres 5452  cima 5453  ccom 5454  Oncon0 6073  Fun wfun 6226   Fn wfn 6227  wf 6228  ontowfo 6230  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  ωcom 7443  cen 8361  cdom 8362  cardccrd 9217  cc 10388  cr 10389  ici 10392   + caddc 10393   · cmul 10395  *cxr 10527  cn 11492  cq 12201  (,)cioo 12592  cre 14294  cim 14295  TopOpenctopn 16528  topGenctg 16544  fldccnfld 20231  TopBasesctb 21241   Cn ccn 21520   ×t ctx 21856  Homeochmeo 22049  volcvol 23751  MblFncmbf 23902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cc 9710  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-disj 4937  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-omul 7965  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-acn 9224  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-ovol 23752  df-vol 23753  df-mbf 23907
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  23944
  Copyright terms: Public domain W3C validator