MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfimaopnlem 25019
Description: Lemma for mbfimaopn 25020. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑡 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 eqid 2736 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
41, 2, 3cnrehmeo 24316 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23111 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,)))Homeo𝐽) → 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 22616 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝐽) → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
86, 7mpan 688 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐵 = ((,) “ (ℚ × ℚ))
109fveq2i 6845 . . . . . . . 8 (topGen‘𝐵) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
1110tgqioo 24163 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘𝐵)
1211, 11oveq12i 7369 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵))
13 qtopbas 24123 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝐵 ∈ TopBases
15 txbasval 22957 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵))
1614, 14, 15mp2an 690 . . . . . 6 ((topGen‘𝐵) ×t (topGen‘𝐵)) = (𝐵 ×t 𝐵)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
1817txval 22915 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾))
1914, 14, 18mp2an 690 . . . . . 6 (𝐵 ×t 𝐵) = (topGen‘𝐾)
2012, 16, 193eqtri 2768 . . . . 5 ((topGen‘ran (,)) ×t (topGen‘ran (,))) = (topGen‘𝐾)
218, 20eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾))
2217txbas 22918 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ TopBases ∧ 𝐵 ∈ TopBases) → 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 690 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22312 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases → ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((𝐺𝐴) ∈ (topGen‘𝐾) ↔ ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴𝐽 → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
2726adantl 482 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → ∃𝑡(𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡))
281cnref1o 12910 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
29 f1ofo 6791 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ
31 elssuni 4898 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
323cnfldtopon 24146 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3332toponunii 22265 . . . . . . . . 9 ℂ = 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 3995 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ⊆ ℂ)
3534ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
36 foimacnv 6801 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ × ℝ)–onto→ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺𝐴) = 𝑡)
3938imaeq2d 6013 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = (𝐺 𝑡))
40 imauni 7193 . . . . . . 7 (𝐺 𝑡) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)
4139, 40eqtrdi 2792 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐺 “ (𝐺𝐴)) = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4237, 41eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝐴 = 𝑤𝑡 (𝐺𝑤))
4342imaeq2d 6013 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)))
44 imaiun 7192 . . . 4 (𝐹 𝑤𝑡 (𝐺𝑤)) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤))
4543, 44eqtrdi 2792 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) = 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)))
46 ssdomg 8940 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases → (𝑡𝐾𝑡𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑡𝐾𝑡𝐾)
48 omelon 9582 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ On
49 nnenom 13885 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
5049ensymi 8944 . . . . . . . . . . 11 ω ≈ ℕ
51 isnumi 9882 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ dom card
53 qnnen 16095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ≈ ℕ
54 xpen 9084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
5553, 53, 54mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
56 xpnnen 16093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
5755, 56entri 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
5857, 49entr2i 8949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ω ≈ (ℚ × ℚ)
59 isnumi 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
61 ioof 13364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
62 ffun 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℚ ⊆ ℝ
65 ressxr 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ ⊆ ℝ*
6664, 65sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ*
67 xpss12 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
6961fdmi 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
7068, 69sseqtrri 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
71 fores 6766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
7263, 70, 71mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
73 fodomnum 9993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
759, 74eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ≼ (ℚ × ℚ)
76 domentr 8953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ) → 𝐵 ≼ ℕ)
7775, 57, 76mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ≼ ℕ
7814elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
7978xpdom1 9015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵)
81 nnex 12159 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ ∈ V
8281xpdom2 9011 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ≼ ℕ → (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
84 domtr 8947 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × 𝐵) ∧ (ℕ × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)) → (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ))
8580, 83, 84mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ)
86 domentr 8953 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 × 𝐵) ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ)
8785, 56, 86mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ
88 numdom 9974 . . . . . . . . . 10 ((ℕ ∈ dom card ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 690 . . . . . . . . 9 (𝐵 × 𝐵) ∈ dom card
90 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
91 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ V
92 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 × 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8002 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵)
95 dffn4 6762 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦))
97 fodomnum 9993 . . . . . . . . 9 ((𝐵 × 𝐵) ∈ dom card → ((𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)):(𝐵 × 𝐵)–onto→ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵)
99 domtr 8947 . . . . . . . 8 ((ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) ≼ ℕ) → ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ)
10098, 87, 99mp2an 690 . . . . . . 7 ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ≼ ℕ
10117, 100eqbrtri 5126 . . . . . 6 𝐾 ≼ ℕ
102 domtr 8947 . . . . . 6 ((𝑡𝐾𝐾 ≼ ℕ) → 𝑡 ≼ ℕ)
10347, 101, 102sylancl 586 . . . . 5 (𝑡𝐾𝑡 ≼ ℕ)
104103ad2antrl 726 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑡 ≼ ℕ)
10517eleq2i 2829 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐾𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7492 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ran (𝑥𝐵, 𝑦𝐵 ↦ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
107105, 106bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑤𝐾 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦))
108 elin 3926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)))
109 mbff 24989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
111 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
112110, 111sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
113112eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥))
114 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
115110, 114sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
116115eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
119 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℜ‘𝑤) = (ℜ‘(𝐹𝑧)))
120 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (ℑ‘𝑤) = (ℑ‘(𝐹𝑧)))
121119, 120opeq12d 4838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩ = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
1221cnrecnv 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐺 = (𝑤 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑤), (ℑ‘𝑤)⟩)
123 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) = ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩)
126125eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦)))
127118biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
128126, 127bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
129 opelxp 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧))⟩ ∈ (𝑥 × 𝑦) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
131 f1ofn 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐺 Fn ℂ)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 Fn ℂ
133 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 Fn ℂ → ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)))
135 imacnvcnv 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))
136135eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
137134, 136bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝑥 × 𝑦)) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑥 ∧ (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
139117, 138bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
140139pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
141 ref 14997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℜ:ℂ⟶ℝ
142 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
143141, 109, 142sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
144 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℜ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥)))
147 imf 14998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℑ:ℂ⟶ℝ
148 fco 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
149147, 109, 148sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ)
150 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → (ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
154 anandi 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((ℜ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑥 ∧ ((ℑ ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑧 ∈ ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
162108, 161bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑧 ∈ (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))))
163162eqrdv 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
164 ismbfcn 24993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 24992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℜ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℜ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
171170adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
172 imassrn 6024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
1739, 172eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ⊆ ran (,)
174 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
175173, 174sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ ran (,))
176 rsp 3230 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ran (,)((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ran (,) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
178166simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → (ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 24992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℑ ∘ 𝐹):dom 𝐹⟶ℝ → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn → ((ℑ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
184173, 183sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3230 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran (,)((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol → (𝑦 ∈ ran (,) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 24906 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦) ∈ dom vol) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((ℜ ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∩ ((ℑ ∘ 𝐹) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦)))
191190imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) = (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))))
192191eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → ((𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol ↔ (𝐹 “ (𝐺 “ (𝑥 × 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3205 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 𝑤 = (𝑥 × 𝑦) → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑤𝐾 → (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3142 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → ∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4010 . . . . . 6 (𝑡𝐾 → (∀𝑤𝐾 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 507 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑡𝐾) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 745 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 24921 . . . 4 ((𝑡 ≼ ℕ ∧ ∀𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → 𝑤𝑡 (𝐹 “ (𝐺𝑤)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2838 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝑡𝐾 ∧ (𝐺𝐴) = 𝑡)) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1938 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴𝐽) → (𝐹𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cop 4592   cuni 4865   ciun 4954   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  ccom 5637  Oncon0 6317  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  ωcom 7802  cen 8880  cdom 8881  cardccrd 9871  cc 11049  cr 11050  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188  cn 12153  cq 12873  (,)cioo 13264  cre 14982  cim 14983  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  TopBasesctb 22295   Cn ccn 22575   ×t ctx 22911  Homeochmeo 23104  volcvol 24827  MblFncmbf 24978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25020
  Copyright terms: Public domain W3C validator