MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfimaopnlem 25404
Description: Lemma for mbfimaopn 25405. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
mbfimaopn.2 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
mbfimaopn.3 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
mbfimaopn.4 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
Assertion
Ref Expression
mbfimaopnlem ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem mbfimaopnlem
Dummy variables 𝑑 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn.2 . . . . . . . 8 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + (i Β· 𝑦)))
2 eqid 2730 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 mbfimaopn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
41, 2, 3cnrehmeo 24698 . . . . . . 7 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽)
5 hmeocn 23484 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,)))Homeo𝐽) β†’ 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽)
7 cnima 22989 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) Cn 𝐽) ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
86, 7mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))))
9 mbfimaopn.3 . . . . . . . . 9 𝐡 = ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
109fveq2i 6893 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜π΅) = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
1110tgqioo 24536 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜π΅)
1211, 11oveq12i 7423 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅))
13 qtopbas 24496 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
149, 13eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝐡 ∈ TopBases
15 txbasval 23330 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡))
1614, 14, 15mp2an 688 . . . . . 6 ((topGenβ€˜π΅) Γ—t (topGenβ€˜π΅)) = (𝐡 Γ—t 𝐡)
17 mbfimaopn.4 . . . . . . . 8 𝐾 = ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
1817txval 23288 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ))
1914, 14, 18mp2an 688 . . . . . 6 (𝐡 Γ—t 𝐡) = (topGenβ€˜πΎ)
2012, 16, 193eqtri 2762 . . . . 5 ((topGenβ€˜ran (,)) Γ—t (topGenβ€˜ran (,))) = (topGenβ€˜πΎ)
218, 20eleqtrdi 2841 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ))
2217txbas 23291 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ TopBases ∧ 𝐡 ∈ TopBases) β†’ 𝐾 ∈ TopBases)
2314, 14, 22mp2an 688 . . . . 5 𝐾 ∈ TopBases
24 eltg3 22685 . . . . 5 (𝐾 ∈ TopBases β†’ ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)))
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 ((◑𝐺 β€œ 𝐴) ∈ (topGenβ€˜πΎ) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2621, 25sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
2726adantl 480 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑))
281cnref1o 12973 . . . . . . . 8 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚
29 f1ofo 6839 . . . . . . . 8 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚
31 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐽)
323cnfldtopon 24519 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
3332toponunii 22638 . . . . . . . . 9 β„‚ = βˆͺ 𝐽
3431, 33sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
3534ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
36 foimacnv 6849 . . . . . . 7 ((𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–ontoβ†’β„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
3730, 35, 36sylancr 585 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = 𝐴)
38 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)
3938imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑))
40 imauni 7247 . . . . . . 7 (𝐺 β€œ βˆͺ 𝑑) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)
4139, 40eqtrdi 2786 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐺 β€œ 𝐴)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4237, 41eqtr3d 2772 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝐴 = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀))
4342imaeq2d 6058 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)))
44 imaiun 7246 . . . 4 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (𝐺 β€œ 𝑀)) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀))
4543, 44eqtrdi 2786 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)))
46 ssdomg 8998 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ TopBases β†’ (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾))
4723, 46ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό 𝐾)
48 omelon 9643 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ ∈ On
49 nnenom 13949 . . . . . . . . . . . 12 β„• β‰ˆ Ο‰
5049ensymi 9002 . . . . . . . . . . 11 Ο‰ β‰ˆ β„•
51 isnumi 9943 . . . . . . . . . . 11 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ β„• ∈ dom card)
5248, 50, 51mp2an 688 . . . . . . . . . 10 β„• ∈ dom card
53 qnnen 16160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š β‰ˆ β„•
54 xpen 9142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„š β‰ˆ β„• ∧ β„š β‰ˆ β„•) β†’ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•))
5553, 53, 54mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ (β„• Γ— β„•)
56 xpnnen 16158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•
5755, 56entri 9006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•
5857, 49entr2i 9007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)
59 isnumi 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Ο‰ ∈ On ∧ Ο‰ β‰ˆ (β„š Γ— β„š)) β†’ (β„š Γ— β„š) ∈ dom card)
6048, 58, 59mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) ∈ dom card
61 ioof 13428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
62 ffun 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (,)
64 qssre 12947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„š βŠ† ℝ
65 ressxr 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℝ βŠ† ℝ*
6664, 65sstri 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ*
67 xpss12 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
6866, 66, 67mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
6961fdmi 6728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
7068, 69sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
71 fores 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
7263, 70, 71mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š))
73 fodomnum 10054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„š Γ— β„š) ∈ dom card β†’ (((,) β†Ύ (β„š Γ— β„š)):(β„š Γ— β„š)–ontoβ†’((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β†’ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)))
7460, 72, 73mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) β‰Ό (β„š Γ— β„š)
759, 74eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š)
76 domentr 9011 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐡 β‰Ό (β„š Γ— β„š) ∧ (β„š Γ— β„š) β‰ˆ β„•) β†’ 𝐡 β‰Ό β„•)
7775, 57, 76mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 β‰Ό β„•
7814elexi 3492 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 ∈ V
7978xpdom1 9073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡))
8077, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡)
81 nnex 12222 . . . . . . . . . . . . . 14 β„• ∈ V
8281xpdom2 9069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 β‰Ό β„• β†’ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8377, 82ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
84 domtr 9005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— 𝐡) ∧ (β„• Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•))
8580, 83, 84mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•)
86 domentr 9011 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό (β„• Γ— β„•) ∧ (β„• Γ— β„•) β‰ˆ β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•)
8785, 56, 86mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•
88 numdom 10035 . . . . . . . . . 10 ((β„• ∈ dom card ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card)
8952, 87, 88mp2an 688 . . . . . . . . 9 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card
90 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
91 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
92 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ V
9391, 92xpex 7742 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ V
9490, 93fnmpoi 8058 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡)
95 dffn4 6810 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) Fn (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
9694, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦))
97 fodomnum 10054 . . . . . . . . 9 ((𝐡 Γ— 𝐡) ∈ dom card β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)):(𝐡 Γ— 𝐡)–ontoβ†’ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)))
9889, 96, 97mp2 9 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡)
99 domtr 9005 . . . . . . . 8 ((ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) β‰Ό β„•) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•)
10098, 87, 99mp2an 688 . . . . . . 7 ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) β‰Ό β„•
10117, 100eqbrtri 5168 . . . . . 6 𝐾 β‰Ό β„•
102 domtr 9005 . . . . . 6 ((𝑑 β‰Ό 𝐾 ∧ 𝐾 β‰Ό β„•) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10347, 101, 102sylancl 584 . . . . 5 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
104103ad2antrl 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ 𝑑 β‰Ό β„•)
10517eleq2i 2823 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ 𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
10690, 93elrnmpo 7547 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ran (π‘₯ ∈ 𝐡, 𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
107105, 106bitri 274 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦))
108 elin 3963 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)))
109 mbff 25374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
111 fvco3 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
112110, 111sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
113112eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ↔ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯))
114 fvco3 6989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
115110, 114sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
116115eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
117113, 116anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦)))
118110ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
119 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„œβ€˜π‘€) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
120 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (β„‘β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
121119, 120opeq12d 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩ = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
1221cnrecnv 15116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ◑𝐺 = (𝑀 ∈ β„‚ ↦ ⟨(β„œβ€˜π‘€), (β„‘β€˜π‘€)⟩)
123 opex 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ V
124121, 122, 123fvmpt 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
125118, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩)
126125eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
127118biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
128126, 127bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
129 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))⟩ ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦))
130 f1ocnv 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐺:(ℝ Γ— ℝ)–1-1-ontoβ†’β„‚ β†’ ◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ))
131 f1ofn 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (◑𝐺:ℂ–1-1-ontoβ†’(ℝ Γ— ℝ) β†’ ◑𝐺 Fn β„‚)
13228, 130, 131mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ◑𝐺 Fn β„‚
133 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺 Fn β„‚ β†’ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
134132, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
135 imacnvcnv 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))
136135eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (◑◑𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
137134, 136bitr3i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (β—‘πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (π‘₯ Γ— 𝑦)) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
138128, 129, 1373bitr3g 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ π‘₯ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
139117, 138bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
140139pm5.32da 577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
141 ref 15063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„œ:β„‚βŸΆβ„
142 fco 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
143141, 109, 142sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
144 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
145 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„œ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
146143, 144, 1453syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯)))
147 imf 15064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‘:β„‚βŸΆβ„
148 fco 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚) β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
149147, 109, 148sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„)
150 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹)
151 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„‘ ∘ 𝐹) Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
152149, 150, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
153146, 152anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
154 anandi 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)) ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
155153, 154bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
156155adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (((β„œ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ π‘₯ ∧ ((β„‘ ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))))
157 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
158 elpreima 7058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn dom 𝐹 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
159109, 157, 1583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
160159adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
161140, 156, 1603bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑧 ∈ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
162108, 161bitrid 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑧 ∈ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))))
163162eqrdv 2728 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
164 ismbfcn 25378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
165109, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝐹 ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)))
166165ibi 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn))
167166simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
168 ismbf 25377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„œ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
169143, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„œ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
170167, 169mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
171170adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
172 imassrn 6069 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
1739, 172eqsstri 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐡 βŠ† ran (,)
174 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
175173, 174sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
176 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)(β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol β†’ (π‘₯ ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
177171, 175, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
178166simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
179 ismbf 25377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‘ ∘ 𝐹):dom πΉβŸΆβ„ β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
180149, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ MblFn β†’ ((β„‘ ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
181178, 180mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
182181adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
183 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
184173, 183sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ ran (,))
185 rsp 3242 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran (,)(β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol β†’ (𝑦 ∈ ran (,) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol))
186182, 184, 185sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol)
187 inmbl 25291 . . . . . . . . . . . 12 (((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
188177, 186, 187syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∩ (β—‘(β„‘ ∘ 𝐹) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
189163, 188eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol)
190 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (𝐺 β€œ 𝑀) = (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦)))
191190imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) = (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))))
192191eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol ↔ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ (π‘₯ Γ— 𝑦))) ∈ dom vol))
193189, 192syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
194193rexlimdvva 3209 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 𝑀 = (π‘₯ Γ— 𝑦) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
195107, 194biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑀 ∈ 𝐾 β†’ (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
196195ralrimiv 3143 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
197 ssralv 4049 . . . . . 6 (𝑑 βŠ† 𝐾 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐾 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol))
198196, 197mpan9 505 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝑑 βŠ† 𝐾) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
199198ad2ant2r 743 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
200 iunmbl2 25306 . . . 4 ((𝑑 β‰Ό β„• ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
201104, 199, 200syl2anc 582 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑑 (◑𝐹 β€œ (𝐺 β€œ 𝑀)) ∈ dom vol)
20245, 201eqeltrd 2831 . 2 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) ∧ (𝑑 βŠ† 𝐾 ∧ (◑𝐺 β€œ 𝐴) = βˆͺ 𝑑)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
20327, 202exlimddv 1936 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ 𝐽) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝐴) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Oncon0 6363  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Ο‰com 7857   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  cardccrd 9932  β„‚cc 11110  β„cr 11111  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251  β„•cn 12216  β„šcq 12936  (,)cioo 13328  β„œcre 15048  β„‘cim 15049  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  β„‚fldccnfld 21144  TopBasesctb 22668   Cn ccn 22948   Γ—t ctx 23284  Homeochmeo 23477  volcvol 25212  MblFncmbf 25363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368
This theorem is referenced by:  mbfimaopn  25405
  Copyright terms: Public domain W3C validator