Theorem znnen 16263

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9611	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 14012	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8997	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 9928	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		xpnum 9933	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
7	5, 5, 6	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8		subf 11454	. . . . . . 7 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		ffun 6708	. . . . . . 7 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun −
11		nnsscn 12233	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
12		xpss12 5676	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
13	11, 11, 12	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
14	8	fdmi 6717	. . . . . . 7 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
15	13, 14	sseqtrri 3986	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16		fores 6802	. . . . . 6 ⊢ ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
17	10, 15, 16	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18		dfz2 12605	. . . . . 6 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19		foeq3 6790	. . . . . 6 ⊢ (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
21	17, 20	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22		fodomnum 10037	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
23	7, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24		xpnnen 16262	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25		domentr 9006	. . 3 ⊢ ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
26	23, 24, 25	mp2an 704	. 2 ⊢ ℤ ≼ ℕ
27		zex 12595	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
28		nnssz 12608	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
29		ssdomg 8993	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
30	27, 28, 29	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℤ
31		sbth 9081	. 2 ⊢ ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
32	26, 30, 31	mp2an 704	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663   “ cima 5664  Oncon0 6360  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937  cardccrd 9917  ℂcc 11093   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  qnnen  16264  ex-chn2  18689  odinf  19628  odhash  19639  cygctb  19957  iscmet3  25452  dyadmbl  25759  mbfsup  25823  dya2iocct  34670  zenom  45792