Theorem znnen 16424

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9684	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 14163	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 9069	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 10064	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		xpnum 10069	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
7	5, 5, 6	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8		subf 11598	. . . . . . 7 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		ffun 6742	. . . . . . 7 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun −
11		nnsscn 12380	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
12		xpss12 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
13	11, 11, 12	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
14	8	fdmi 6751	. . . . . . 7 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
15	13, 14	sseqtrri 3962	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16		fores 6836	. . . . . 6 ⊢ ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶onto( − “ (ℕ × ℕ)))
17	10, 15, 16	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶onto( − “ (ℕ × ℕ))
18		dfz2 12752	. . . . . 6 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19		foeq3 6824	. . . . . 6 ⊢ (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶ontoℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶onto( − “ (ℕ × ℕ))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶ontoℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶onto( − “ (ℕ × ℕ)))
21	17, 20	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶ontoℤ
22		fodomnum 10175	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)⟶ontoℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
23	7, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24		xpnnen 16423	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25		domentr 9078	. . 3 ⊢ ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
26	23, 24, 25	mp2an 705	. 2 ⊢ ℤ ≼ ℕ
27		zex 12742	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
28		nnssz 12755	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
29		ssdomg 9065	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
30	27, 28, 29	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℤ
31		sbth 9154	. 2 ⊢ ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
32	26, 30, 31	mp2an 705	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   × cxp 5656  dom cdm 5658   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Oncon0 6388  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009  cardccrd 10053  ℂcc 11237   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  qnnen  16425  ex-chn2  18862  odinf  19828  odhash  19839  cygctb  20157  iscmet3  25669  dyadmbl  25976  mbfsup  26040  dya2iocct  35023  zenom  46343