Theorem znnen 16170

Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
znnen	⊢ ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 9558	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
2		nnenom 13933	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
3	2	ensymi 8941	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ ℕ
4		isnumi 9861	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
5	1, 3, 4	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ dom card
6		xpnum 9866	. . . . 5 ⊢ ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
7	5, 5, 6	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8		subf 11386	. . . . . . 7 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9		ffun 6658	. . . . . . 7 ⊢ ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun −
11		nnsscn 12170	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
12		xpss12 5633	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
13	11, 11, 12	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
14	8	fdmi 6666	. . . . . . 7 ⊢ dom − = (ℂ × ℂ)
15	13, 14	sseqtrri 3964	. . . . . 6 ⊢ (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16		fores 6749	. . . . . 6 ⊢ ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
17	10, 15, 16	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18		dfz2 12534	. . . . . 6 ⊢ ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19		foeq3 6737	. . . . . 6 ⊢ (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
21	17, 20	mpbir 232	. . . 4 ⊢ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22		fodomnum 9970	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
23	7, 21, 22	mp2 9	. . 3 ⊢ ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24		xpnnen 16169	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25		domentr 8950	. . 3 ⊢ ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
26	23, 24, 25	mp2an 698	. 2 ⊢ ℤ ≼ ℕ
27		zex 12524	. . 3 ⊢ ℤ ∈ V
28		nnssz 12537	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
29		ssdomg 8937	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
30	27, 28, 29	mp2 9	. 2 ⊢ ℕ ≼ ℤ
31		sbth 9025	. 2 ⊢ ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
32	26, 30, 31	mp2an 698	1 ⊢ ℤ ≈ ℕ

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   × cxp 5616  dom cdm 5618   ↾ cres 5620   “ cima 5621  Oncon0 6310  Fun wfun 6479  ⟶wf 6481  –onto→wfo 6483  ωcom 7806   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  cardccrd 9850  ℂcc 11027   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780

This theorem is referenced by:  qnnen  16171  ex-chn2  18595  odinf  19529  odhash  19540  cygctb  19858  iscmet3  25278  dyadmbl  25585  mbfsup  25649  dya2iocct  34464  zenom  45500