MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnen 16245
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 9684 . . . . . 6 ω ∈ On
2 nnenom 14018 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 9043 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 isnumi 9984 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
51, 3, 4mp2an 692 . . . . 5 ℕ ∈ dom card
6 xpnum 9989 . . . . 5 ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
75, 5, 6mp2an 692 . . . 4 (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8 subf 11508 . . . . . . 7 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffun 6740 . . . . . . 7 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Fun −
11 nnsscn 12269 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℂ
12 xpss12 5704 . . . . . . . 8 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
1311, 11, 12mp2an 692 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
148fdmi 6748 . . . . . . 7 dom − = (ℂ × ℂ)
1513, 14sseqtrri 4033 . . . . . 6 (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16 fores 6831 . . . . . 6 ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
1710, 15, 16mp2an 692 . . . . 5 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18 dfz2 12630 . . . . . 6 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19 foeq3 6819 . . . . . 6 (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
2117, 20mpbir 231 . . . 4 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22 fodomnum 10095 . . . 4 ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
237, 21, 22mp2 9 . . 3 ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24 xpnnen 16244 . . 3 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25 domentr 9052 . . 3 ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
2623, 24, 25mp2an 692 . 2 ℤ ≼ ℕ
27 zex 12620 . . 3 ℤ ∈ V
28 nnssz 12633 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
29 ssdomg 9039 . . 3 (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
3027, 28, 29mp2 9 . 2 ℕ ≼ ℤ
31 sbth 9132 . 2 ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
3226, 30, 31mp2an 692 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  cima 5692  Oncon0 6386  Fun wfun 6557  wf 6559  ontowfo 6561  ωcom 7887  cen 8981  cdom 8982  cardccrd 9973  cc 11151  cmin 11490  cn 12264  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  qnnen  16246  odinf  19596  odhash  19607  cygctb  19925  iscmet3  25341  dyadmbl  25649  mbfsup  25713  dya2iocct  34262  zenom  44992
  Copyright terms: Public domain W3C validator