MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnen 15567
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 9108 . . . . . 6 ω ∈ On
2 nnenom 13354 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 8557 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 isnumi 9374 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
51, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 ℕ ∈ dom card
6 xpnum 9379 . . . . 5 ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
75, 5, 6mp2an 691 . . . 4 (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8 subf 10888 . . . . . . 7 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffun 6508 . . . . . . 7 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Fun −
11 nnsscn 11641 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℂ
12 xpss12 5558 . . . . . . . 8 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
1311, 11, 12mp2an 691 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
148fdmi 6516 . . . . . . 7 dom − = (ℂ × ℂ)
1513, 14sseqtrri 3990 . . . . . 6 (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16 fores 6593 . . . . . 6 ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
1710, 15, 16mp2an 691 . . . . 5 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18 dfz2 11999 . . . . . 6 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19 foeq3 6581 . . . . . 6 (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
2117, 20mpbir 234 . . . 4 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22 fodomnum 9483 . . . 4 ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
237, 21, 22mp2 9 . . 3 ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24 xpnnen 15566 . . 3 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25 domentr 8566 . . 3 ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
2623, 24, 25mp2an 691 . 2 ℤ ≼ ℕ
27 zex 11989 . . 3 ℤ ∈ V
28 nnssz 12001 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
29 ssdomg 8553 . . 3 (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
3027, 28, 29mp2 9 . 2 ℕ ≼ ℤ
31 sbth 8636 . 2 ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
3226, 30, 31mp2an 691 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  wss 3919   class class class wbr 5053   × cxp 5541  dom cdm 5543  cres 5545  cima 5546  Oncon0 6180  Fun wfun 6339  wf 6341  ontowfo 6343  ωcom 7576  cen 8504  cdom 8505  cardccrd 9363  cc 10535  cmin 10870  cn 11636  cz 11980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-omul 8105  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243
This theorem is referenced by:  qnnen  15568  odinf  18692  odhash  18701  cygctb  19014  iscmet3  23906  dyadmbl  24213  mbfsup  24277  dya2iocct  31623  zenom  41634
  Copyright terms: Public domain W3C validator