MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znnen 16162
Description: The set of integers and the set of positive integers are equinumerous. Exercise 1 of [Gleason] p. 140. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
znnen ℤ ≈ ℕ

Proof of Theorem znnen
StepHypRef Expression
1 omelon 9647 . . . . . 6 ω ∈ On
2 nnenom 13952 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
32ensymi 9006 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
4 isnumi 9947 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
51, 3, 4mp2an 689 . . . . 5 ℕ ∈ dom card
6 xpnum 9952 . . . . 5 ((ℕ ∈ dom card ∧ ℕ ∈ dom card) → (ℕ × ℕ) ∈ dom card)
75, 5, 6mp2an 689 . . . 4 (ℕ × ℕ) ∈ dom card
8 subf 11469 . . . . . . 7 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
9 ffun 6720 . . . . . . 7 ( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → Fun − )
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 Fun −
11 nnsscn 12224 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℂ
12 xpss12 5691 . . . . . . . 8 ((ℕ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ ℂ) → (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ))
1311, 11, 12mp2an 689 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ⊆ (ℂ × ℂ)
148fdmi 6729 . . . . . . 7 dom − = (ℂ × ℂ)
1513, 14sseqtrri 4019 . . . . . 6 (ℕ × ℕ) ⊆ dom −
16 fores 6815 . . . . . 6 ((Fun − ∧ (ℕ × ℕ) ⊆ dom − ) → ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
1710, 15, 16mp2an 689 . . . . 5 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))
18 dfz2 12584 . . . . . 6 ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ))
19 foeq3 6803 . . . . . 6 (ℤ = ( − “ (ℕ × ℕ)) → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ))))
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5 (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ ↔ ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→( − “ (ℕ × ℕ)))
2117, 20mpbir 230 . . . 4 ( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ
22 fodomnum 10058 . . . 4 ((ℕ × ℕ) ∈ dom card → (( − ↾ (ℕ × ℕ)):(ℕ × ℕ)–onto→ℤ → ℤ ≼ (ℕ × ℕ)))
237, 21, 22mp2 9 . . 3 ℤ ≼ (ℕ × ℕ)
24 xpnnen 16161 . . 3 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
25 domentr 9015 . . 3 ((ℤ ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → ℤ ≼ ℕ)
2623, 24, 25mp2an 689 . 2 ℤ ≼ ℕ
27 zex 12574 . . 3 ℤ ∈ V
28 nnssz 12587 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
29 ssdomg 9002 . . 3 (ℤ ∈ V → (ℕ ⊆ ℤ → ℕ ≼ ℤ))
3027, 28, 29mp2 9 . 2 ℕ ≼ ℤ
31 sbth 9099 . 2 ((ℤ ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ ℤ) → ℤ ≈ ℕ)
3226, 30, 31mp2an 689 1 ℤ ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  wss 3948   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676  cres 5678  cima 5679  Oncon0 6364  Fun wfun 6537  wf 6539  ontowfo 6541  ωcom 7859  cen 8942  cdom 8943  cardccrd 9936  cc 11114  cmin 11451  cn 12219  cz 12565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830
This theorem is referenced by:  qnnen  16163  odinf  19476  odhash  19487  cygctb  19805  iscmet3  25054  dyadmbl  25362  mbfsup  25426  dya2iocct  33592  zenom  44053
  Copyright terms: Public domain W3C validator