Theorem imafiALT 9379

Description: Shorter proof of imafi 9208 using ax-pow 5369. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
imafiALT	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafiALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmres 6243	. 2 ⊢ (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) = (𝐹 “ 𝑋)
2		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3		dmres 6021	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4		inss1 4231	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
5	3, 4	eqsstri 4016	. . . 4 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋
6		ssfi 9206	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	sylancl 584	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin)
8		resss 6011	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹
9		dmss 5909	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11		fores 6826	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹 ↾ 𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
12	10, 11	syldan 589	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)))
13		fofi 9372	. . 3 ⊢ ((dom (𝐹 ↾ 𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹 ↾ 𝑋)):dom (𝐹 ↾ 𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
14	7, 12, 13	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹 ↾ 𝑋)) ∈ Fin)
15	1, 14	eqeltrrid 2834	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ 𝑋) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  dom cdm 5682   ↾ cres 5684   “ cima 5685  Fun wfun 6547  –onto→wfo 6551  Fincfn 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-om 7879  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-fin 8976

This theorem is referenced by: (None)