MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imafiALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imafiALT 9345
Description: Shorter proof of imafi 9175 using ax-pow 5364. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
imafiALT ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem imafiALT
StepHypRef Expression
1 imadmres 6234 . 2 (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋)
2 simpr 486 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
3 dmres 6004 . . . . 5 dom (𝐹𝑋) = (𝑋 ∩ dom 𝐹)
4 inss1 4229 . . . . 5 (𝑋 ∩ dom 𝐹) ⊆ 𝑋
53, 4eqsstri 4017 . . . 4 dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋
6 ssfi 9173 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ 𝑋) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
72, 5, 6sylancl 587 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ∈ Fin)
8 resss 6007 . . . . 5 (𝐹𝑋) ⊆ 𝐹
9 dmss 5903 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
108, 9mp1i 13 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹)
11 fores 6816 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom (𝐹𝑋) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
1210, 11syldan 592 . . 3 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋)))
13 fofi 9338 . . 3 ((dom (𝐹𝑋) ∈ Fin ∧ (𝐹 ↾ dom (𝐹𝑋)):dom (𝐹𝑋)–onto→(𝐹 “ dom (𝐹𝑋))) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
147, 12, 13syl2anc 585 . 2 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹 “ dom (𝐹𝑋)) ∈ Fin)
151, 14eqeltrrid 2839 1 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ Fin) → (𝐹𝑋) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  cin 3948  wss 3949  dom cdm 5677  cres 5679  cima 5680  Fun wfun 6538  ontowfo 6542  Fincfn 8939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator