MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re2ndc 24766
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
21tgqioo 24765 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3 qtopbas 24725 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4 omelon 9676 . . . . . 6 ω ∈ On
5 qnnen 16198 . . . . . . . . 9 ℚ ≈ ℕ
6 xpen 9168 . . . . . . . . 9 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
75, 5, 6mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 16196 . . . . . . . 8 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 9029 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10 nnenom 13986 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
119, 10entr2i 9030 . . . . . 6 ω ≈ (ℚ × ℚ)
12 isnumi 9976 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
134, 11, 12mp2an 690 . . . . 5 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14 ioof 13464 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffun 6726 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (,)
17 qssre 12981 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
18 ressxr 11295 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3986 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ*
20 xpss12 5693 . . . . . . . 8 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2119, 19, 20mp2an 690 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2214fdmi 6734 . . . . . . 7 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtrri 4014 . . . . . 6 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24 fores 6820 . . . . . 6 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2516, 23, 24mp2an 690 . . . . 5 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26 fodomnum 10087 . . . . 5 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
289, 10entri 9029 . . . 4 (ℚ × ℚ) ≈ ω
29 domentr 9034 . . . 4 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
3027, 28, 29mp2an 690 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31 2ndci 23401 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
323, 30, 31mp2an 690 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
332, 32eqeltri 2821 1 (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2098  wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  cres 5680  cima 5681  Oncon0 6371  Fun wfun 6543  wf 6545  ontowfo 6547  cfv 6549  ωcom 7871  cen 8961  cdom 8962  cardccrd 9965  cr 11144  *cxr 11284  cn 12250  cq 12970  (,)cioo 13364  topGenctg 17427  TopBasesctb 22897  2ndωc2ndc 23391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ioo 13368  df-topgen 17433  df-bases 22898  df-2ndc 23393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator