Theorem re2ndc 23964

Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
re2ndc	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2	1	tgqioo 23963	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3		qtopbas 23923	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4		omelon 9404	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
5		qnnen 15922	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ≈ ℕ
6		xpen 8927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	5, 5, 6	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 15920	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 8794	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10		nnenom 13700	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entr2i 8795	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
12		isnumi 9704	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
13	4, 11, 12	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14		ioof 13179	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffun 6603	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (,)
17		qssre 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		ressxr 11019	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
19	17, 18	sstri 3930	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
20		xpss12 5604	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
21	19, 19, 20	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
22	14	fdmi 6612	. . . . . . 7 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
23	21, 22	sseqtrri 3958	. . . . . 6 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24		fores 6698	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
25	16, 23, 24	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26		fodomnum 9813	. . . . 5 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
27	13, 25, 26	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
28	9, 10	entri 8794	. . . 4 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ω
29		domentr 8799	. . . 4 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
30	27, 28, 29	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31		2ndci 22599	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
32	3, 30, 31	mp2an 689	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
33	2, 32	eqeltri 2835	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   ↾ cres 5591   “ cima 5592  Oncon0 6266  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≈ cen 8730   ≼ cdom 8731  cardccrd 9693  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008  ℕcn 11973  ℚcq 12688  (,)cioo 13079  topGenctg 17148  TopBasesctb 22095  2^ndωc2ndc 22589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ioo 13083  df-topgen 17154  df-bases 22096  df-2ndc 22591

This theorem is referenced by: (None)