Theorem re2ndc 24926

Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
re2ndc	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2	1	tgqioo 24925	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3		qtopbas 24884	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4		omelon 9614	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
5		qnnen 16268	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ≈ ℕ
6		xpen 9127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	5, 5, 6	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 16266	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 9004	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10		nnenom 14015	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entr2i 9005	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
12		isnumi 9931	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
13	4, 11, 12	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14		ioof 13473	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffun 6709	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (,)
17		qssre 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		ressxr 11252	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
19	17, 18	sstri 3954	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
20		xpss12 5677	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
21	19, 19, 20	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
22	14	fdmi 6718	. . . . . . 7 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
23	21, 22	sseqtrri 3994	. . . . . 6 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24		fores 6803	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
25	16, 23, 24	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26		fodomnum 10040	. . . . 5 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
27	13, 25, 26	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
28	9, 10	entri 9004	. . . 4 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ω
29		domentr 9009	. . . 4 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
30	27, 28, 29	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31		2ndci 23573	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
32	3, 30, 31	mp2an 704	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
33	2, 32	eqeltri 2865	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  ωcom 7861   ≈ cen 8939   ≼ cdom 8940  cardccrd 9920  ℝcr 11098  ℝ^*cxr 11241  ℕcn 12232  ℚcq 12971  (,)cioo 13371  topGenctg 17489  TopBasesctb 23070  2^ndωc2ndc 23563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-ioo 13375  df-topgen 17495  df-bases 23071  df-2ndc 23565

This theorem is referenced by: (None)