Theorem re2ndc 24665

Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
re2ndc	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2	1	tgqioo 24664	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3		qtopbas 24623	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4		omelon 9575	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
5		qnnen 16157	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ≈ ℕ
6		xpen 9081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	5, 5, 6	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 16155	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 8956	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10		nnenom 13921	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entr2i 8957	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
12		isnumi 9875	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
13	4, 11, 12	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14		ioof 13384	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffun 6673	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (,)
17		qssre 12894	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		ressxr 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
19	17, 18	sstri 3953	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
20		xpss12 5646	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
21	19, 19, 20	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
22	14	fdmi 6681	. . . . . . 7 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
23	21, 22	sseqtrri 3993	. . . . . 6 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24		fores 6764	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
25	16, 23, 24	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26		fodomnum 9986	. . . . 5 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
27	13, 25, 26	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
28	9, 10	entri 8956	. . . 4 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ω
29		domentr 8961	. . . 4 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
30	27, 28, 29	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31		2ndci 23311	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
32	3, 30, 31	mp2an 692	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
33	2, 32	eqeltri 2824	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Oncon0 6320  Fun wfun 6493  ⟶wf 6495  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  ωcom 7822   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  cardccrd 9864  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183  ℕcn 12162  ℚcq 12883  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  TopBasesctb 22808  2^ndωc2ndc 23301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-bases 22809  df-2ndc 23303

This theorem is referenced by: (None)