MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re2ndc 24836
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
21tgqioo 24835 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3 qtopbas 24795 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4 omelon 9683 . . . . . 6 ω ∈ On
5 qnnen 16245 . . . . . . . . 9 ℚ ≈ ℕ
6 xpen 9178 . . . . . . . . 9 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
75, 5, 6mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 16243 . . . . . . . 8 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 9046 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10 nnenom 14017 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
119, 10entr2i 9047 . . . . . 6 ω ≈ (ℚ × ℚ)
12 isnumi 9983 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
134, 11, 12mp2an 692 . . . . 5 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14 ioof 13483 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffun 6739 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (,)
17 qssre 12998 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
18 ressxr 11302 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 4004 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ*
20 xpss12 5703 . . . . . . . 8 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2119, 19, 20mp2an 692 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2214fdmi 6747 . . . . . . 7 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtrri 4032 . . . . . 6 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24 fores 6830 . . . . . 6 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2516, 23, 24mp2an 692 . . . . 5 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26 fodomnum 10094 . . . . 5 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
289, 10entri 9046 . . . 4 (ℚ × ℚ) ≈ ω
29 domentr 9051 . . . 4 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
3027, 28, 29mp2an 692 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31 2ndci 23471 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
323, 30, 31mp2an 692 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
332, 32eqeltri 2834 1 (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Oncon0 6385  Fun wfun 6556  wf 6558  ontowfo 6560  cfv 6562  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  cardccrd 9972  cr 11151  *cxr 11291  cn 12263  cq 12987  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopBasesctb 22967  2ndωc2ndc 23461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-bases 22968  df-2ndc 23463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator