MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem re2ndc 23698
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
21tgqioo 23697 . 2 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3 qtopbas 23657 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4 omelon 9261 . . . . . 6 ω ∈ On
5 qnnen 15774 . . . . . . . . 9 ℚ ≈ ℕ
6 xpen 8809 . . . . . . . . 9 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
75, 5, 6mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8 xpnnen 15772 . . . . . . . 8 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
97, 8entri 8682 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10 nnenom 13553 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
119, 10entr2i 8683 . . . . . 6 ω ≈ (ℚ × ℚ)
12 isnumi 9562 . . . . . 6 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
134, 11, 12mp2an 692 . . . . 5 (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14 ioof 13035 . . . . . . 7 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15 ffun 6548 . . . . . . 7 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 Fun (,)
17 qssre 12555 . . . . . . . . 9 ℚ ⊆ ℝ
18 ressxr 10877 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
1917, 18sstri 3910 . . . . . . . 8 ℚ ⊆ ℝ*
20 xpss12 5566 . . . . . . . 8 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2119, 19, 20mp2an 692 . . . . . . 7 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2214fdmi 6557 . . . . . . 7 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2321, 22sseqtrri 3938 . . . . . 6 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24 fores 6643 . . . . . 6 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)))
2516, 23, 24mp2an 692 . . . . 5 ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ))
26 fodomnum 9671 . . . . 5 ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)–onto→((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
289, 10entri 8682 . . . 4 (ℚ × ℚ) ≈ ω
29 domentr 8687 . . . 4 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
3027, 28, 29mp2an 692 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31 2ndci 22345 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
323, 30, 31mp2an 692 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
332, 32eqeltri 2834 1 (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2110  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053   × cxp 5549  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  cima 5554  Oncon0 6213  Fun wfun 6374  wf 6376  ontowfo 6378  cfv 6380  ωcom 7644  cen 8623  cdom 8624  cardccrd 9551  cr 10728  *cxr 10866  cn 11830  cq 12544  (,)cioo 12935  topGenctg 16942  TopBasesctb 21842  2ndωc2ndc 22335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-ioo 12939  df-topgen 16948  df-bases 21843  df-2ndc 22337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator