Theorem re2ndc 25175

Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
re2ndc	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

Proof of Theorem re2ndc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2	1	tgqioo 25174	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
3		qtopbas 25133	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
4		omelon 9684	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
5		qnnen 16425	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ≈ ℕ
6		xpen 9197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℚ ≈ ℕ) → (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ))
7	5, 5, 6	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ (ℕ × ℕ)
8		xpnnen 16423	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
9	7, 8	entri 9073	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ℕ
10		nnenom 14163	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≈ ω
11	9, 10	entr2i 9074	. . . . . 6 ⊢ ω ≈ (ℚ × ℚ)
12		isnumi 10064	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ On ∧ ω ≈ (ℚ × ℚ)) → (ℚ × ℚ) ∈ dom card)
13	4, 11, 12	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (ℚ × ℚ) ∈ dom card
14		ioof 13618	. . . . . . 7 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
15		ffun 6742	. . . . . . 7 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (,)
17		qssre 13126	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
18		ressxr 11392	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
19	17, 18	sstri 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
20		xpss12 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
21	19, 19, 20	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
22	14	fdmi 6751	. . . . . . 7 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
23	21, 22	sseqtrri 3962	. . . . . 6 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
24		fores 6836	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)⟶onto((,) “ (ℚ × ℚ)))
25	16, 23, 24	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)⟶onto((,) “ (ℚ × ℚ))
26		fodomnum 10175	. . . . 5 ⊢ ((ℚ × ℚ) ∈ dom card → (((,) ↾ (ℚ × ℚ)):(ℚ × ℚ)⟶onto((,) “ (ℚ × ℚ)) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)))
27	13, 25, 26	mp2 9	. . . 4 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ)
28	9, 10	entri 9073	. . . 4 ⊢ (ℚ × ℚ) ≈ ω
29		domentr 9078	. . . 4 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ (ℚ × ℚ) ∧ (ℚ × ℚ) ≈ ω) → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω)
30	27, 28, 29	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω
31		2ndci 23821	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ≼ ω) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω)
32	3, 30, 31	mp2an 705	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ∈ 2ndω
33	2, 32	eqeltri 2860	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ 2ndω

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108   × cxp 5656  dom cdm 5658  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661  Oncon0 6388  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  ‘cfv 6566  ωcom 7911   ≈ cen 9008   ≼ cdom 9009  cardccrd 10053  ℝcr 11238  ℝ^*cxr 11381  ℕcn 12375  ℚcq 13115  (,)cioo 13516  topGenctg 17658  TopBasesctb 23318  2^ndωc2ndc 23811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-ioo 13520  df-topgen 17664  df-bases 23319  df-2ndc 23813

This theorem is used by: (None)