Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erdszelem2 34482
Description: Lemma for erdsze 34492. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1 š‘† = {š‘¦ āˆˆ š’« (1...š“) āˆ£ ((š¹ ā†¾ š‘¦) Isom < , š‘‚ (š‘¦, (š¹ ā€œ š‘¦)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘¦)}
Assertion
Ref Expression
erdszelem2 ((ā™Æ ā€œ š‘†) āˆˆ Fin āˆ§ (ā™Æ ā€œ š‘†) āŠ† ā„•)
Distinct variable groups:   š‘¦,š“   š‘¦,š¹   š‘¦,š‘‚
Allowed substitution hint:   š‘†(š‘¦)
Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable š‘„ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13942 . . . . 5 (1...š“) āˆˆ Fin
2 pwfi 9182 . . . . 5 ((1...š“) āˆˆ Fin ā†” š’« (1...š“) āˆˆ Fin)
31, 2mpbi 229 . . . 4 š’« (1...š“) āˆˆ Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5 š‘† = {š‘¦ āˆˆ š’« (1...š“) āˆ£ ((š¹ ā†¾ š‘¦) Isom < , š‘‚ (š‘¦, (š¹ ā€œ š‘¦)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘¦)}
5 ssrab2 4077 . . . . 5 {š‘¦ āˆˆ š’« (1...š“) āˆ£ ((š¹ ā†¾ š‘¦) Isom < , š‘‚ (š‘¦, (š¹ ā€œ š‘¦)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘¦)} āŠ† š’« (1...š“)
64, 5eqsstri 4016 . . . 4 š‘† āŠ† š’« (1...š“)
7 ssfi 9177 . . . 4 ((š’« (1...š“) āˆˆ Fin āˆ§ š‘† āŠ† š’« (1...š“)) ā†’ š‘† āˆˆ Fin)
83, 6, 7mp2an 689 . . 3 š‘† āˆˆ Fin
9 hashf 14303 . . . . 5 ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž})
10 ffun 6720 . . . . 5 (ā™Æ:VāŸ¶(ā„•0 āˆŖ {+āˆž}) ā†’ Fun ā™Æ)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 Fun ā™Æ
12 ssv 4006 . . . . 5 š‘† āŠ† V
139fdmi 6729 . . . . 5 dom ā™Æ = V
1412, 13sseqtrri 4019 . . . 4 š‘† āŠ† dom ā™Æ
15 fores 6815 . . . 4 ((Fun ā™Æ āˆ§ š‘† āŠ† dom ā™Æ) ā†’ (ā™Æ ā†¾ š‘†):š‘†ā€“ontoā†’(ā™Æ ā€œ š‘†))
1611, 14, 15mp2an 689 . . 3 (ā™Æ ā†¾ š‘†):š‘†ā€“ontoā†’(ā™Æ ā€œ š‘†)
17 fofi 9342 . . 3 ((š‘† āˆˆ Fin āˆ§ (ā™Æ ā†¾ š‘†):š‘†ā€“ontoā†’(ā™Æ ā€œ š‘†)) ā†’ (ā™Æ ā€œ š‘†) āˆˆ Fin)
188, 16, 17mp2an 689 . 2 (ā™Æ ā€œ š‘†) āˆˆ Fin
19 funimass4 6956 . . . 4 ((Fun ā™Æ āˆ§ š‘† āŠ† dom ā™Æ) ā†’ ((ā™Æ ā€œ š‘†) āŠ† ā„• ā†” āˆ€š‘„ āˆˆ š‘† (ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„•))
2011, 14, 19mp2an 689 . . 3 ((ā™Æ ā€œ š‘†) āŠ† ā„• ā†” āˆ€š‘„ āˆˆ š‘† (ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„•)
214erdszelem1 34481 . . . 4 (š‘„ āˆˆ š‘† ā†” (š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„))
22 ne0i 4334 . . . . . 6 (š“ āˆˆ š‘„ ā†’ š‘„ ā‰  āˆ…)
23223ad2ant3 1134 . . . . 5 ((š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„) ā†’ š‘„ ā‰  āˆ…)
24 simp1 1135 . . . . . . 7 ((š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„) ā†’ š‘„ āŠ† (1...š“))
25 ssfi 9177 . . . . . . 7 (((1...š“) āˆˆ Fin āˆ§ š‘„ āŠ† (1...š“)) ā†’ š‘„ āˆˆ Fin)
261, 24, 25sylancr 586 . . . . . 6 ((š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„) ā†’ š‘„ āˆˆ Fin)
27 hashnncl 14331 . . . . . 6 (š‘„ āˆˆ Fin ā†’ ((ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„• ā†” š‘„ ā‰  āˆ…))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„) ā†’ ((ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„• ā†” š‘„ ā‰  āˆ…))
2923, 28mpbird 257 . . . 4 ((š‘„ āŠ† (1...š“) āˆ§ (š¹ ā†¾ š‘„) Isom < , š‘‚ (š‘„, (š¹ ā€œ š‘„)) āˆ§ š“ āˆˆ š‘„) ā†’ (ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„•)
3021, 29sylbi 216 . . 3 (š‘„ āˆˆ š‘† ā†’ (ā™Æā€˜š‘„) āˆˆ ā„•)
3120, 30mprgbir 3067 . 2 (ā™Æ ā€œ š‘†) āŠ† ā„•
3218, 31pm3.2i 470 1 ((ā™Æ ā€œ š‘†) āˆˆ Fin āˆ§ (ā™Æ ā€œ š‘†) āŠ† ā„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ā†” wb 205   āˆ§ wa 395   āˆ§ w3a 1086   = wceq 1540   āˆˆ wcel 2105   ā‰  wne 2939  āˆ€wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473   āˆŖ cun 3946   āŠ† wss 3948  āˆ…c0 4322  š’« cpw 4602  {csn 4628  dom cdm 5676   ā†¾ cres 5678   ā€œ cima 5679  Fun wfun 6537  āŸ¶wf 6539  ā€“ontoā†’wfo 6541  ā€˜cfv 6543   Isom wiso 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  1c1 11115  +āˆžcpnf 11250   < clt 11253  ā„•cn 12217  ā„•0cn0 12477  ...cfz 13489  ā™Æchash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  erdszelem5  34485  erdszelem6  34486  erdszelem7  34487  erdszelem8  34488
  Copyright terms: Public domain W3C validator