Theorem erdszelem2 35143

Description: Lemma for erdsze 35153. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
erdszelem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
erdszelem2	⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13980	. . . . 5 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
2		pwfi 9324	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4		erdszelem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
5		ssrab2 4053	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
6	4, 5	eqsstri 4003	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7		ssfi 9182	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
8	3, 6, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
9		hashf 14346	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		ffun 6706	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ♯
12		ssv 3981	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
13	9	fdmi 6714	. . . . 5 ⊢ dom ♯ = V
14	12, 13	sseqtrri 4006	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom ♯
15		fores 6797	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆))
16	11, 14, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)
17		fofi 9318	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
18	8, 16, 17	mp2an 692	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19		funimass4 6940	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
20	11, 14, 19	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
21	4	erdszelem1 35142	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
22		ne0i 4314	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25		ssfi 9182	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
26	1, 24, 25	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashnncl 14374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
29	23, 28	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
30	21, 29	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
31	20, 30	mprgbir 3057	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
32	18, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  {crab 3413  Vcvv 3457   ∪ cun 3922   ⊆ wss 3924  ∅c0 4306  𝒫 cpw 4573  {csn 4599  dom cdm 5652   ↾ cres 5654   “ cima 5655  Fun wfun 6522  ⟶wf 6524  –onto→wfo 6526  ‘cfv 6528   Isom wiso 6529  (class class class)co 7400  Fincfn 8954  1c1 11123  +∞cpnf 11259   < clt 11262  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12494  ...cfz 13514  ♯chash 14338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-n0 12495  df-xnn0 12568  df-z 12582  df-uz 12846  df-fz 13515  df-hash 14339

This theorem is referenced by:  erdszelem5  35146  erdszelem6  35147  erdszelem7  35148  erdszelem8  35149