Theorem erdszelem2 35394

Description: Lemma for erdsze 35404. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
erdszelem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
erdszelem2	⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13929	. . . . 5 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
2		pwfi 9224	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	mpbi 230	. . . 4 ⊢ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4		erdszelem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
5		ssrab2 4021	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
6	4, 5	eqsstri 3969	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7		ssfi 9102	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
8	3, 6, 7	mp2an 693	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
9		hashf 14295	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		ffun 6667	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ♯
12		ssv 3947	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
13	9	fdmi 6675	. . . . 5 ⊢ dom ♯ = V
14	12, 13	sseqtrri 3972	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom ♯
15		fores 6758	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆))
16	11, 14, 15	mp2an 693	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)
17		fofi 9218	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
18	8, 16, 17	mp2an 693	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19		funimass4 6900	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
20	11, 14, 19	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
21	4	erdszelem1 35393	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
22		ne0i 4282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
23	22	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25		ssfi 9102	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
26	1, 24, 25	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashnncl 14323	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
29	23, 28	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
30	21, 29	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
31	20, 30	mprgbir 3059	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
32	18, 31	pm3.2i 470	1 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  dom cdm 5626   ↾ cres 5628   “ cima 5629  Fun wfun 6488  ⟶wf 6490  –onto→wfo 6492  ‘cfv 6494   Isom wiso 6495  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  1c1 11034  +∞cpnf 11171   < clt 11174  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  ...cfz 13456  ♯chash 14287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288

This theorem is referenced by:  erdszelem5  35397  erdszelem6  35398  erdszelem7  35399  erdszelem8  35400