Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem2 31720
Description: Lemma for erdsze 31730. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
Assertion
Ref Expression
erdszelem2 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13066 . . . . 5 (1...𝐴) ∈ Fin
2 pwfi 8530 . . . . 5 ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
31, 2mpbi 222 . . . 4 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
5 ssrab2 3912 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
64, 5eqsstri 3860 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7 ssfi 8449 . . . 4 ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
83, 6, 7mp2an 685 . . 3 𝑆 ∈ Fin
9 hashf 13418 . . . . 5 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10 ffun 6281 . . . . 5 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 Fun ♯
12 ssv 3850 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
139fdmi 6288 . . . . 5 dom ♯ = V
1412, 13sseqtr4i 3863 . . . 4 𝑆 ⊆ dom ♯
15 fores 6363 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆))
1611, 14, 15mp2an 685 . . 3 (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)
17 fofi 8521 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
188, 16, 17mp2an 685 . 2 (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19 funimass4 6494 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
2011, 14, 19mp2an 685 . . 3 ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
214erdszelem1 31719 . . . 4 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥))
22 ne0i 4150 . . . . . 6 (𝐴𝑥𝑥 ≠ ∅)
23223ad2ant3 1171 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24 simp1 1172 . . . . . . 7 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25 ssfi 8449 . . . . . . 7 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
261, 24, 25sylancr 583 . . . . . 6 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashnncl 13447 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2923, 28mpbird 249 . . . 4 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3021, 29sylbi 209 . . 3 (𝑥𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3120, 30mprgbir 3136 . 2 (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
3218, 31pm3.2i 464 1 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414  cun 3796  wss 3798  c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  dom cdm 5342  cres 5344  cima 5345  Fun wfun 6117  wf 6119  ontowfo 6121  cfv 6123   Isom wiso 6124  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  1c1 10253  +∞cpnf 10388   < clt 10391  cn 11350  0cn0 11618  ...cfz 12619  chash 13410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-hash 13411
This theorem is referenced by:  erdszelem5  31723  erdszelem6  31724  erdszelem7  31725  erdszelem8  31726
  Copyright terms: Public domain W3C validator