Theorem erdszelem2 32443

Description: Lemma for erdsze 32453. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
erdszelem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
erdszelem2	⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13343	. . . . 5 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
2		pwfi 8822	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	mpbi 232	. . . 4 ⊢ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4		erdszelem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
5		ssrab2 4059	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
6	4, 5	eqsstri 4004	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7		ssfi 8741	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
8	3, 6, 7	mp2an 690	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
9		hashf 13701	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		ffun 6520	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ♯
12		ssv 3994	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
13	9	fdmi 6527	. . . . 5 ⊢ dom ♯ = V
14	12, 13	sseqtrri 4007	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom ♯
15		fores 6603	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆))
16	11, 14, 15	mp2an 690	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)
17		fofi 8813	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
18	8, 16, 17	mp2an 690	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19		funimass4 6733	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
20	11, 14, 19	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
21	4	erdszelem1 32442	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
22		ne0i 4303	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
23	22	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24		simp1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25		ssfi 8741	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
26	1, 24, 25	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashnncl 13730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
29	23, 28	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
30	21, 29	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
31	20, 30	mprgbir 3156	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
32	18, 31	pm3.2i 473	1 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  {crab 3145  Vcvv 3497   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4542  {csn 4570  dom cdm 5558   ↾ cres 5560   “ cima 5561  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  –onto→wfo 6356  ‘cfv 6358   Isom wiso 6359  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  1c1 10541  +∞cpnf 10675   < clt 10678  ℕcn 11641  ℕ₀cn0 11900  ...cfz 12895  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  erdszelem5  32446  erdszelem6  32447  erdszelem7  32448  erdszelem8  32449