Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erdszelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem erdszelem2 32496
 Description: Lemma for erdsze 32506. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
erdszelem1.1 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
Assertion
Ref Expression
erdszelem2 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 13344 . . . . 5 (1...𝐴) ∈ Fin
2 pwfi 8816 . . . . 5 ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
31, 2mpbi 233 . . . 4 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4 erdszelem1.1 . . . . 5 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)}
5 ssrab2 4042 . . . . 5 {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹𝑦)) ∧ 𝐴𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
64, 5eqsstri 3987 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7 ssfi 8735 . . . 4 ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
83, 6, 7mp2an 691 . . 3 𝑆 ∈ Fin
9 hashf 13703 . . . . 5 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10 ffun 6506 . . . . 5 (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 Fun ♯
12 ssv 3977 . . . . 5 𝑆 ⊆ V
139fdmi 6514 . . . . 5 dom ♯ = V
1412, 13sseqtrri 3990 . . . 4 𝑆 ⊆ dom ♯
15 fores 6591 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆))
1611, 14, 15mp2an 691 . . 3 (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)
17 fofi 8807 . . 3 ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
188, 16, 17mp2an 691 . 2 (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19 funimass4 6721 . . . 4 ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
2011, 14, 19mp2an 691 . . 3 ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
214erdszelem1 32495 . . . 4 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥))
22 ne0i 4283 . . . . . 6 (𝐴𝑥𝑥 ≠ ∅)
23223ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25 ssfi 8735 . . . . . . 7 (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
261, 24, 25sylancr 590 . . . . . 6 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27 hashnncl 13732 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
2923, 28mpbird 260 . . . 4 ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹𝑥)) ∧ 𝐴𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3021, 29sylbi 220 . . 3 (𝑥𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
3120, 30mprgbir 3148 . 2 (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
3218, 31pm3.2i 474 1 ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  𝒫 cpw 4522  {csn 4550  dom cdm 5542   ↾ cres 5544   “ cima 5545  Fun wfun 6337  ⟶wf 6339  –onto→wfo 6341  ‘cfv 6343   Isom wiso 6344  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  1c1 10536  +∞cpnf 10670   < clt 10673  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ...cfz 12894  ♯chash 13695 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696 This theorem is referenced by:  erdszelem5  32499  erdszelem6  32500  erdszelem7  32501  erdszelem8  32502
 Copyright terms: Public domain W3C validator