Theorem erdszelem2 35723

Description: Lemma for erdsze 35733. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
erdszelem1.1	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}

Assertion

Ref	Expression
erdszelem2	⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹   𝑦,𝑂

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem erdszelem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 14028	. . . . 5 ⊢ (1...𝐴) ∈ Fin
2		pwfi 9285	. . . . 5 ⊢ ((1...𝐴) ∈ Fin ↔ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	mpbi 233	. . . 4 ⊢ 𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin
4		erdszelem1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)}
5		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝒫 (1...𝐴) ∣ ((𝐹 ↾ 𝑦) Isom < , 𝑂 (𝑦, (𝐹 “ 𝑦)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑦)} ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
6	4, 5	eqsstri 3984	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)
7		ssfi 9164	. . . 4 ⊢ ((𝒫 (1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 (1...𝐴)) → 𝑆 ∈ Fin)
8	3, 6, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ Fin
9		hashf 14394	. . . . 5 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		ffun 6712	. . . . 5 ⊢ (♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → Fun ♯)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun ♯
12		ssv 3962	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ V
13	9	fdmi 6721	. . . . 5 ⊢ dom ♯ = V
14	12, 13	sseqtrri 3987	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ dom ♯
15		fores 6806	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆))
16	11, 14, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)
17		fofi 9280	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ (♯ ↾ 𝑆):𝑆–onto→(♯ “ 𝑆)) → (♯ “ 𝑆) ∈ Fin)
18	8, 16, 17	mp2an 705	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ∈ Fin
19		funimass4 6949	. . . 4 ⊢ ((Fun ♯ ∧ 𝑆 ⊆ dom ♯) → ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ))
20	11, 14, 19	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
21	4	erdszelem1 35722	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
22		ne0i 4294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
24		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (1...𝐴))
25		ssfi 9164	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝐴) ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ (1...𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
26	1, 24, 25	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
27		hashnncl 14422	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
28	26, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → ((♯‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 𝑥 ≠ ∅))
29	23, 28	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ (1...𝐴) ∧ (𝐹 ↾ 𝑥) Isom < , 𝑂 (𝑥, (𝐹 “ 𝑥)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑥) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
30	21, 29	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 → (♯‘𝑥) ∈ ℕ)
31	20, 30	mprgbir 3088	. 2 ⊢ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ
32	18, 31	pm3.2i 476	1 ⊢ ((♯ “ 𝑆) ∈ Fin ∧ (♯ “ 𝑆) ⊆ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540   Isom wiso 6541  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  1c1 11118  +∞cpnf 11257   < clt 11260  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ...cfz 13553  ♯chash 14386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-xnn0 12595  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387

This theorem is used by:  erdszelem5  35726  erdszelem6  35727  erdszelem7  35728  erdszelem8  35729