Theorem fodomfi2 9968

Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6746	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		forn 6747	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4		eqimss2 3991	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
6	5	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		fipreima 9256	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
10		elinel2 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12		finnum 9858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
15		fofun 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17		elinel1 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20		fof 6744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
21		fdm 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
22	14, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
23	19, 22	sseqtrrd 3969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24		fores 6754	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
26		fodomnum 9965	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥))
27	13, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥)
28		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
29		ssdomg 8935	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
30	28, 19, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
31		domtr 8942	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
33		breq1 5099	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → ((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
34	32, 33	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
35	34	rexlimdva 3135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  ran crn 5623   ↾ cres 5624   “ cima 5625  Fun wfun 6484   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  –onto→wfo 6488   ≼ cdom 8879  Fincfn 8881  cardccrd 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-fin 8885  df-card 9849  df-acn 9852

This theorem is referenced by:  wdomfil  9969