MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfi2 10001
Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomfi2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fofn 6759 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 forn 6760 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4 eqimss2 4002 . . . . 5 (ran 𝐹 = 𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
653ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7 simp2 1138 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8 fipreima 9305 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ⊆ ran 𝐹𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
92, 6, 7, 8syl3anc 1372 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
10 elinel2 4157 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1110adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12 finnum 9889 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
15 fofun 6758 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴onto𝐵 → Fun 𝐹)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17 elinel1 4156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1817elpwid 4570 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1918adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
20 fof 6757 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21 fdm 6678 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2214, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
2319, 22sseqtrrd 3986 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24 fores 6767 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
2516, 23, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
26 fodomnum 9998 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥))
2713, 25, 26sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥)
28 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
29 ssdomg 8943 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
3028, 19, 29sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
31 domtr 8950 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ≼ 𝑥𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
3227, 30, 31syl2anc 585 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
33 breq1 5109 . . . 4 ((𝐹𝑥) = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐴𝐵𝐴))
3432, 33syl5ibcom 244 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
3534rexlimdva 3149 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
369, 35mpd 15 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  cin 3910  wss 3911  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5106  dom cdm 5634  ran crn 5635  cres 5636  cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  wf 6493  ontowfo 6495  cdom 8884  Fincfn 8886  cardccrd 9876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-card 9880  df-acn 9883
This theorem is referenced by:  wdomfil  10002
  Copyright terms: Public domain W3C validator