MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfi2 10097
Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomfi2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fofn 6822 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 forn 6823 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4 eqimss2 4054 . . . . 5 (ran 𝐹 = 𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
653ad2ant3 1134 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7 simp2 1136 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8 fipreima 9395 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ⊆ ran 𝐹𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
92, 6, 7, 8syl3anc 1370 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
10 elinel2 4211 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1110adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12 finnum 9985 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
15 fofun 6821 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴onto𝐵 → Fun 𝐹)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17 elinel1 4210 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1817elpwid 4613 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
20 fof 6820 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21 fdm 6745 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2214, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
2319, 22sseqtrrd 4036 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24 fores 6830 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
2516, 23, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
26 fodomnum 10094 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥))
2713, 25, 26sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥)
28 simpl1 1190 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
29 ssdomg 9038 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
3028, 19, 29sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
31 domtr 9045 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ≼ 𝑥𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
3227, 30, 31syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
33 breq1 5150 . . . 4 ((𝐹𝑥) = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐴𝐵𝐴))
3432, 33syl5ibcom 245 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
3534rexlimdva 3152 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
369, 35mpd 15 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  ontowfo 6560  cdom 8981  Fincfn 8983  cardccrd 9972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987  df-card 9976  df-acn 9979
This theorem is referenced by:  wdomfil  10098
  Copyright terms: Public domain W3C validator