MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fodomfi2 9674
Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomfi2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fofn 6635 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
213ad2ant3 1137 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 forn 6636 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4 eqimss2 3958 . . . . 5 (ran 𝐹 = 𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐵 ⊆ ran 𝐹)
653ad2ant3 1137 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7 simp2 1139 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8 fipreima 8982 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ⊆ ran 𝐹𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
92, 6, 7, 8syl3anc 1373 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵)
10 elinel2 4110 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1110adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12 finnum 9564 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14 simpl3 1195 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
15 fofun 6634 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴onto𝐵 → Fun 𝐹)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17 elinel1 4109 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1817elpwid 4524 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
1918adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
20 fof 6633 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21 fdm 6554 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
2214, 20, 213syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
2319, 22sseqtrrd 3942 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24 fores 6643 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
2516, 23, 24syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥))
26 fodomnum 9671 . . . . . 6 (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹𝑥):𝑥onto→(𝐹𝑥) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥))
2713, 25, 26sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝑥)
28 simpl1 1193 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴𝑉)
29 ssdomg 8674 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
3028, 19, 29sylc 65 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
31 domtr 8681 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ≼ 𝑥𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
3227, 30, 31syl2anc 587 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑥) ≼ 𝐴)
33 breq1 5056 . . . 4 ((𝐹𝑥) = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ≼ 𝐴𝐵𝐴))
3432, 33syl5ibcom 248 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
3534rexlimdva 3203 . 2 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹𝑥) = 𝐵𝐵𝐴))
369, 35mpd 15 1 ((𝐴𝑉𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴onto𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  cima 5554  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  wf 6376  ontowfo 6378  cdom 8624  Fincfn 8626  cardccrd 9551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-fin 8630  df-card 9555  df-acn 9558
This theorem is referenced by:  wdomfil  9675
  Copyright terms: Public domain W3C validator