Theorem fodomfi2 9886

Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6725	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		forn 6726	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4		eqimss2 3987	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
6	5	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		fipreima 9193	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
10		elinel2 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12		finnum 9774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
15		fofun 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17		elinel1 4139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20		fof 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
21		fdm 6644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
22	14, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
23	19, 22	sseqtrrd 3971	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24		fores 6733	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
26		fodomnum 9883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥))
27	13, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥)
28		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
29		ssdomg 8836	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
30	28, 19, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
31		domtr 8843	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
33		breq1 5088	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → ((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
34	32, 33	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
35	34	rexlimdva 3149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3071   ∩ cin 3895   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4543   class class class wbr 5085  dom cdm 5605  ran crn 5606   ↾ cres 5607   “ cima 5608  Fun wfun 6457   Fn wfn 6458  ⟶wf 6459  –onto→wfo 6461   ≼ cdom 8777  Fincfn 8779  cardccrd 9761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-se 5561  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-isom 6472  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-fin 8783  df-card 9765  df-acn 9768

This theorem is referenced by:  wdomfil  9887