Theorem fodomfi2 10016

Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6780	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		forn 6781	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4		eqimss2 3995	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
6	5	3ad2ant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7		simp2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		fipreima 9301	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
10		elinel2 4154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
11	10	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12		finnum 9906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14		simpl3 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
15		fofun 6779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17		elinel1 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19	18	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20		fof 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
21		fdm 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
22	14, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
23	19, 22	sseqtrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24		fores 6788	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
25	16, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
26		fodomnum 10013	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥))
27	13, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥)
28		simpl1 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
29		ssdomg 8981	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
30	28, 19, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
31		domtr 8988	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
32	27, 30, 31	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
33		breq1 5103	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → ((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
34	32, 33	syl5ibcom 247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
35	34	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3086   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4555   class class class wbr 5100  dom cdm 5647  ran crn 5648   ↾ cres 5649   “ cima 5650  Fun wfun 6515   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  –onto→wfo 6519   ≼ cdom 8925  Fincfn 8927  cardccrd 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-fin 8931  df-card 9897  df-acn 9900

This theorem is referenced by:  wdomfil  10017