Theorem fodomfi2 9954

Description: Onto functions define dominance when a finite number of choices need to be made. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fodomfi2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Proof of Theorem fodomfi2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fofn 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		forn 6739	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4		eqimss2 3995	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 = 𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
6	5	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ⊆ ran 𝐹)
7		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
8		fipreima 9248	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ ran 𝐹 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵)
10		elinel2 4153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
11	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
12		finnum 9844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ dom card)
14		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵)
15		fofun 6737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → Fun 𝐹)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
17		elinel1 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
18	17	elpwid 4560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
20		fof 6736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
21		fdm 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
22	14, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
23	19, 22	sseqtrrd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
24		fores 6746	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥))
26		fodomnum 9951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → ((𝐹 ↾ 𝑥):𝑥–onto→(𝐹 “ 𝑥) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥))
27	13, 25, 26	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥)
28		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
29		ssdomg 8925	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ≼ 𝐴))
30	28, 19, 29	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ≼ 𝐴)
31		domtr 8932	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝑥 ∧ 𝑥 ≼ 𝐴) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
32	27, 30, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴)
33		breq1 5095	. . . 4 ⊢ ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → ((𝐹 “ 𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝐴))
34	32, 33	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
35	34	rexlimdva 3130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝐹 “ 𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ≼ 𝐴))
36	9, 35	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) → 𝐵 ≼ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  –onto→wfo 6480   ≼ cdom 8870  Fincfn 8872  cardccrd 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-fin 8876  df-card 9835  df-acn 9838

This theorem is referenced by:  wdomfil  9955