Theorem fovcdmda 7586

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdm 7585	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3expb 1138	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   × cxp 5653  ⟶wf 6529  (class class class)co 7414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417

This theorem is used by:  eroprf  8816  yonedalem3  18369  yonedainv  18370  gass  19429  gsumxp2  20108  mamulid  22664  mamurid  22665  maducoeval2  22863  madutpos  22865  madugsum  22866  madurid  22867  isxmet2d  24554  prdsxmetlem  24595  rrxds  25622  ofrn  33113  fedgmullem2  34141  metideq  34404  sibfof  34852  ofoacl  44199  naddcnfcl  44207