Theorem fovcdmda 7581

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmda	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdm 7580	. . 3 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
3	1, 2	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
4	3	3expb 1138	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   × cxp 5659  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is referenced by:  eroprf  8809  yonedalem3  18331  yonedainv  18332  gass  19366  gsumxp2  20045  mamulid  22598  mamurid  22599  maducoeval2  22797  madutpos  22799  madugsum  22800  madurid  22801  isxmet2d  24484  prdsxmetlem  24525  rrxds  25552  ofrn  32984  fedgmullem2  34020  metideq  34283  sibfof  34730  ofoacl  44104  naddcnfcl  44112