MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxds 23519
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Compare with df-rrn 34112. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxds (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23513 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6415 . 2 (𝐼𝑉 → (dist‘𝐻) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 recrng 20290 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
5 srngring 19170 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
7 eqid 2799 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
87frlmlmod 20418 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
96, 8mpan 682 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
10 lmodgrp 19188 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
11 eqid 2799 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 eqid 2799 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
13 eqid 2799 . . . 4 (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1411, 12, 13tcphds 23357 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
159, 10, 143syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2799 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 13grpsubf 17810 . . . . . . 7 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
189, 10, 173syl 18 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19 rrxbase.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐻)
201, 19rrxbase 23514 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝐵 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
21 rebase 20275 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
22 re0g 20281 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℝfld)
23 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
247, 21, 22, 23frlmbas 20424 . . . . . . . . . 10 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
256, 24mpan 682 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2620, 25eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2726sqxpeqd 5344 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2827, 26feq23d 6251 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2918, 28mpbird 249 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
3029fovrnda 7039 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) ∈ 𝐵)
3129ffnd 6257 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
32 fnov 7002 . . . . 5 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
3331, 32sylib 210 . . . 4 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
341, 19rrxnm 23517 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
352fveq2d 6415 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
3634, 35eqtr2d 2834 . . . 4 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))))
37 fveq1 6410 . . . . . . . 8 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥) = ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥))
3837oveq1d 6893 . . . . . . 7 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → ((𝑥)↑2) = (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))
3938mpteq2dv 4938 . . . . . 6 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))
4039oveq2d 6894 . . . . 5 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))
4140fveq2d 6415 . . . 4 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))))
4230, 33, 36, 41fmpt2co 7497 . . 3 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))))
43 simp1 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼𝑉)
44 simprl 788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
4526adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4644, 45eleqtrd 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
47463impb 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
487, 21, 16frlmbasmap 20428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4943, 47, 48syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
50 elmapi 8117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5251ffnd 6257 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 Fn 𝐼)
53 simprr 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5453, 45eleqtrd 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
55543impb 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
567, 21, 16frlmbasmap 20428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5743, 55, 56syl2anc 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
58 elmapi 8117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
6059ffnd 6257 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 Fn 𝐼)
61 inidm 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
62 eqidd 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
63 eqidd 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6452, 60, 43, 43, 61, 62, 63offval 7138 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
656a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ℝfld ∈ Ring)
66 simpl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑉)
67 eqid 2799 . . . . . . . . . . . 12 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
687, 16, 65, 66, 46, 54, 67, 13frlmsubgval 20433 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
69683impb 1144 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
7051ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7159ffvelrnda 6585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7267resubgval 20278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7370, 71, 72syl2anc 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7473mpteq2dva 4937 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
7564, 69, 743eqtr4d 2843 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))))
7670, 71resubcld 10750 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7775, 76fvmpt2d 6518 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)))
7877oveq1d 6893 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2) = (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
7978mpteq2dva 4937 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
8079oveq2d 6894 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))
8180fveq2d 6415 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
8281mpt2eq3dva 6953 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
8342, 82eqtrd 2833 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
843, 15, 833eqtr2rd 2840 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  ccom 5316   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  𝑓 cof 7129  𝑚 cmap 8095   finSupp cfsupp 8517  cr 10223  0cc0 10224  cmin 10556  2c2 11368  cexp 13114  csqrt 14314  Basecbs 16184  distcds 16276   Σg cgsu 16416  Grpcgrp 17738  -gcsg 17740  Ringcrg 18863  *-Ringcsr 19162  LModclmod 19181  fldcrefld 20273   freeLMod cfrlm 20415  normcnm 22709  toℂPreHilctcph 23294  ℝ^crrx 23509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-rnghom 19033  df-drng 19067  df-field 19068  df-subrg 19096  df-staf 19163  df-srng 19164  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-cnfld 20069  df-refld 20274  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-nm 22715  df-tng 22717  df-tcph 23296  df-rrx 23511
This theorem is referenced by:  rrxmval  23527  rrxmfval  23528  rrxtopn  41244  rrxdsfi  41248
  Copyright terms: Public domain W3C validator