MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxds 25441
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Compare with df-rrn 37813. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxds (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 25435 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6911 . 2 (𝐼𝑉 → (dist‘𝐻) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 resrng 21657 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
5 srngring 20864 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
7 eqid 2735 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
87frlmlmod 21787 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
96, 8mpan 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
10 lmodgrp 20882 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
11 eqid 2735 . . . 4 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 eqid 2735 . . . 4 (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
13 eqid 2735 . . . 4 (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1411, 12, 13tcphds 25279 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
159, 10, 143syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 13grpsubf 19050 . . . . . . 7 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
189, 10, 173syl 18 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19 rrxbase.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐻)
201, 19rrxbase 25436 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝐵 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0})
21 rebase 21642 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
22 re0g 21648 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℝfld)
23 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
247, 21, 22, 23frlmbas 21793 . . . . . . . . . 10 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
256, 24mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2620, 25eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2726sqxpeqd 5721 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2827, 26feq23d 6732 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2918, 28mpbird 257 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
3029fovcdmda 7604 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) ∈ 𝐵)
3129ffnd 6738 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
32 fnov 7564 . . . . 5 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
3331, 32sylib 218 . . . 4 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
341, 19rrxnm 25439 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
352fveq2d 6911 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
3634, 35eqtr2d 2776 . . . 4 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))))
37 fveq1 6906 . . . . . . . 8 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥) = ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥))
3837oveq1d 7446 . . . . . . 7 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → ((𝑥)↑2) = (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))
3938mpteq2dv 5250 . . . . . 6 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))
4039oveq2d 7447 . . . . 5 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))
4140fveq2d 6911 . . . 4 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))))
4230, 33, 36, 41fmpoco 8119 . . 3 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))))
43 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼𝑉)
44 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
4526adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4644, 45eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
47463impb 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
487, 21, 16frlmbasmap 21797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4943, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
50 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5251ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 Fn 𝐼)
53 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5453, 45eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
55543impb 1114 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
567, 21, 16frlmbasmap 21797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
5743, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
58 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
6059ffnd 6738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 Fn 𝐼)
61 inidm 4235 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
62 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
63 eqidd 2736 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6452, 60, 43, 43, 61, 62, 63offval 7706 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓f (-g‘ℝfld)𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
656a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ℝfld ∈ Ring)
66 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑉)
67 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
687, 16, 65, 66, 46, 54, 67, 13frlmsubgval 21803 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓f (-g‘ℝfld)𝑔))
69683impb 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓f (-g‘ℝfld)𝑔))
7051ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7159ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7267resubgval 21645 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7370, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7473mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
7564, 69, 743eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))))
7670, 71resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
7775, 76fvmpt2d 7029 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)))
7877oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2) = (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
7978mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
8079oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))
8180fveq2d 6911 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
8281mpoeq3dva 7510 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
8342, 82eqtrd 2775 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
843, 15, 833eqtr2rd 2782 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  cr 11152  0cc0 11153  cmin 11490  2c2 12319  cexp 14099  csqrt 15269  Basecbs 17245  distcds 17307   Σg cgsu 17487  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  *-Ringcsr 20856  LModclmod 20875  fldcrefld 21640   freeLMod cfrlm 21784  normcnm 24605  toℂPreHilctcph 25215  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433
This theorem is referenced by:  rrxmval  25453  rrxmfval  25454  rrxdsfi  25459  rrxtopn  46240
  Copyright terms: Public domain W3C validator