Theorem gsumxp2 19921

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp2.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumxp2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7	6	fovcdmda 7539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8		gsumxp2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9284	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝜑)
11		opelxpi 5669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
12	11	ad2antlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
14	12, 13	eldifd 3914	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15		ssidd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
16	4, 5	xpexd 7706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
17	2	fvexi 6856	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	6, 15, 16, 18	suppssr 8147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
20	10, 14, 19	syl2an2r 686	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22		df-br 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	22	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24		df-ov 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
25	24	eqeq1i 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
26	21, 23, 25	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
27	26	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
28	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27	gsumcom3 19919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
29	28	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   supp csupp 8112   finSupp cfsupp 9276  Basecbs 17148  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  CMndccmn 19721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723

This theorem is referenced by: (None)