Theorem gsumxp2 20012

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp2.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumxp2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7	6	fovcdmda 7603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8		gsumxp2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝜑)
11		opelxpi 5725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
12	11	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
14	12, 13	eldifd 3973	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15		ssidd 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
16	4, 5	xpexd 7769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
17	2	fvexi 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	6, 15, 16, 18	suppssr 8218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
20	10, 14, 19	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22		df-br 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	22	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24		df-ov 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
25	24	eqeq1i 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
26	21, 23, 25	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
27	26	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
28	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27	gsumcom3 20010	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
29	28	eqcomd 2740	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  CMndccmn 19812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814

This theorem is referenced by: (None)