MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumxp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumxp2 19765
Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumxp2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z 0 = (0g𝐺)
gsumxp2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumxp2.r (𝜑𝐶𝑊)
gsumxp2.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumxp2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2
StepHypRef Expression
1 gsumxp2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumxp2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumxp2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsumxp2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
5 gsumxp2.r . . 3 (𝜑𝐶𝑊)
6 gsumxp2.f . . . 4 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
76fovcdmda 7529 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8 gsumxp2.w . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
98fsuppimpd 9319 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → 𝜑)
11 opelxpi 5674 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝐴𝑘𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
1211ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
1412, 13eldifd 3925 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15 ssidd 3971 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
164, 5xpexd 7689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
172fvexi 6860 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑0 ∈ V)
196, 15, 16, 18suppssr 8131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
2010, 14, 19syl2an2r 684 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
2120ex 414 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22 df-br 5110 . . . . . 6 (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
2322notbii 320 . . . . 5 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24 df-ov 7364 . . . . . 6 (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
2524eqeq1i 2738 . . . . 5 ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
2621, 23, 253imtr4g 296 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
2726impr 456 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑗𝐴𝑘𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
281, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27gsumcom3 19763 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
2928eqcomd 2739 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cdif 3911  cop 4596   class class class wbr 5109  cmpt 5192   × cxp 5635  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Σg cgsu 17330  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator