Theorem gsumxp2 19887

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp2.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumxp2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7	6	fovcdmda 7512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8		gsumxp2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝜑)
11		opelxpi 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
12	11	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
14	12, 13	eldifd 3908	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15		ssidd 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
16	4, 5	xpexd 7679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
17	2	fvexi 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	6, 15, 16, 18	suppssr 8120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
20	10, 14, 19	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
21	20	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22		df-br 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	22	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24		df-ov 7344	. . . . . 6 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
25	24	eqeq1i 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
26	21, 23, 25	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
27	26	impr 454	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
28	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27	gsumcom3 19885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
29	28	eqcomd 2737	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894  ⟨cop 4577   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5609  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   supp csupp 8085   finSupp cfsupp 9240  Basecbs 17115  0_gc0g 17338   Σ_g cgsu 17339  CMndccmn 19687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689

This theorem is referenced by: (None)