Theorem gsumxp2 19676

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp2.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumxp2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7	6	fovcdmda 7510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8		gsumxp2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝜑)
11		opelxpi 5662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
12	11	ad2antlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
14	12, 13	eldifd 3913	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15		ssidd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
16	4, 5	xpexd 7668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
17	2	fvexi 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	6, 15, 16, 18	suppssr 8087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
20	10, 14, 19	syl2an2r 683	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
21	20	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22		df-br 5098	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	22	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24		df-ov 7345	. . . . . 6 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
25	24	eqeq1i 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
26	21, 23, 25	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
27	26	impr 456	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
28	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27	gsumcom3 19674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
29	28	eqcomd 2743	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3442   ∖ cdif 3899  ⟨cop 4584   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180   × cxp 5623  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342   supp csupp 8052   finSupp cfsupp 9231  Basecbs 17010  0_gc0g 17248   Σ_g cgsu 17249  CMndccmn 19482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484

This theorem is referenced by: (None)