Theorem gsumxp2 20094

Description: Write a group sum over a cartesian product as a double sum in two ways. This corresponds to the first equation in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumxp2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumxp2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumxp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumxp2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumxp2.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
gsumxp2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
gsumxp2.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumxp2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗,𝑘   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐺,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   0 ,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)

Proof of Theorem gsumxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumxp2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumxp2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumxp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		gsumxp2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		gsumxp2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑊)
6		gsumxp2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7	6	fovcdmda 7591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (𝑗𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
8		gsumxp2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → 𝜑)
11		opelxpi 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
12	11	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐴 × 𝐶))
13		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
14	12, 13	eldifd 3917	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 )))
15		ssidd 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
16	4, 5	xpexd 7756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐶) ∈ V)
17	2	fvexi 6899	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
19	6, 15, 16, 18	suppssr 8197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ ((𝐴 × 𝐶) ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
20	10, 14, 19	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) ∧ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 )) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
21	20	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ) → (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 ))
22		df-br 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
23	22	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 ↔ ¬ ⟨𝑗, 𝑘⟩ ∈ (𝐹 supp 0 ))
24		df-ov 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑗𝐹𝑘) = (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩)
25	24	eqeq1i 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑗𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹‘⟨𝑗, 𝑘⟩) = 0 )
26	21, 23, 25	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶)) → (¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘 → (𝑗𝐹𝑘) = 0 ))
27	26	impr 460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ∧ ¬ 𝑗(𝐹 supp 0 )𝑘)) → (𝑗𝐹𝑘) = 0 )
28	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 27	gsumcom3 20092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))
29	28	eqcomd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))) = (𝐺 Σg (𝑗 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   supp csupp 8162   finSupp cfsupp 9328  Basecbs 17291  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  CMndccmn 19894

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896

This theorem is used by: (None)