Theorem ofoacl 43939

Description: Closure law for component wise addition of ordinal-yielding functions. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ofoacl	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹 ∘f +o 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem ofoacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7564	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴)) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) = (𝐹 ∘f +o 𝐺))
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) = (𝐹 ∘f +o 𝐺))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		inidm 4180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2770	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴))
7	3, 3, 6	3jca 1142	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)))
8		ofoaf 43937	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) → ( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))):((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))⟶(𝐶 ↑m 𝐴))
9	7, 8	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) → ( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))):((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))⟶(𝐶 ↑m 𝐴))
10	9	fovcdmda 7569	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))
11	2, 10	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹 ∘f +o 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905   × cxp 5647   ↾ cres 5651  Oncon0 6348  ⟶wf 6519  (class class class)co 7398   ∘_f cof 7660  ωcom 7848   +_o coa 8436   ↑_o coe 8438   ↑_m cmap 8810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-oexp 8445  df-map 8812

This theorem is referenced by: (None)