Theorem ofoacl 43666

Description: Closure law for component wise addition of ordinal-yielding functions. (Contributed by RP, 5-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ofoacl	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹 ∘f +o 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem ofoacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovres 7526	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴)) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) = (𝐹 ∘f +o 𝐺))
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) = (𝐹 ∘f +o 𝐺))
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		inidm 4180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴))
7	3, 3, 6	3jca 1129	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)))
8		ofoaf 43664	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐴)) ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) → ( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))):((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))⟶(𝐶 ↑m 𝐴))
9	7, 8	sylan 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) → ( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))):((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴))⟶(𝐶 ↑m 𝐴))
10	9	fovcdmda 7531	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹( ∘f +o ↾ ((𝐶 ↑m 𝐴) × (𝐶 ↑m 𝐴)))𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))
11	2, 10	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 = (ω ↑o 𝐵))) ∧ (𝐹 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴) ∧ 𝐺 ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))) → (𝐹 ∘f +o 𝐺) ∈ (𝐶 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901   × cxp 5623   ↾ cres 5627  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ωcom 7810   +_o coa 8396   ↑_o coe 8398   ↑_m cmap 8767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-oexp 8405  df-map 8769

This theorem is referenced by: (None)