MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmetlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmetlem 23866
Description: The product metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsdsf.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsdsf.i (𝜑𝐼𝑋)
prdsdsf.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsdsf.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsxmetlem (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmetlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
21fvexi 6903 . . 3 𝐵 ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑𝐵 ∈ V)
4 prdsdsf.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
5 prdsdsf.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
6 prdsdsf.e . . . 4 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
7 prdsdsf.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑌)
8 prdsdsf.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑊)
9 prdsdsf.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑋)
10 prdsdsf.r . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
11 prdsdsf.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
124, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11prdsdsf 23865 . . 3 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
13 iccssxr 13404 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
14 fss 6732 . . 3 ((𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
1512, 13, 14sylancl 587 . 2 (𝜑𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶ℝ*)
1612fovcdmda 7575 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞))
17 elxrge0 13431 . . . 4 ((𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑓𝐷𝑔) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔)))
1817simprbi 498 . . 3 ((𝑓𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔))
1916, 18syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ≤ (𝑓𝐷𝑔))
208adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑆𝑊)
219adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑋)
2210ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
2322adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
24 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
25 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
264, 1, 20, 21, 23, 24, 25, 5, 6, 7prdsdsval3 17428 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
2726breq1d 5158 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((𝑓𝐷𝑔) ≤ 0 ↔ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ 0))
2811adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
294, 1, 20, 21, 23, 5, 24prdsbascl 17426 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
3029r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
314, 1, 20, 21, 23, 5, 25prdsbascl 17426 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
3231r19.21bi 3249 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
33 xmetcl 23829 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
3428, 30, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
3534fmpttd 7112 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ*)
3635frnd 6723 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ*)
37 0xr 11258 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
3837a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 0 ∈ ℝ*)
3938snssd 4812 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → {0} ⊆ ℝ*)
4036, 39unssd 4186 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
41 supxrleub 13302 . . . 4 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0))
4240, 37, 41sylancl 587 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0))
43 0le0 12310 . . . . . . 7 0 ≤ 0
44 c0ex 11205 . . . . . . . 8 0 ∈ V
45 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0))
4644, 45ralsn 4685 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ 0 ↔ 0 ≤ 0)
4743, 46mpbir 230 . . . . . 6 𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ 0
48 ralunb 4191 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0 ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ 0 ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ 0))
4947, 48mpbiran2 709 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ 0)
50 ovex 7439 . . . . . . 7 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V
5150rgenw 3066 . . . . . 6 𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V
52 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
53 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) → (𝑧 ≤ 0 ↔ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0))
5452, 53ralrnmptw 7093 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ 0 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0))
5551, 54ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ 0 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0)
5649, 55bitri 275 . . . 4 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0 ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0)
57 xmetge0 23842 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
5828, 30, 32, 57syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
5958biantrud 533 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ↔ (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))))
60 xrletri3 13130 . . . . . . . 8 ((((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) = 0 ↔ (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))))
6134, 37, 60sylancl 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) = 0 ↔ (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))))
62 xmeteq0 23836 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
6328, 30, 32, 62syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
6459, 61, 633bitr2d 307 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ↔ (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
6564ralbidva 3176 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
66 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
6766fnmpt 6688 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑍 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
6822, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
6968adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
704, 1, 20, 21, 69, 24prdsbasfn 17414 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 Fn 𝐼)
714, 1, 20, 21, 69, 25prdsbasfn 17414 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 Fn 𝐼)
72 eqfnfv 7030 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼𝑔 Fn 𝐼) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
7370, 71, 72syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = (𝑔𝑥)))
7465, 73bitr4d 282 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ 0 ↔ 𝑓 = 𝑔))
7556, 74bitrid 283 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ 0 ↔ 𝑓 = 𝑔))
7627, 42, 753bitrd 305 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ((𝑓𝐷𝑔) ≤ 0 ↔ 𝑓 = 𝑔))
77263adantr3 1172 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
78773adant3 1133 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝑓𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
79113ad2antl1 1186 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
80293adantr3 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
81803adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
8281r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑉)
83313adantr3 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
84833adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
8584r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)
8679, 82, 85, 33syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
8783ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝑆𝑊)
8893ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝐼𝑋)
89223ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑍)
90 simp23 1209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝐵)
914, 1, 87, 88, 89, 5, 90prdsbascl 17426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 (𝑥) ∈ 𝑉)
9291r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) ∈ 𝑉)
93 xmetcl 23829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
9479, 92, 82, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ*)
95 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑓) ∈ ℝ)
9695adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐷𝑓) ∈ ℝ)
97 xmetge0 23842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))
9879, 92, 82, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))
9994fmpttd 7112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))):𝐼⟶ℝ*)
10099frnd 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ ℝ*)
10137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 0 ∈ ℝ*)
102101snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → {0} ⊆ ℝ*)
103100, 102unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
104 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})
105 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ V
106105elabrex 7239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
107106adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))})
108 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)))
109108rnmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))}
110107, 109eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))))
111104, 110sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}))
112 supxrub 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0})) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
113103, 111, 112syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
114 simp21 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝑓𝐵)
1154, 1, 87, 88, 89, 90, 114, 5, 6, 7prdsdsval3 17428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐷𝑓) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
117113, 116breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝐷𝑓))
118 xrrege0 13150 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑓) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∧ ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ≤ (𝐷𝑓))) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
11994, 96, 98, 117, 118syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
120 xmetcl 23829 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
12179, 92, 85, 120syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
122 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑔) ∈ ℝ)
123122adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐷𝑔) ∈ ℝ)
124 xmetge0 23842 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ (𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉) → 0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
12579, 92, 85, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
126121fmpttd 7112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))):𝐼⟶ℝ*)
127126frnd 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ ℝ*)
128127, 102unssd 4186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
129 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ⊆ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})
130 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ V
131130elabrex 7239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))})
132131adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))})
133 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
134133rnmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑧 = ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))}
135132, 134eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))
136129, 135sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}))
137 supxrub 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
138128, 136, 137syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
139 simp22 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝑔𝐵)
1404, 1, 87, 88, 89, 90, 139, 5, 6, 7prdsdsval3 17428 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
141140adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐷𝑔) = sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
142138, 141breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝐷𝑔))
143 xrrege0 13150 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∧ ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (𝐷𝑔))) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
144121, 123, 125, 142, 143syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
145119, 144readdcld 11240 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ ℝ)
14679, 82, 85, 57syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))
147 xmettri2 23838 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ ((𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝑉 ∧ (𝑔𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) +𝑒 ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))
14879, 92, 82, 85, 147syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) +𝑒 ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))
149119, 144rexaddd 13210 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) +𝑒 ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) = (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))
150148, 149breqtrd 5174 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))
151 xrrege0 13150 . . . . . . . . 9 (((((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∧ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))))) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
15286, 145, 146, 150, 151syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
153 readdcl 11190 . . . . . . . . . 10 (((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ) → ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∈ ℝ)
1541533ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∈ ℝ)
155154adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∈ ℝ)
156119, 144, 96, 123, 117, 142le2addd 11830 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑥)𝐸(𝑓𝑥)) + ((𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
157152, 145, 155, 150, 156letrd 11368 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
158157ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
15986ralrimiva 3147 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ*)
160 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) → (𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
16152, 160ralrnmptw 7093 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ∈ ℝ* → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
162159, 161syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
163158, 162mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
164123ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 𝐷:(𝐵 × 𝐵)⟶(0[,]+∞))
165164, 90, 114fovcdmd 7576 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑓) ∈ (0[,]+∞))
166 elxrge0 13431 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑓) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐷𝑓)))
167166simprbi 498 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑓) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐷𝑓))
168165, 167syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 0 ≤ (𝐷𝑓))
169164, 90, 139fovcdmd 7576 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞))
170 elxrge0 13431 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐷𝑔) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐷𝑔)))
171170simprbi 498 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑔) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐷𝑔))
172169, 171syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 0 ≤ (𝐷𝑔))
17395, 122, 168, 172addge0d 11787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
174 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = 0 → (𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ 0 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
17544, 174ralsn 4685 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ 0 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
176173, 175sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
177 ralunb 4191 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥)))𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
178163, 176, 177sylanbrc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
179403adantr3 1172 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
1801793adant3 1133 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
181154rexrd 11261 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∈ ℝ*)
182 supxrleub 13302 . . . . 5 (((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
183180, 181, 182syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0})𝑧 ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔))))
184178, 183mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → sup((ran (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)𝐸(𝑔𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
18578, 184eqbrtrd 5170 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵𝐵) ∧ ((𝐷𝑓) ∈ ℝ ∧ (𝐷𝑔) ∈ ℝ)) → (𝑓𝐷𝑔) ≤ ((𝐷𝑓) + (𝐷𝑔)))
1863, 15, 19, 76, 185isxmet2d 23825 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  cun 3946  wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  ran crn 5677  cres 5678   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  supcsup 9432  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246   +𝑒 cxad 13087  [,]cicc 13324  Basecbs 17141  distcds 17203  Xscprds 17388  ∞Metcxmet 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-xmet 20930
This theorem is referenced by:  prdsxmet  23867
  Copyright terms: Public domain W3C validator