MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madutpos 21991
Description: The adjuct of a transposed matrix is the transposition of the adjunct of the matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
madutpos ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))

Proof of Theorem madutpos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
21tposmpo 8194 . . . . . . . 8 tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
3 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎)))
5 ancom 461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏))
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏)))
76ifbid 4509 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)))
8 ovtpos 8172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐tpos 𝑀𝑑) = (𝑑𝑀𝑐)
98eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑))
114, 7, 10ifbieq12d 4514 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) = if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))
1211mpoeq3dv 7436 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
132, 12eqtrid 2788 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
1413fveq2d 6846 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
15 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16 maduf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 maduf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
1916, 18matrcl 21759 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2019simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
22 simp1ll 1236 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
23 crngring 19976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2517, 24ringidcl 19989 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2717, 26ring0cl 19990 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2825, 27ifcld 4532 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2922, 23, 283syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3016, 17, 18matbas2i 21771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐵𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3433fovcdmda 7525 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35343impb 1115 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
3629, 35ifcld 4532 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) ∈ (Base‘𝑅))
3716, 17, 18, 21, 15, 36matbas2d 21772 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵)
38 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
3938, 16, 18mdettpos 21960 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4015, 37, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4114, 40eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4216, 18mattposcl 21802 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
4342adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos 𝑀𝐵)
4443adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos 𝑀𝐵)
45 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
46 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
47 maduf.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4816, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 21989 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ tpos 𝑀𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
4915, 44, 45, 46, 48syl211anc 1376 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
50 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀𝐵)
5116, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 21989 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑏𝑁𝑎𝑁) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5215, 50, 46, 45, 51syl211anc 1376 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5341, 49, 523eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎))
54 ovtpos 8172 . . . 4 (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎)
5553, 54eqtr4di 2794 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5655ralrimivva 3197 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5716, 47, 18maduf 21990 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
5857adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐽:𝐵𝐵)
5958, 43ffvelcdmd 7036 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵)
6016, 17, 18matbas2i 21771 . . . . 5 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
62 elmapi 8787 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
63 ffn 6668 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6461, 62, 633syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6557ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6616, 18mattposcl 21802 . . . . 5 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6716, 17, 18matbas2i 21771 . . . . 5 (tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
69 elmapi 8787 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
70 ffn 6668 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
7168, 69, 703syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
72 eqfnov2 7486 . . 3 (((𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7364, 71, 72syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7456, 73mpbird 256 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486   × cxp 5631   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  tpos ctpos 8156  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  0gc0g 17321  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933   maAdju cmadu 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-madu 21983
This theorem is referenced by:  madulid  21994
  Copyright terms: Public domain W3C validator