MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madutpos 22564
Description: The adjuct of a transposed matrix is the transposition of the adjunct of the matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
madutpos ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))

Proof of Theorem madutpos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
21tposmpo 8275 . . . . . . . 8 tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
3 orcom 868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎)))
5 ancom 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏))
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏)))
76ifbid 4555 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)))
8 ovtpos 8253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐tpos 𝑀𝑑) = (𝑑𝑀𝑐)
98eqcomi 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑))
114, 7, 10ifbieq12d 4560 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) = if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))
1211mpoeq3dv 7505 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
132, 12eqtrid 2780 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
1413fveq2d 6906 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
15 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16 maduf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 maduf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
1916, 18matrcl 22332 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2019simpld 493 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
2120ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
22 simp1ll 1233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
23 crngring 20192 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2517, 24ringidcl 20209 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2717, 26ring0cl 20210 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2825, 27ifcld 4578 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2922, 23, 283syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3016, 17, 18matbas2i 22344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐵𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3433fovcdmda 7598 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35343impb 1112 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
3629, 35ifcld 4578 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) ∈ (Base‘𝑅))
3716, 17, 18, 21, 15, 36matbas2d 22345 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵)
38 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
3938, 16, 18mdettpos 22533 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4015, 37, 39syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4114, 40eqtr3d 2770 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4216, 18mattposcl 22375 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
4342adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos 𝑀𝐵)
4443adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos 𝑀𝐵)
45 simprl 769 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
46 simprr 771 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
47 maduf.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4816, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 22562 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ tpos 𝑀𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
4915, 44, 45, 46, 48syl211anc 1373 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
50 simplr 767 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀𝐵)
5116, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 22562 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑏𝑁𝑎𝑁) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5215, 50, 46, 45, 51syl211anc 1373 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5341, 49, 523eqtr4d 2778 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎))
54 ovtpos 8253 . . . 4 (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎)
5553, 54eqtr4di 2786 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5655ralrimivva 3198 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5716, 47, 18maduf 22563 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
5857adantr 479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐽:𝐵𝐵)
5958, 43ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵)
6016, 17, 18matbas2i 22344 . . . . 5 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
62 elmapi 8874 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
63 ffn 6727 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6461, 62, 633syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6557ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6616, 18mattposcl 22375 . . . . 5 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6716, 17, 18matbas2i 22344 . . . . 5 (tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
69 elmapi 8874 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
70 ffn 6727 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
7168, 69, 703syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
72 eqfnov2 7557 . . 3 (((𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7364, 71, 72syl2anc 582 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7456, 73mpbird 256 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3058  Vcvv 3473  ifcif 4532   × cxp 5680   Fn wfn 6548  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  tpos ctpos 8237  m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  0gc0g 17428  1rcur 20128  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   Mat cmat 22327   maDet cmdat 22506   maAdju cmadu 22554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-word 14505  df-lsw 14553  df-concat 14561  df-s1 14586  df-substr 14631  df-pfx 14661  df-splice 14740  df-reverse 14749  df-s2 14839  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-symg 19329  df-pmtr 19404  df-psgn 19453  df-evpm 19454  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22328  df-mdet 22507  df-madu 22556
This theorem is referenced by:  madulid  22567
  Copyright terms: Public domain W3C validator