MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madutpos 20728
Description: The adjuct of a transposed matrix is the transposition of the adjunct of the matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
madutpos ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))

Proof of Theorem madutpos
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
21tposmpt2 7594 . . . . . . . 8 tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))
3 orcom 896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎))
43a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏) ↔ (𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎)))
5 ancom 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏))
65a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎) ↔ (𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏)))
76ifbid 4267 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)))
8 ovtpos 7572 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐tpos 𝑀𝑑) = (𝑑𝑀𝑐)
98eqcomi 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑐tpos 𝑀𝑑))
114, 7, 10ifbieq12d 4272 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) = if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))
1211mpt2eq3dv 6921 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
132, 12syl5eq 2811 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑))))
1413fveq2d 6381 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
15 simpll 783 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
16 maduf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
17 eqid 2765 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18 maduf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
1916, 18matrcl 20497 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
2019simpld 488 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
2120ad2antlr 718 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
22 simp1ll 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
23 crngring 18828 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
24 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2517, 24ringidcl 18838 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26 eqid 2765 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
2717, 26ring0cl 18839 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
2825, 27ifcld 4290 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
2922, 23, 283syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
3016, 17, 18matbas2i 20507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
31 elmapi 8084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀𝐵𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3332ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3433fovrnda 7005 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35343impb 1143 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
3629, 35ifcld 4290 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)) ∈ (Base‘𝑅))
3716, 17, 18, 21, 15, 36matbas2d 20508 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵)
38 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑁 maDet 𝑅) = (𝑁 maDet 𝑅)
3938, 16, 18mdettpos 20697 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐))) ∈ 𝐵) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4015, 37, 39syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘tpos (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4114, 40eqtr3d 2801 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
4216, 18mattposcl 20539 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → tpos 𝑀𝐵)
4342adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos 𝑀𝐵)
4443adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → tpos 𝑀𝐵)
45 simprl 787 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑎𝑁)
46 simprr 789 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑏𝑁)
47 maduf.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
4816, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 20726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ tpos 𝑀𝐵) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
4915, 44, 45, 46, 48syl211anc 1495 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑐𝑁, 𝑑𝑁 ↦ if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑐tpos 𝑀𝑑)))))
50 simplr 785 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → 𝑀𝐵)
5116, 38, 47, 18, 24, 26maducoeval2 20726 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑏𝑁𝑎𝑁) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5215, 50, 46, 45, 51syl211anc 1495 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑏(𝐽𝑀)𝑎) = ((𝑁 maDet 𝑅)‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if((𝑑 = 𝑎𝑐 = 𝑏), if((𝑐 = 𝑏𝑑 = 𝑎), (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑑𝑀𝑐)))))
5341, 49, 523eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎))
54 ovtpos 7572 . . . 4 (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏) = (𝑏(𝐽𝑀)𝑎)
5553, 54syl6eqr 2817 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5655ralrimivva 3118 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏))
5716, 47, 18maduf 20727 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
5857adantr 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝐽:𝐵𝐵)
5958, 43ffvelrnd 6552 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵)
6016, 17, 18matbas2i 20507 . . . . 5 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
6159, 60syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
62 elmapi 8084 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
63 ffn 6225 . . . 4 ((𝐽‘tpos 𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6461, 62, 633syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
6557ffvelrnda 6551 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6616, 18mattposcl 20539 . . . . 5 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
6716, 17, 18matbas2i 20507 . . . . 5 (tpos (𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
69 elmapi 8084 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
70 ffn 6225 . . . 4 (tpos (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
7168, 69, 703syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁))
72 eqfnov2 6967 . . 3 (((𝐽‘tpos 𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁) ∧ tpos (𝐽𝑀) Fn (𝑁 × 𝑁)) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7364, 71, 72syl2anc 579 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ((𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀) ↔ ∀𝑎𝑁𝑏𝑁 (𝑎(𝐽‘tpos 𝑀)𝑏) = (𝑎tpos (𝐽𝑀)𝑏)))
7456, 73mpbird 248 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐽‘tpos 𝑀) = tpos (𝐽𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  ifcif 4245   × cxp 5277   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6844  cmpt2 6846  tpos ctpos 7556  𝑚 cmap 8062  Fincfn 8162  Basecbs 16133  0gc0g 16369  1rcur 18771  Ringcrg 18817  CRingccrg 18818   Mat cmat 20492   maDet cmdat 20670   maAdju cmadu 20718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-ot 4345  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-tpos 7557  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-sup 8557  df-oi 8624  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-xnn0 11613  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-rp 12032  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-seq 13012  df-exp 13071  df-hash 13325  df-word 13490  df-lsw 13537  df-concat 13545  df-s1 13570  df-substr 13620  df-pfx 13665  df-splice 13768  df-reverse 13786  df-s2 13880  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-prds 16377  df-pws 16379  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-mhm 17604  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-mulg 17811  df-subg 17858  df-ghm 17925  df-gim 17968  df-cntz 18016  df-oppg 18042  df-symg 18064  df-pmtr 18128  df-psgn 18177  df-evpm 18178  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-cring 18820  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-rnghom 18987  df-drng 19021  df-subrg 19050  df-sra 19449  df-rgmod 19450  df-cnfld 20023  df-zring 20095  df-zrh 20128  df-dsmm 20355  df-frlm 20370  df-mat 20493  df-mdet 20671  df-madu 20720
This theorem is referenced by:  madulid  20731
  Copyright terms: Public domain W3C validator