MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madurid 21789
Description: Multiplying a matrix with its adjunct results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madurid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i 1 = (1r𝐴)
madurid.t · = (.r𝐴)
madurid.s = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
madurid ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) 1 ))

Proof of Theorem madurid
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2740 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2740 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpr 485 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
5 madurid.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 madurid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
75, 6matrcl 21555 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
87simpld 495 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
98adantr 481 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
105, 2, 6matbas2i 21567 . . . 4 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1110adantr 481 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12 madurid.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
135, 12, 6maduf 21786 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝐽:𝐵𝐵)
15 simpl 483 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀𝐵)
1614, 15ffvelrnd 6957 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
175, 2, 6matbas2i 21567 . . . 4 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
191, 2, 3, 4, 9, 9, 9, 11, 18mamuval 21531 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽𝑀)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))))
205, 1matmulr 21583 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
218, 20sylan 580 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
22 madurid.t . . . 4 · = (.r𝐴)
2321, 22eqtr4di 2798 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = · )
2423oveqd 7286 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽𝑀)) = (𝑀 · (𝐽𝑀)))
25 madurid.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
26 simp1l 1196 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑀𝐵)
27 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
28 elmapi 8618 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
2911, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
30293ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
32 simpl2 1191 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑎𝑁)
33 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3431, 32, 33fovrnd 7436 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1137 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
365, 12, 6, 25, 3, 2, 26, 27, 34, 35madugsum 21788 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏)))) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
37 iftrue 4471 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (𝐷𝑀))
3837adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (𝐷𝑀))
3929ffnd 6598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁))
40 fnov 7397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
4139, 40sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
43 equtr2 2034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑏𝑑 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑑)
4443oveq1d 7284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑏𝑑 = 𝑏) → (𝑎𝑀𝑐) = (𝑑𝑀𝑐))
4544ifeq1da 4496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
46 ifid 4505 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
4745, 46eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
4847adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
4948mpoeq3dv 7346 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
5042, 49eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
5150fveq2d 6773 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷𝑀) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
5238, 51eqtr2d 2781 . . . . . . 7 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
53523ad2antl1 1184 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
54 eqid 2740 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
55 simpl1r 1224 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
5693ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑁 ∈ Fin)
5830ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
59 simpll2 1212 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑎𝑁)
60 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
6158, 59, 60fovrnd 7436 . . . . . . . 8 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
6230adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6362fovrnda 7435 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
64633impb 1114 . . . . . . . 8 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
65 simpl3 1192 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏𝑁)
66 simpl2 1191 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎𝑁)
67 neqne 2953 . . . . . . . . . 10 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏)
6867necomd 3001 . . . . . . . . 9 𝑎 = 𝑏𝑏𝑎)
6968adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏𝑎)
7025, 2, 54, 55, 57, 61, 64, 65, 66, 69mdetralt2 21754 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))) = (0g𝑅))
71 ifid 4505 . . . . . . . . . . 11 if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
72 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑎 → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑 = 𝑎) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
7473ifeq1da 4496 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
7571, 74eqtr3id 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑀𝑐) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
7675ifeq2d 4485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
7776mpoeq3dv 7346 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
7877fveq2d 6773 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))))
79 iffalse 4474 . . . . . . . 8 𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8079adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8170, 78, 803eqtr4d 2790 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8253, 81pm2.61dan 810 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8336, 82eqtrd 2780 . . . 4 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8483mpoeq3dva 7344 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
85 madurid.i . . . . 5 1 = (1r𝐴)
8685oveq2i 7280 . . . 4 ((𝐷𝑀) 1 ) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴))
87 crngring 19791 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8887adantl 482 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
8925, 5, 6, 2mdetf 21740 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
9089adantl 482 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
9190, 15ffvelrnd 6957 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
92 madurid.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐴)
935, 2, 92, 54matsc 21595 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐷𝑀) (1r𝐴)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
949, 88, 91, 93syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷𝑀) (1r𝐴)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
9586, 94eqtrid 2792 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷𝑀) 1 ) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
9684, 95eqtr4d 2783 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))) = ((𝐷𝑀) 1 ))
9719, 24, 963eqtr3d 2788 1 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  Vcvv 3431  ifcif 4465  cotp 4575  cmpt 5162   × cxp 5587   Fn wfn 6426  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  cmpo 7271  m cmap 8596  Fincfn 8714  Basecbs 16908  .rcmulr 16959   ·𝑠 cvsca 16962  0gc0g 17146   Σg cgsu 17147  1rcur 19733  Ringcrg 19779  CRingccrg 19780   maMul cmmul 21528   Mat cmat 21550   maDet cmdat 21729   maAdju cmadu 21777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-addf 10949  ax-mulf 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-rp 12728  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-word 14214  df-lsw 14262  df-concat 14270  df-s1 14297  df-substr 14350  df-pfx 14380  df-splice 14459  df-reverse 14468  df-s2 14557  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-prds 17154  df-pws 17156  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-mhm 18426  df-submnd 18427  df-efmnd 18504  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-mulg 18697  df-subg 18748  df-ghm 18828  df-gim 18871  df-cntz 18919  df-oppg 18946  df-symg 18971  df-pmtr 19046  df-psgn 19095  df-evpm 19096  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-cring 19782  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-dvr 19921  df-rnghom 19955  df-drng 19989  df-subrg 20018  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-sra 20430  df-rgmod 20431  df-cnfld 20594  df-zring 20667  df-zrh 20701  df-dsmm 20935  df-frlm 20950  df-mamu 21529  df-mat 21551  df-mdet 21730  df-madu 21779
This theorem is referenced by:  madulid  21790  matinv  21822  cpmadurid  22012  cpmidgsum2  22024
  Copyright terms: Public domain W3C validator