MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madurid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madurid 20741
Description: Multiplying a matrix with its adjunct results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
madurid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i 1 = (1r𝐴)
madurid.t · = (.r𝐴)
madurid.s = ( ·𝑠𝐴)
Assertion
Ref Expression
madurid ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) 1 ))

Proof of Theorem madurid
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2 eqid 2765 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2765 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4 simpr 477 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
5 madurid.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6 madurid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
75, 6matrcl 20508 . . . . 5 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
87simpld 488 . . . 4 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
98adantr 472 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
105, 2, 6matbas2i 20518 . . . 4 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1110adantr 472 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
12 madurid.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
135, 12, 6maduf 20738 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
1413adantl 473 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝐽:𝐵𝐵)
15 simpl 474 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀𝐵)
1614, 15ffvelrnd 6554 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
175, 2, 6matbas2i 20518 . . . 4 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐽𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
191, 2, 3, 4, 9, 9, 9, 11, 18mamuval 20482 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽𝑀)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))))
205, 1matmulr 20534 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
218, 20sylan 575 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r𝐴))
22 madurid.t . . . 4 · = (.r𝐴)
2321, 22syl6eqr 2817 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = · )
2423oveqd 6863 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽𝑀)) = (𝑀 · (𝐽𝑀)))
25 madurid.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
26 simp1l 1254 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑀𝐵)
27 simp1r 1255 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
28 elmapi 8086 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
2911, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
30293ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
32 simpl2 1244 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑎𝑁)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
3431, 32, 33fovrnd 7008 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1168 . . . . . 6 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
365, 12, 6, 25, 3, 2, 26, 27, 34, 35madugsum 20740 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏)))) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
37 iftrue 4251 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (𝐷𝑀))
3837adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (𝐷𝑀))
3929ffnd 6226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁))
40 fnov 6970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
4139, 40sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
43 equtr2 2124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑏𝑑 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑑)
4443oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑏𝑑 = 𝑏) → (𝑎𝑀𝑐) = (𝑑𝑀𝑐))
4544ifeq1da 4275 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
46 ifid 4284 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
4745, 46syl6eq 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
4847adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
4948mpt2eq3dv 6923 . . . . . . . . . 10 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
5042, 49eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
5150fveq2d 6383 . . . . . . . 8 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷𝑀) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
5238, 51eqtr2d 2800 . . . . . . 7 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
53523ad2antl1 1236 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
54 eqid 2765 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
55 simpl1r 1295 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
5693ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑁 ∈ Fin)
5830ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
59 simpll2 1271 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑎𝑁)
60 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → 𝑐𝑁)
6158, 59, 60fovrnd 7008 . . . . . . . 8 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
6230adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
6362fovrnda 7007 . . . . . . . . 9 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ (𝑑𝑁𝑐𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
64633impb 1143 . . . . . . . 8 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑𝑁𝑐𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
65 simpl3 1246 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏𝑁)
66 simpl2 1244 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎𝑁)
67 df-ne 2938 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝑏 ↔ ¬ 𝑎 = 𝑏)
6867biimpri 219 . . . . . . . . . 10 𝑎 = 𝑏𝑎𝑏)
6968necomd 2992 . . . . . . . . 9 𝑎 = 𝑏𝑏𝑎)
7069adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏𝑎)
7125, 2, 54, 55, 57, 61, 64, 65, 66, 70mdetralt2 20706 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))) = (0g𝑅))
72 ifid 4284 . . . . . . . . . . 11 if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
73 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑎 → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
7473adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑 = 𝑎) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
7574ifeq1da 4275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
7672, 75syl5eqr 2813 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑀𝑐) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
7776ifeq2d 4264 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
7877mpt2eq3dv 6923 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
7978fveq2d 6383 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))))
80 iffalse 4254 . . . . . . . 8 𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8180adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
8271, 79, 813eqtr4d 2809 . . . . . 6 ((((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8353, 82pm2.61dan 847 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝐷‘(𝑑𝑁, 𝑐𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8436, 83eqtrd 2799 . . . 4 (((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅)))
8584mpt2eq3dva 6921 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
86 madurid.i . . . . 5 1 = (1r𝐴)
8786oveq2i 6857 . . . 4 ((𝐷𝑀) 1 ) = ((𝐷𝑀) (1r𝐴))
88 crngring 18839 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8988adantl 473 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
9025, 5, 6, 2mdetf 20692 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
9190adantl 473 . . . . . 6 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
9291, 15ffvelrnd 6554 . . . . 5 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
93 madurid.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝐴)
945, 2, 93, 54matsc 20547 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷𝑀) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐷𝑀) (1r𝐴)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
959, 89, 92, 94syl3anc 1490 . . . 4 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷𝑀) (1r𝐴)) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
9687, 95syl5eq 2811 . . 3 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷𝑀) 1 ) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷𝑀), (0g𝑅))))
9785, 96eqtr4d 2802 . 2 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r𝑅)(𝑐(𝐽𝑀)𝑏))))) = ((𝐷𝑀) 1 ))
9819, 24, 973eqtr3d 2807 1 ((𝑀𝐵𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽𝑀)) = ((𝐷𝑀) 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  ifcif 4245  cotp 4344  cmpt 4890   × cxp 5277   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  cmpt2 6848  𝑚 cmap 8064  Fincfn 8164  Basecbs 16144  .rcmulr 16229   ·𝑠 cvsca 16232  0gc0g 16380   Σg cgsu 16381  1rcur 18782  Ringcrg 18828  CRingccrg 18829   maMul cmmul 20479   Mat cmat 20503   maDet cmdat 20681   maAdju cmadu 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-addf 10272  ax-mulf 10273
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-ot 4345  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-word 13492  df-lsw 13540  df-concat 13548  df-s1 13573  df-substr 13623  df-pfx 13672  df-splice 13779  df-reverse 13797  df-s2 13891  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-hom 16252  df-cco 16253  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-prds 16388  df-pws 16390  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-gim 17979  df-cntz 18027  df-oppg 18053  df-symg 18075  df-pmtr 18139  df-psgn 18188  df-evpm 18189  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-oppr 18904  df-dvdsr 18922  df-unit 18923  df-invr 18953  df-dvr 18964  df-rnghom 18998  df-drng 19032  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-cnfld 20034  df-zring 20106  df-zrh 20139  df-dsmm 20366  df-frlm 20381  df-mamu 20480  df-mat 20504  df-mdet 20682  df-madu 20731
This theorem is referenced by:  madulid  20742  matinv  20775  cpmadurid  20965  cpmidgsum2  20977
  Copyright terms: Public domain W3C validator