Theorem madurid 21993

Description: Multiplying a matrix with its adjunct results in the identity matrix multiplied with the determinant of the matrix. See Proposition 4.16 in [Lang] p. 518. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
madurid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
madurid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madurid.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
madurid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madurid.i	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
madurid.t	⊢ · = (.r‘𝐴)
madurid.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
madurid	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Proof of Theorem madurid

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
5		madurid.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
6		madurid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
7	5, 6	matrcl 21759	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8	7	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑁 ∈ Fin)
10	5, 2, 6	matbas2i 21771	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
12		madurid.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
13	5, 12, 6	maduf 21990	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
14	13	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
15		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ 𝐵)
16	14, 15	ffvelcdmd 7036	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
17	5, 2, 6	matbas2i 21771	. . . 4 ⊢ ((𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐽‘𝑀) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)))
19	1, 2, 3, 4, 9, 9, 9, 11, 18	mamuval 21735	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽‘𝑀)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r‘𝑅)(𝑐(𝐽‘𝑀)𝑏))))))
20	5, 1	matmulr 21787	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
21	8, 20	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
22		madurid.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝐴)
23	21, 22	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = · )
24	23	oveqd 7374	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝐽‘𝑀)) = (𝑀 · (𝐽‘𝑀)))
25		madurid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
26		simp1l 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
27		simp1r 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
28		elmapi 8787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
29	11, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
32		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
33		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑐 ∈ 𝑁)
34	31, 32, 33	fovcdmd 7526	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
35		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
36	5, 12, 6, 25, 3, 2, 26, 27, 34, 35	madugsum 21992	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r‘𝑅)(𝑐(𝐽‘𝑀)𝑏)))) = (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
37		iftrue 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)) = (𝐷‘𝑀))
38	37	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)) = (𝐷‘𝑀))
39	29	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁))
40		fnov 7487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 Fn (𝑁 × 𝑁) ↔ 𝑀 = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
41	39, 40	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
43		equtr2 2030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑑 = 𝑏) → 𝑎 = 𝑑)
44	43	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑑 = 𝑏) → (𝑎𝑀𝑐) = (𝑑𝑀𝑐))
45	44	ifeq1da 4517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
46		ifid 4526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑑 = 𝑏, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
47	45, 46	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
48	47	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐))
49	48	mpoeq3dv 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ (𝑑𝑀𝑐)))
50	42, 49	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀 = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
51	50	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
52	38, 51	eqtr2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)))
53	52	3ad2antl1 1185	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)))
54		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55		simpl1r 1225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑅 ∈ CRing)
56	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑁 ∈ Fin)
58	30	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
59		simpll2 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑎 ∈ 𝑁)
60		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → 𝑐 ∈ 𝑁)
61	58, 59, 60	fovcdmd 7526	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
62	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶(Base‘𝑅))
63	62	fovcdmda 7525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ (𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁)) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
64	63	3impb 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑 ∈ 𝑁 ∧ 𝑐 ∈ 𝑁) → (𝑑𝑀𝑐) ∈ (Base‘𝑅))
65		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑁)
66		simpl2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑎 ∈ 𝑁)
67		neqne 2951	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 ≠ 𝑏)
68	67	necomd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑏 → 𝑏 ≠ 𝑎)
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → 𝑏 ≠ 𝑎)
70	25, 2, 54, 55, 57, 61, 64, 65, 66, 69	mdetralt2 21958	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))) = (0g‘𝑅))
71		ifid 4526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = (𝑑𝑀𝑐)
72		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = 𝑎 → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑑 = 𝑎) → (𝑑𝑀𝑐) = (𝑎𝑀𝑐))
74	73	ifeq1da 4517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑎, (𝑑𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
75	71, 74	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑𝑀𝑐) = if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))
76	75	ifeq2d 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)) = if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))
77	76	mpoeq3dv 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))) = (𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))))
78	77	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), if(𝑑 = 𝑎, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐))))))
79		iffalse 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑎 = 𝑏 → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
80	79	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
81	70, 78, 80	3eqtr4d 2786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) ∧ ¬ 𝑎 = 𝑏) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)))
82	53, 81	pm2.61dan 811	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝐷‘(𝑑 ∈ 𝑁, 𝑐 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑑 = 𝑏, (𝑎𝑀𝑐), (𝑑𝑀𝑐)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)))
83	36, 82	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r‘𝑅)(𝑐(𝐽‘𝑀)𝑏)))) = if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅)))
84	83	mpoeq3dva 7434	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r‘𝑅)(𝑐(𝐽‘𝑀)𝑏))))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅))))
85		madurid.i	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
86	85	oveq2i 7368	. . . 4 ⊢ ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ) = ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴))
87		crngring 19976	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
88	87	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
89	25, 5, 6, 2	mdetf 21944	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
90	89	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐷:𝐵⟶(Base‘𝑅))
91	90, 15	ffvelcdmd 7036	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
92		madurid.s	. . . . . 6 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
93	5, 2, 92, 54	matsc 21799	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐷‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅))))
94	9, 88, 91, 93	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘𝑀) ∙ (1r‘𝐴)) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅))))
95	86, 94	eqtrid 2788	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝑏, (𝐷‘𝑀), (0g‘𝑅))))
96	84, 95	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑐 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑎𝑀𝑐)(.r‘𝑅)(𝑐(𝐽‘𝑀)𝑏))))) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))
97	19, 24, 96	3eqtr3d 2784	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑀 · (𝐽‘𝑀)) = ((𝐷‘𝑀) ∙ 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486  ⟨cotp 4594   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   maMul cmmul 21732   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933   maAdju cmadu 21981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-madu 21983

This theorem is referenced by:  madulid  21994  matinv  22026  cpmadurid  22216  cpmidgsum2  22228