Theorem fovcdmd 7584

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7582	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   × cxp 5661  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7415

This theorem is referenced by:  eroveu  8811  fseqenlem1  10009  rlimcn2  15644  homarel  18094  curf1cl  18285  curf2cl  18288  hofcllem  18315  yonedalem3b  18336  gasubg  19373  gacan  19376  gapm  19377  gastacos  19381  orbsta  19384  galactghm  19475  sylow1lem2  19670  sylow2alem2  19689  sylow3lem1  19698  efgcpbllemb  19826  frgpuplem  19843  frlmbas3  21907  mamucl  22539  mamuass  22540  mamudi  22541  mamudir  22542  mamuvs1  22543  mamuvs2  22544  mamulid  22579  mamurid  22580  mamutpos  22596  matgsumcl  22598  mavmulcl  22685  mavmulass  22687  mdetleib2  22726  mdetf  22733  mdetdiaglem  22736  mdetrlin  22740  mdetrsca  22741  mdetralt  22746  mdetunilem7  22756  maducoeval2  22778  madugsum  22781  madurid  22782  tsmsxplem2  24292  isxmet2d  24465  ismet2  24471  prdsxmetlem  24506  comet  24651  ipcn  25386  ovoliunlem2  25643  itg1addlem4  25839  itg1addlem5  25840  mbfi1fseqlem5  25859  limccnp2  26032  midcl  29064  conjga  33468  fedgmullem2  33998  pstmxmet  34265  cvmlift2lem9  35781  isbnd3  38413  prdsbnd  38422  iscringd  38627  rmxycomplete  43624  rmxyadd  43628  2arympt  49406