Theorem fovcdmd 7575

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7573	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   × cxp 5673  ⟶wf 6536  (class class class)co 7405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  eroveu  8802  fseqenlem1  10015  rlimcn2  15531  homarel  17982  curf1cl  18177  curf2cl  18180  hofcllem  18207  yonedalem3b  18228  gasubg  19160  gacan  19163  gapm  19164  gastacos  19168  orbsta  19171  galactghm  19266  sylow1lem2  19461  sylow2alem2  19480  sylow3lem1  19489  efgcpbllemb  19617  frgpuplem  19634  frlmbas3  21322  mamucl  21892  mamuass  21893  mamudi  21894  mamudir  21895  mamuvs1  21896  mamuvs2  21897  mamulid  21934  mamurid  21935  mamutpos  21951  matgsumcl  21953  mavmulcl  22040  mavmulass  22042  mdetleib2  22081  mdetf  22088  mdetdiaglem  22091  mdetrlin  22095  mdetrsca  22096  mdetralt  22101  mdetunilem7  22111  maducoeval2  22133  madugsum  22136  madurid  22137  tsmsxplem2  23649  isxmet2d  23824  ismet2  23830  prdsxmetlem  23865  comet  24013  ipcn  24754  ovoliunlem2  25011  itg1addlem4  25207  itg1addlem4OLD  25208  itg1addlem5  25209  mbfi1fseqlem5  25228  limccnp2  25400  midcl  28017  fedgmullem2  32703  pstmxmet  32865  cvmlift2lem9  34290  isbnd3  36640  prdsbnd  36649  iscringd  36854  rmxycomplete  41641  rmxyadd  41645  2arympt  47288