Theorem fovcdmd 7518

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7516	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   × cxp 5614  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  eroveu  8736  fseqenlem1  9912  rlimcn2  15495  homarel  17940  curf1cl  18131  curf2cl  18134  hofcllem  18161  yonedalem3b  18182  gasubg  19212  gacan  19215  gapm  19216  gastacos  19220  orbsta  19223  galactghm  19314  sylow1lem2  19509  sylow2alem2  19528  sylow3lem1  19537  efgcpbllemb  19665  frgpuplem  19682  frlmbas3  21711  mamucl  22314  mamuass  22315  mamudi  22316  mamudir  22317  mamuvs1  22318  mamuvs2  22319  mamulid  22354  mamurid  22355  mamutpos  22371  matgsumcl  22373  mavmulcl  22460  mavmulass  22462  mdetleib2  22501  mdetf  22508  mdetdiaglem  22511  mdetrlin  22515  mdetrsca  22516  mdetralt  22521  mdetunilem7  22531  maducoeval2  22553  madugsum  22556  madurid  22557  tsmsxplem2  24067  isxmet2d  24240  ismet2  24246  prdsxmetlem  24281  comet  24426  ipcn  25171  ovoliunlem2  25429  itg1addlem4  25625  itg1addlem5  25626  mbfi1fseqlem5  25645  limccnp2  25818  midcl  28753  conjga  33134  fedgmullem2  33638  pstmxmet  33905  cvmlift2lem9  35343  isbnd3  37823  prdsbnd  37832  iscringd  38037  rmxycomplete  42949  rmxyadd  42953  2arympt  48680