Theorem fovcdmd 7564

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7562	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1389	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   × cxp 5643  ⟶wf 6513  (class class class)co 7392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395

This theorem is referenced by:  eroveu  8789  fseqenlem1  9977  rlimcn2  15601  homarel  18052  curf1cl  18243  curf2cl  18246  hofcllem  18273  yonedalem3b  18294  gasubg  19325  gacan  19328  gapm  19329  gastacos  19333  orbsta  19336  galactghm  19427  sylow1lem2  19622  sylow2alem2  19641  sylow3lem1  19650  efgcpbllemb  19778  frgpuplem  19795  frlmbas3  21808  mamucl  22441  mamuass  22442  mamudi  22443  mamudir  22444  mamuvs1  22445  mamuvs2  22446  mamulid  22481  mamurid  22482  mamutpos  22498  matgsumcl  22500  mavmulcl  22587  mavmulass  22589  mdetleib2  22628  mdetf  22635  mdetdiaglem  22638  mdetrlin  22642  mdetrsca  22643  mdetralt  22648  mdetunilem7  22658  maducoeval2  22680  madugsum  22683  madurid  22684  tsmsxplem2  24194  isxmet2d  24367  ismet2  24373  prdsxmetlem  24408  comet  24553  ipcn  25288  ovoliunlem2  25545  itg1addlem4  25741  itg1addlem5  25742  mbfi1fseqlem5  25761  limccnp2  25934  midcl  28923  conjga  33311  fedgmullem2  33888  pstmxmet  34155  cvmlift2lem9  35625  isbnd3  38247  prdsbnd  38256  iscringd  38461  rmxycomplete  43458  rmxyadd  43462  2arympt  49235