Theorem fovcdmd 7590

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7588	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   × cxp 5657  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  eroveu  8816  fseqenlem1  10031  rlimcn2  15682  homarel  18131  curf1cl  18322  curf2cl  18325  hofcllem  18352  yonedalem3b  18373  gasubg  19435  gacan  19438  gapm  19439  gastacos  19443  orbsta  19446  galactghm  19537  sylow1lem2  19732  sylow2alem2  19751  sylow3lem1  19760  efgcpbllemb  19888  frgpuplem  19905  frlmbas3  21995  mamucl  22629  mamuass  22630  mamudi  22631  mamudir  22632  mamuvs1  22633  mamuvs2  22634  mamulid  22669  mamurid  22670  mamutpos  22686  matgsumcl  22688  mavmulcl  22775  mavmulass  22777  mdetleib2  22816  mdetf  22823  mdetdiaglem  22826  mdetrlin  22830  mdetrsca  22831  mdetralt  22836  mdetunilem7  22846  maducoeval2  22868  madugsum  22871  madurid  22872  tsmsxplem2  24386  isxmet2d  24559  ismet2  24565  prdsxmetlem  24600  comet  24745  ipcn  25480  ovoliunlem2  25737  itg1addlem4  25933  itg1addlem5  25934  mbfi1fseqlem5  25953  limccnp2  26126  midcl  29169  conjga  33618  fedgmullem2  34148  pstmxmet  34415  cvmlift2lem9  35898  isbnd3  38542  prdsbnd  38551  iscringd  38756  rmxycomplete  43766  rmxyadd  43770  2arympt  49587