Theorem fovcdmd 7525

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7523	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   × cxp 5621  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7356

This theorem is referenced by:  eroveu  8746  fseqenlem1  9937  rlimcn2  15516  homarel  17961  curf1cl  18152  curf2cl  18155  hofcllem  18182  yonedalem3b  18203  gasubg  19199  gacan  19202  gapm  19203  gastacos  19207  orbsta  19210  galactghm  19301  sylow1lem2  19496  sylow2alem2  19515  sylow3lem1  19524  efgcpbllemb  19652  frgpuplem  19669  frlmbas3  21701  mamucl  22304  mamuass  22305  mamudi  22306  mamudir  22307  mamuvs1  22308  mamuvs2  22309  mamulid  22344  mamurid  22345  mamutpos  22361  matgsumcl  22363  mavmulcl  22450  mavmulass  22452  mdetleib2  22491  mdetf  22498  mdetdiaglem  22501  mdetrlin  22505  mdetrsca  22506  mdetralt  22511  mdetunilem7  22521  maducoeval2  22543  madugsum  22546  madurid  22547  tsmsxplem2  24057  isxmet2d  24231  ismet2  24237  prdsxmetlem  24272  comet  24417  ipcn  25162  ovoliunlem2  25420  itg1addlem4  25616  itg1addlem5  25617  mbfi1fseqlem5  25636  limccnp2  25809  midcl  28740  conjga  33125  fedgmullem2  33602  pstmxmet  33863  cvmlift2lem9  35283  isbnd3  37763  prdsbnd  37772  iscringd  37977  rmxycomplete  42890  rmxyadd  42894  2arympt  48635