Theorem fovcdmd 7524

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7522	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   × cxp 5617  ⟶wf 6482  (class class class)co 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355

This theorem is referenced by:  eroveu  8742  fseqenlem1  9922  rlimcn2  15500  homarel  17945  curf1cl  18136  curf2cl  18139  hofcllem  18166  yonedalem3b  18187  gasubg  19216  gacan  19219  gapm  19220  gastacos  19224  orbsta  19227  galactghm  19318  sylow1lem2  19513  sylow2alem2  19532  sylow3lem1  19541  efgcpbllemb  19669  frgpuplem  19686  frlmbas3  21715  mamucl  22317  mamuass  22318  mamudi  22319  mamudir  22320  mamuvs1  22321  mamuvs2  22322  mamulid  22357  mamurid  22358  mamutpos  22374  matgsumcl  22376  mavmulcl  22463  mavmulass  22465  mdetleib2  22504  mdetf  22511  mdetdiaglem  22514  mdetrlin  22518  mdetrsca  22519  mdetralt  22524  mdetunilem7  22534  maducoeval2  22556  madugsum  22559  madurid  22560  tsmsxplem2  24070  isxmet2d  24243  ismet2  24249  prdsxmetlem  24284  comet  24429  ipcn  25174  ovoliunlem2  25432  itg1addlem4  25628  itg1addlem5  25629  mbfi1fseqlem5  25648  limccnp2  25821  midcl  28756  conjga  33146  fedgmullem2  33664  pstmxmet  33931  cvmlift2lem9  35376  isbnd3  37844  prdsbnd  37853  iscringd  38058  rmxycomplete  43034  rmxyadd  43038  2arympt  48774