Theorem fovcdmd 7539

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7537	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  eroveu  8759  fseqenlem1  9946  rlimcn2  15553  homarel  18003  curf1cl  18194  curf2cl  18197  hofcllem  18224  yonedalem3b  18245  gasubg  19277  gacan  19280  gapm  19281  gastacos  19285  orbsta  19288  galactghm  19379  sylow1lem2  19574  sylow2alem2  19593  sylow3lem1  19602  efgcpbllemb  19730  frgpuplem  19747  frlmbas3  21756  mamucl  22366  mamuass  22367  mamudi  22368  mamudir  22369  mamuvs1  22370  mamuvs2  22371  mamulid  22406  mamurid  22407  mamutpos  22423  matgsumcl  22425  mavmulcl  22512  mavmulass  22514  mdetleib2  22553  mdetf  22560  mdetdiaglem  22563  mdetrlin  22567  mdetrsca  22568  mdetralt  22573  mdetunilem7  22583  maducoeval2  22605  madugsum  22608  madurid  22609  tsmsxplem2  24119  isxmet2d  24292  ismet2  24298  prdsxmetlem  24333  comet  24478  ipcn  25213  ovoliunlem2  25470  itg1addlem4  25666  itg1addlem5  25667  mbfi1fseqlem5  25686  limccnp2  25859  midcl  28845  conjga  33231  fedgmullem2  33774  pstmxmet  34041  cvmlift2lem9  35493  isbnd3  38105  prdsbnd  38114  iscringd  38319  rmxycomplete  43345  rmxyadd  43349  2arympt  49125