Theorem fovcdmd 7579

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7577	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   × cxp 5675  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  eroveu  8806  fseqenlem1  10019  rlimcn2  15535  homarel  17986  curf1cl  18181  curf2cl  18184  hofcllem  18211  yonedalem3b  18232  gasubg  19166  gacan  19169  gapm  19170  gastacos  19174  orbsta  19177  galactghm  19272  sylow1lem2  19467  sylow2alem2  19486  sylow3lem1  19495  efgcpbllemb  19623  frgpuplem  19640  frlmbas3  21331  mamucl  21901  mamuass  21902  mamudi  21903  mamudir  21904  mamuvs1  21905  mamuvs2  21906  mamulid  21943  mamurid  21944  mamutpos  21960  matgsumcl  21962  mavmulcl  22049  mavmulass  22051  mdetleib2  22090  mdetf  22097  mdetdiaglem  22100  mdetrlin  22104  mdetrsca  22105  mdetralt  22110  mdetunilem7  22120  maducoeval2  22142  madugsum  22145  madurid  22146  tsmsxplem2  23658  isxmet2d  23833  ismet2  23839  prdsxmetlem  23874  comet  24022  ipcn  24763  ovoliunlem2  25020  itg1addlem4  25216  itg1addlem4OLD  25217  itg1addlem5  25218  mbfi1fseqlem5  25237  limccnp2  25409  midcl  28028  fedgmullem2  32715  pstmxmet  32877  cvmlift2lem9  34302  isbnd3  36652  prdsbnd  36661  iscringd  36866  rmxycomplete  41656  rmxyadd  41660  2arympt  47335