Theorem fovcdmd 7476

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7474	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   × cxp 5598  ⟶wf 6454  (class class class)co 7307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-ov 7310

This theorem is referenced by:  eroveu  8632  fseqenlem1  9826  rlimcn2  15345  homarel  17796  curf1cl  17991  curf2cl  17994  hofcllem  18021  yonedalem3b  18042  gasubg  18953  gacan  18956  gapm  18957  gastacos  18961  orbsta  18964  galactghm  19057  sylow1lem2  19249  sylow2alem2  19268  sylow3lem1  19277  efgcpbllemb  19406  frgpuplem  19423  frlmbas3  21028  mamucl  21593  mamuass  21594  mamudi  21595  mamudir  21596  mamuvs1  21597  mamuvs2  21598  mamulid  21635  mamurid  21636  mamutpos  21652  matgsumcl  21654  mavmulcl  21741  mavmulass  21743  mdetleib2  21782  mdetf  21789  mdetdiaglem  21792  mdetrlin  21796  mdetrsca  21797  mdetralt  21802  mdetunilem7  21812  maducoeval2  21834  madugsum  21837  madurid  21838  tsmsxplem2  23350  isxmet2d  23525  ismet2  23531  prdsxmetlem  23566  comet  23714  ipcn  24455  ovoliunlem2  24712  itg1addlem4  24908  itg1addlem4OLD  24909  itg1addlem5  24910  mbfi1fseqlem5  24929  limccnp2  25101  midcl  27183  fedgmullem2  31756  pstmxmet  31892  cvmlift2lem9  33318  isbnd3  35986  prdsbnd  35995  iscringd  36200  rmxycomplete  40777  rmxyadd  40781  2arympt  46053