Theorem fovcdmd 7593

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7591	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   × cxp 5648  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423

This theorem is used by:  eroveu  8836  fseqenlem1  10106  rlimcn2  15763  homarel  18216  curf1cl  18407  curf2cl  18410  hofcllem  18437  yonedalem3b  18458  gasubg  19521  gacan  19524  gapm  19525  gastacos  19529  orbsta  19532  galactghm  19623  sylow1lem2  19818  sylow2alem2  19837  sylow3lem1  19846  efgcpbllemb  19974  frgpuplem  19991  frlmbas3  22087  mamucl  22721  mamuass  22722  mamudi  22723  mamudir  22724  mamuvs1  22725  mamuvs2  22726  mamulid  22761  mamurid  22762  mamutpos  22778  matgsumcl  22780  mavmulcl  22867  mavmulass  22869  mdetleib2  22908  mdetf  22915  mdetdiaglem  22918  mdetrlin  22922  mdetrsca  22923  mdetralt  22928  mdetunilem7  22938  maducoeval2  22960  madugsum  22963  madurid  22964  tsmsxplem2  24478  isxmet2d  24651  ismet2  24657  prdsxmetlem  24692  comet  24837  ipcn  25572  ovoliunlem2  25829  itg1addlem4  26025  itg1addlem5  26026  mbfi1fseqlem5  26045  limccnp2  26217  midcl  29287  conjga  33777  fedgmullem2  34308  pstmxmet  34575  cvmlift2lem9  36162  isbnd3  38811  prdsbnd  38820  iscringd  39025  rmxycomplete  44017  rmxyadd  44021  2arympt  49854