Theorem fovcdmd 7585

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7583	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   × cxp 5649  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7415

This theorem is used by:  eroveu  8817  fseqenlem1  10084  rlimcn2  15738  homarel  18191  curf1cl  18382  curf2cl  18385  hofcllem  18412  yonedalem3b  18433  gasubg  19496  gacan  19499  gapm  19500  gastacos  19504  orbsta  19507  galactghm  19598  sylow1lem2  19793  sylow2alem2  19812  sylow3lem1  19821  efgcpbllemb  19949  frgpuplem  19966  frlmbas3  22062  mamucl  22696  mamuass  22697  mamudi  22698  mamudir  22699  mamuvs1  22700  mamuvs2  22701  mamulid  22736  mamurid  22737  mamutpos  22753  matgsumcl  22755  mavmulcl  22842  mavmulass  22844  mdetleib2  22883  mdetf  22890  mdetdiaglem  22893  mdetrlin  22897  mdetrsca  22898  mdetralt  22903  mdetunilem7  22913  maducoeval2  22935  madugsum  22938  madurid  22939  tsmsxplem2  24453  isxmet2d  24626  ismet2  24632  prdsxmetlem  24667  comet  24812  ipcn  25547  ovoliunlem2  25804  itg1addlem4  26000  itg1addlem5  26001  mbfi1fseqlem5  26020  limccnp2  26192  midcl  29264  conjga  33713  fedgmullem2  34244  pstmxmet  34511  cvmlift2lem9  36045  isbnd3  38686  prdsbnd  38695  iscringd  38900  rmxycomplete  43877  rmxyadd  43881  2arympt  49705