Theorem fovcdmd 7561

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7559	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   × cxp 5636  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390

This theorem is referenced by:  eroveu  8785  fseqenlem1  9977  rlimcn2  15557  homarel  17998  curf1cl  18189  curf2cl  18192  hofcllem  18219  yonedalem3b  18240  gasubg  19234  gacan  19237  gapm  19238  gastacos  19242  orbsta  19245  galactghm  19334  sylow1lem2  19529  sylow2alem2  19548  sylow3lem1  19557  efgcpbllemb  19685  frgpuplem  19702  frlmbas3  21685  mamucl  22288  mamuass  22289  mamudi  22290  mamudir  22291  mamuvs1  22292  mamuvs2  22293  mamulid  22328  mamurid  22329  mamutpos  22345  matgsumcl  22347  mavmulcl  22434  mavmulass  22436  mdetleib2  22475  mdetf  22482  mdetdiaglem  22485  mdetrlin  22489  mdetrsca  22490  mdetralt  22495  mdetunilem7  22505  maducoeval2  22527  madugsum  22530  madurid  22531  tsmsxplem2  24041  isxmet2d  24215  ismet2  24221  prdsxmetlem  24256  comet  24401  ipcn  25146  ovoliunlem2  25404  itg1addlem4  25600  itg1addlem5  25601  mbfi1fseqlem5  25620  limccnp2  25793  midcl  28704  conjga  33127  fedgmullem2  33626  pstmxmet  33887  cvmlift2lem9  35298  isbnd3  37778  prdsbnd  37787  iscringd  37992  rmxycomplete  42906  rmxyadd  42910  2arympt  48638