Theorem fovcdmd 7540

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovcdmd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcdmd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovcdmd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovcdm 7538	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  eroveu  8761  fseqenlem1  9946  rlimcn2  15526  homarel  17972  curf1cl  18163  curf2cl  18166  hofcllem  18193  yonedalem3b  18214  gasubg  19243  gacan  19246  gapm  19247  gastacos  19251  orbsta  19254  galactghm  19345  sylow1lem2  19540  sylow2alem2  19559  sylow3lem1  19568  efgcpbllemb  19696  frgpuplem  19713  frlmbas3  21743  mamucl  22357  mamuass  22358  mamudi  22359  mamudir  22360  mamuvs1  22361  mamuvs2  22362  mamulid  22397  mamurid  22398  mamutpos  22414  matgsumcl  22416  mavmulcl  22503  mavmulass  22505  mdetleib2  22544  mdetf  22551  mdetdiaglem  22554  mdetrlin  22558  mdetrsca  22559  mdetralt  22564  mdetunilem7  22574  maducoeval2  22596  madugsum  22599  madurid  22600  tsmsxplem2  24110  isxmet2d  24283  ismet2  24289  prdsxmetlem  24324  comet  24469  ipcn  25214  ovoliunlem2  25472  itg1addlem4  25668  itg1addlem5  25669  mbfi1fseqlem5  25688  limccnp2  25861  midcl  28861  conjga  33263  fedgmullem2  33807  pstmxmet  34074  cvmlift2lem9  35524  isbnd3  38029  prdsbnd  38038  iscringd  38243  rmxycomplete  43268  rmxyadd  43272  2arympt  49003