MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madugsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madugsum 20726
Description: The determinant of a matrix with a row 𝐿 consisting of the same element 𝑋 is the sum of the elements of the 𝐿-th column of the adjunct of the matrix multiplied with 𝑋. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madugsum.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madugsum.t · = (.r𝑅)
madugsum.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
madugsum.m (𝜑𝑀𝐵)
madugsum.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madugsum.x ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
madugsum.l (𝜑𝐿𝑁)
Assertion
Ref Expression
madugsum (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑗,𝑋   · ,𝑖   𝑖,𝐿,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 4896 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
21oveq2d 6858 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
3 eleq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐𝑏 ∈ ∅))
43ifbid 4265 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
54ifeq1d 4261 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
65mpt2eq3dv 6919 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
76fveq2d 6379 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
82, 7eqeq12d 2780 . . 3 (𝑐 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
9 mpteq1 4896 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
109oveq2d 6858 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
11 eleq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐𝑏𝑑))
1211ifbid 4265 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
1312ifeq1d 4261 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
1413mpt2eq3dv 6919 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
1514fveq2d 6379 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
1610, 15eqeq12d 2780 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
17 mpteq1 4896 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
1817oveq2d 6858 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
19 eleq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒})))
2019ifbid 4265 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2120ifeq1d 4261 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
2221mpt2eq3dv 6919 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
2322fveq2d 6379 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
2418, 23eqeq12d 2780 . . 3 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
25 mpteq1 4896 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
2625oveq2d 6858 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
27 eleq2 2833 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐𝑏𝑁))
2827ifbid 4265 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2928ifeq1d 4261 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
3029mpt2eq3dv 6919 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
3130fveq2d 6379 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
3226, 31eqeq12d 2780 . . 3 (𝑐 = 𝑁 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
33 noel 4083 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑏 ∈ ∅
34 iffalse 4252 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ ∅ → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3635ifeq1d 4261 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
3736mpt2eq3ia 6918 . . . . . 6 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
3837fveq2i 6378 . . . . 5 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏))))
39 madugsum.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
40 madugsum.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
41 eqid 2765 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
42 madugsum.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
43 madugsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐵)
44 maduf.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 maduf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
4644, 45matrcl 20494 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4743, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4847simpld 488 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
4944, 40, 45matbas2i 20504 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
50 elmapi 8082 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5143, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5251fovrnda 7003 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
53523impb 1143 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
54 madugsum.l . . . . . 6 (𝜑𝐿𝑁)
5539, 40, 41, 42, 48, 53, 54mdetr0 20688 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
5638, 55syl5eq 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
57 mpt0 6199 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = ∅
5857oveq2i 6853 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg ∅)
5941gsum0 17546 . . . . 5 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
6058, 59eqtri 2787 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (0g𝑅)
6156, 60syl6reqr 2818 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
62 eqid 2765 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6342adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CRing)
64 crngring 18825 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Ring)
66 ringcmn 18848 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CMnd)
6848adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑁 ∈ Fin)
69 simprl 787 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑𝑁)
70 ssfi 8387 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑑𝑁) → 𝑑 ∈ Fin)
7168, 69, 70syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑 ∈ Fin)
7265adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑅 ∈ Ring)
7369sselda 3761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏𝑁)
74 madugsum.x . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
7574ralrimiva 3113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
7675ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
77 rspcsbela 4168 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
7873, 76, 77syl2anc 579 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
79 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
8044, 79, 45maduf 20724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
8142, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽:𝐵𝐵)
8281, 43ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
8344, 40, 45matbas2i 20504 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽𝑀) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
84 elmapi 8082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ (𝐾𝑚 (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8582, 83, 843syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8685ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8754ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝐿𝑁)
8886, 73, 87fovrnd 7004 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
89 madugsum.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
9040, 89ringcl 18828 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
9172, 78, 88, 90syl3anc 1490 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
92 vex 3353 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
9392a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 ∈ V)
94 eldifn 3895 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → ¬ 𝑒𝑑)
9594ad2antll 720 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ 𝑒𝑑)
96 eldifi 3894 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → 𝑒𝑁)
9796ad2antll 720 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒𝑁)
9875adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
99 rspcsbela 4168 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
10097, 98, 99syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
10185adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
10254adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝐿𝑁)
103101, 97, 102fovrnd 7004 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
10440, 89ringcl 18828 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
10565, 100, 103, 104syl3anc 1490 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
106 csbeq1 3694 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
107 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))
108106, 107oveq12d 6860 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
10940, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108gsumunsn 18625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
110109adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
111 oveq1 6849 . . . . . 6 ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
112111adantl 473 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
113 elun 3915 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}))
114 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑒} ↔ 𝑏 = 𝑒)
115114orbi2i 936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
116113, 115bitri 266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
117 ifbi 4264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))
119 ringmnd 18823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
12065, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1211203ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
122 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
123983ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
124122, 123, 77syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
125 elequ1 2162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑑𝑒𝑑))
126125biimpac 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒) → 𝑒𝑑)
12795, 126nsyl 137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
1281273ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
12940, 41, 62mndifsplit 20719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
130121, 124, 128, 129syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
131118, 130syl5eq 2811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
132106adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏 = 𝑒) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
133132ifeq1da 4273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
134 ovif2 6936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)))
135 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1r𝑅) = (1r𝑅)
13640, 89, 135ringridm 18839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13765, 100, 136syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13840, 89, 41ringrz 18855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
13965, 100, 138syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
140137, 139ifeq12d 4263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
141134, 140syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
142133, 141eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))))
143142oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
1441433ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
145131, 144eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
146145ifeq1d 4261 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))
147146mpt2eq3dva 6917 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏))))
148147fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))))
14940, 41ring0cl 18836 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
15065, 149syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
1511503ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
152124, 151ifcld 4288 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15340, 135ringidcl 18835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
15465, 153syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
155154, 150ifcld 4288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15640, 89ringcl 18828 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15765, 100, 155, 156syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
1581573ad2ant1 1163 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15951adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
160159fovrnda 7003 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
1611603impb 1143 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
16239, 40, 62, 63, 68, 152, 158, 161, 102mdetrlin2 20690 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))))
1631553ad2ant1 1163 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
16439, 40, 89, 63, 68, 163, 161, 100, 102mdetrsca2 20687 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
16543adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀𝐵)
16644, 39, 79, 45, 135, 41maducoeval 20722 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐵𝑒𝑁𝐿𝑁) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
167165, 97, 102, 166syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
168167oveq2d 6858 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
169164, 168eqtr4d 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
170169oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
171148, 162, 1703eqtrrd 2804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
172171adantr 472 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
173110, 112, 1723eqtrd 2803 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
174173ex 401 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
1758, 16, 24, 32, 61, 174, 48findcard2d 8409 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
176 nfcv 2907 . . . 4 𝑏(𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))
177 nfcsb1v 3707 . . . . 5 𝑖𝑏 / 𝑖𝑋
178 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖 ·
179 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖(𝑏(𝐽𝑀)𝐿)
180177, 178, 179nfov 6872 . . . 4 𝑖(𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
181 csbeq1a 3700 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
182 oveq1 6849 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏 → (𝑖(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
183181, 182oveq12d 6860 . . . 4 (𝑖 = 𝑏 → (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
184176, 180, 183cbvmpt 4908 . . 3 (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
185184oveq2i 6853 . 2 (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
186 nfcv 2907 . . . . 5 𝑎if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
187 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
188 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
189 nfv 2009 . . . . . 6 𝑖 𝑎 = 𝐿
190 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑖(𝑎𝑀𝑏)
191189, 177, 190nfif 4272 . . . . 5 𝑖if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
192 eqeq1 2769 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
193192adantr 472 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
194181adantl 473 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
195 oveq12 6851 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗𝑀𝑖) = (𝑎𝑀𝑏))
196193, 194, 195ifbieq12d 4270 . . . . 5 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)) = if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
197186, 187, 188, 191, 196cbvmpt2 6932 . . . 4 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
198 iftrue 4249 . . . . . . . 8 (𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = 𝑏 / 𝑖𝑋)
199198eqcomd 2771 . . . . . . 7 (𝑏𝑁𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
200199adantl 473 . . . . . 6 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
201200ifeq1d 4261 . . . . 5 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
202201mpt2eq3ia 6918 . . . 4 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
203197, 202eqtri 2787 . . 3 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
204203fveq2i 6378 . 2 (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
205175, 185, 2043eqtr4g 2824 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  csb 3691  cdif 3729  cun 3730  wss 3732  c0 4079  ifcif 4243  {csn 4334  cmpt 4888   × cxp 5275  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160  Basecbs 16132  +gcplusg 16216  .rcmulr 16217  0gc0g 16368   Σg cgsu 16369  Mndcmnd 17562  CMndccmn 18459  1rcur 18768  Ringcrg 18814  CRingccrg 18815   Mat cmat 20489   maDet cmdat 20667   maAdju cmadu 20715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-xor 1634  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-ot 4343  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13487  df-lsw 13534  df-concat 13542  df-s1 13567  df-substr 13617  df-pfx 13662  df-splice 13765  df-reverse 13783  df-s2 13879  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-prds 16376  df-pws 16378  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-ghm 17924  df-gim 17967  df-cntz 18015  df-oppg 18041  df-symg 18063  df-pmtr 18127  df-psgn 18176  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-dsmm 20352  df-frlm 20367  df-mat 20490  df-mdet 20668  df-madu 20717
This theorem is referenced by:  madurid  20727  mdetlap1  30274
  Copyright terms: Public domain W3C validator