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Theorem madugsum 21992
Description: The determinant of a matrix with a row 𝐿 consisting of the same element 𝑋 is the sum of the elements of the 𝐿-th column of the adjunct of the matrix multiplied with 𝑋. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madugsum.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madugsum.t · = (.r𝑅)
madugsum.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
madugsum.m (𝜑𝑀𝐵)
madugsum.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madugsum.x ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
madugsum.l (𝜑𝐿𝑁)
Assertion
Ref Expression
madugsum (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑗,𝑋   · ,𝑖   𝑖,𝐿,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5198 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
21oveq2d 7373 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
3 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐𝑏 ∈ ∅))
43ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
54ifeq1d 4505 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
65mpoeq3dv 7436 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
76fveq2d 6846 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
82, 7eqeq12d 2752 . . 3 (𝑐 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
9 mpteq1 5198 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
109oveq2d 7373 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
11 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐𝑏𝑑))
1211ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
1312ifeq1d 4505 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
1413mpoeq3dv 7436 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
1514fveq2d 6846 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
1610, 15eqeq12d 2752 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
17 mpteq1 5198 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
1817oveq2d 7373 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
19 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒})))
2019ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2120ifeq1d 4505 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
2221mpoeq3dv 7436 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
2322fveq2d 6846 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
2418, 23eqeq12d 2752 . . 3 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
25 mpteq1 5198 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
2625oveq2d 7373 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
27 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐𝑏𝑁))
2827ifbid 4509 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2928ifeq1d 4505 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
3029mpoeq3dv 7436 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
3130fveq2d 6846 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
3226, 31eqeq12d 2752 . . 3 (𝑐 = 𝑁 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
33 mpt0 6643 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = ∅
3433oveq2i 7368 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg ∅)
35 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3635gsum0 18539 . . . . 5 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
3734, 36eqtri 2764 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (0g𝑅)
38 noel 4290 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑏 ∈ ∅
39 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ ∅ → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
4140ifeq1d 4505 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
4241mpoeq3ia 7435 . . . . . 6 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
4342fveq2i 6845 . . . . 5 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏))))
44 madugsum.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
45 madugsum.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
46 madugsum.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
47 madugsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐵)
48 maduf.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
49 maduf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
5048, 49matrcl 21759 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5147, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5251simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5348, 45, 49matbas2i 21771 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
54 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5547, 53, 543syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5655fovcdmda 7525 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
57563impb 1115 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
58 madugsum.l . . . . . 6 (𝜑𝐿𝑁)
5944, 45, 35, 46, 52, 57, 58mdetr0 21954 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
6043, 59eqtrid 2788 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
6137, 60eqtr4id 2795 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
62 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6346adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CRing)
64 crngring 19976 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Ring)
66 ringcmn 20003 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CMnd)
6852adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑁 ∈ Fin)
69 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑𝑁)
7068, 69ssfid 9211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑 ∈ Fin)
7165adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑅 ∈ Ring)
7269sselda 3944 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏𝑁)
73 madugsum.x . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
7473ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
7574ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
76 rspcsbela 4395 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
7772, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
78 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
7948, 78, 49maduf 21990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
8046, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽:𝐵𝐵)
8180, 47ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
8248, 45, 49matbas2i 21771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽𝑀) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
83 elmapi 8787 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8658ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝐿𝑁)
8785, 72, 86fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
88 madugsum.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
8945, 88ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
9071, 77, 87, 89syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
91 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 ∈ V)
93 eldifn 4087 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → ¬ 𝑒𝑑)
9493ad2antll 727 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ 𝑒𝑑)
95 eldifi 4086 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → 𝑒𝑁)
9695ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒𝑁)
9774adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
98 rspcsbela 4395 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
9996, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
10084adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
10158adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝐿𝑁)
102100, 96, 101fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
10345, 88ringcl 19981 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
10465, 99, 102, 103syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
105 csbeq1 3858 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
106 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))
107105, 106oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
10845, 62, 67, 70, 90, 92, 94, 104, 107gsumunsn 19737 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
109108adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
110 oveq1 7364 . . . . . 6 ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
111110adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
112 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}))
113 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑒} ↔ 𝑏 = 𝑒)
114113orbi2i 911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
115112, 114bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
116 ifbi 4508 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))
118 ringmnd 19974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
11965, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1201193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
121 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
122973ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
123121, 122, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
124 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑑𝑒𝑑))
125124biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒) → 𝑒𝑑)
12694, 125nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
1271263ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
12845, 35, 62mndifsplit 21985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
129120, 123, 127, 128syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
130117, 129eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
131105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏 = 𝑒) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
132131ifeq1da 4517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
133 ovif2 7455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)))
134 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1r𝑅) = (1r𝑅)
13545, 88, 134ringridm 19993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13665, 99, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13745, 88, 35ringrz 20012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
13865, 99, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
139136, 138ifeq12d 4507 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
140133, 139eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
141132, 140eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))))
142141oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
1431423ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
144130, 143eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
145144ifeq1d 4505 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))
146145mpoeq3dva 7434 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏))))
147146fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))))
14845, 35ring0cl 19990 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
14965, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
1501493ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
151123, 150ifcld 4532 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15245, 134ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
15365, 152syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
154153, 149ifcld 4532 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15545, 88ringcl 19981 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15665, 99, 154, 155syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
1571563ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15855adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
159158fovcdmda 7525 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
1601593impb 1115 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
16144, 45, 62, 63, 68, 151, 157, 160, 101mdetrlin2 21956 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))))
1621543ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
16344, 45, 88, 63, 68, 162, 160, 99, 101mdetrsca2 21953 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
16447adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀𝐵)
16548, 44, 78, 49, 134, 35maducoeval 21988 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐵𝑒𝑁𝐿𝑁) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
166164, 96, 101, 165syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
167166oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
168163, 167eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
169168oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
170147, 161, 1693eqtrrd 2781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
171170adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
172109, 111, 1713eqtrd 2780 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
173172ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
1748, 16, 24, 32, 61, 173, 52findcard2d 9110 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
175 nfcv 2907 . . . 4 𝑏(𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))
176 nfcsb1v 3880 . . . . 5 𝑖𝑏 / 𝑖𝑋
177 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖 ·
178 nfcv 2907 . . . . 5 𝑖(𝑏(𝐽𝑀)𝐿)
179176, 177, 178nfov 7387 . . . 4 𝑖(𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
180 csbeq1a 3869 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
181 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏 → (𝑖(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
182180, 181oveq12d 7375 . . . 4 (𝑖 = 𝑏 → (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
183175, 179, 182cbvmpt 5216 . . 3 (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
184183oveq2i 7368 . 2 (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
185 nfcv 2907 . . . . 5 𝑎if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
186 nfcv 2907 . . . . 5 𝑏if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
187 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
188 nfv 1917 . . . . . 6 𝑖 𝑎 = 𝐿
189 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑖(𝑎𝑀𝑏)
190188, 176, 189nfif 4516 . . . . 5 𝑖if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
191 eqeq1 2740 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
192191adantr 481 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
193180adantl 482 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
194 oveq12 7366 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗𝑀𝑖) = (𝑎𝑀𝑏))
195192, 193, 194ifbieq12d 4514 . . . . 5 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)) = if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
196185, 186, 187, 190, 195cbvmpo 7451 . . . 4 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
197 iftrue 4492 . . . . . . . 8 (𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = 𝑏 / 𝑖𝑋)
198197eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝑏𝑁𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
199198adantl 482 . . . . . 6 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
200199ifeq1d 4505 . . . . 5 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
201200mpoeq3ia 7435 . . . 4 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
202196, 201eqtri 2764 . . 3 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
203202fveq2i 6845 . 2 (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
204174, 184, 2033eqtr4g 2801 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3445  csb 3855  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  CMndccmn 19562  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933   maAdju cmadu 21981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-madu 21983
This theorem is referenced by:  madurid  21993  mdetlap1  32407
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