MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  madugsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem madugsum 21187
Description: The determinant of a matrix with a row 𝐿 consisting of the same element 𝑋 is the sum of the elements of the 𝐿-th column of the adjunct of the matrix multiplied with 𝑋. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
maduf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
madugsum.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madugsum.t · = (.r𝑅)
madugsum.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
madugsum.m (𝜑𝑀𝐵)
madugsum.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
madugsum.x ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
madugsum.l (𝜑𝐿𝑁)
Assertion
Ref Expression
madugsum (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑗,𝑋   · ,𝑖   𝑖,𝐿,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem madugsum
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mpteq1 5151 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
21oveq2d 7166 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
3 eleq2 2906 . . . . . . . 8 (𝑐 = ∅ → (𝑏𝑐𝑏 ∈ ∅))
43ifbid 4492 . . . . . . 7 (𝑐 = ∅ → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
54ifeq1d 4488 . . . . . 6 (𝑐 = ∅ → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
65mpoeq3dv 7227 . . . . 5 (𝑐 = ∅ → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
76fveq2d 6673 . . . 4 (𝑐 = ∅ → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
82, 7eqeq12d 2842 . . 3 (𝑐 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
9 mpteq1 5151 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
109oveq2d 7166 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
11 eleq2 2906 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑑 → (𝑏𝑐𝑏𝑑))
1211ifbid 4492 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
1312ifeq1d 4488 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
1413mpoeq3dv 7227 . . . . 5 (𝑐 = 𝑑 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
1514fveq2d 6673 . . . 4 (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
1610, 15eqeq12d 2842 . . 3 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
17 mpteq1 5151 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
1817oveq2d 7166 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
19 eleq2 2906 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏𝑐𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒})))
2019ifbid 4492 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2120ifeq1d 4488 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
2221mpoeq3dv 7227 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
2322fveq2d 6673 . . . 4 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
2418, 23eqeq12d 2842 . . 3 (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
25 mpteq1 5151 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
2625oveq2d 7166 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))))
27 eleq2 2906 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑁 → (𝑏𝑐𝑏𝑁))
2827ifbid 4492 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
2928ifeq1d 4488 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑁 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
3029mpoeq3dv 7227 . . . . 5 (𝑐 = 𝑁 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
3130fveq2d 6673 . . . 4 (𝑐 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
3226, 31eqeq12d 2842 . . 3 (𝑐 = 𝑁 → ((𝑅 Σg (𝑏𝑐 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑐, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
33 noel 4300 . . . . . . . . 9 ¬ 𝑏 ∈ ∅
34 iffalse 4479 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ ∅ → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3635ifeq1d 4488 . . . . . . 7 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
3736mpoeq3ia 7226 . . . . . 6 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
3837fveq2i 6672 . . . . 5 (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏))))
39 madugsum.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
40 madugsum.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
41 eqid 2826 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
42 madugsum.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
43 madugsum.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐵)
44 maduf.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
45 maduf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
4644, 45matrcl 20956 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4743, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4847simpld 495 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
4944, 40, 45matbas2i 20966 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
50 elmapi 8423 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5143, 49, 503syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
5251fovrnda 7313 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
53523impb 1109 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
54 madugsum.l . . . . . 6 (𝜑𝐿𝑁)
5539, 40, 41, 42, 48, 53, 54mdetr0 21149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
5638, 55syl5eq 2873 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g𝑅))
57 mpt0 6489 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))) = ∅
5857oveq2i 7161 . . . . 5 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg ∅)
5941gsum0 17889 . . . . 5 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
6058, 59eqtri 2849 . . . 4 (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (0g𝑅)
6156, 60syl6reqr 2880 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
62 eqid 2826 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
6342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CRing)
64 crngring 19244 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Ring)
66 ringcmn 19267 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
6765, 66syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ CMnd)
6848adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑁 ∈ Fin)
69 simprl 767 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑𝑁)
7068, 69ssfid 8735 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑑 ∈ Fin)
7165adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑅 ∈ Ring)
7269sselda 3971 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏𝑁)
73 madugsum.x . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑁) → 𝑋𝐾)
7473ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
7574ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
76 rspcsbela 4391 . . . . . . . . 9 ((𝑏𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
7772, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
78 maduf.j . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
7944, 78, 45maduf 21185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵𝐵)
8042, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽:𝐵𝐵)
8180, 43ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽𝑀) ∈ 𝐵)
8244, 40, 45matbas2i 20966 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽𝑀) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)))
83 elmapi 8423 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑀) ∈ (𝐾m (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8584ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
8654ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → 𝐿𝑁)
8785, 72, 86fovrnd 7314 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
88 madugsum.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
8940, 88ringcl 19247 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
9071, 77, 87, 89syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏𝑑) → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
91 vex 3503 . . . . . . . 8 𝑒 ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 ∈ V)
93 eldifn 4108 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → ¬ 𝑒𝑑)
9493ad2antll 725 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ 𝑒𝑑)
95 eldifi 4107 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑁𝑑) → 𝑒𝑁)
9695ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒𝑁)
9774adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
98 rspcsbela 4391 . . . . . . . . 9 ((𝑒𝑁 ∧ ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
9996, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾)
10084adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐽𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
10154adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝐿𝑁)
102100, 96, 101fovrnd 7314 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
10340, 88ringcl 19247 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
10465, 99, 102, 103syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
105 csbeq1 3890 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
106 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))
107105, 106oveq12d 7168 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
10840, 62, 67, 70, 90, 92, 94, 104, 107gsumunsn 19016 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
109108adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
110 oveq1 7157 . . . . . 6 ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
111110adantl 482 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
112 elun 4129 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}))
113 velsn 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑒} ↔ 𝑏 = 𝑒)
114113orbi2i 908 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏𝑑𝑏 ∈ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
115112, 114bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
116 ifbi 4491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))
118 ringmnd 19242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
11965, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1201193ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
121 simp3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
122973ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐾)
123121, 122, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾)
124 elequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑑𝑒𝑑))
125124biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒) → 𝑒𝑑)
12694, 125nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
1271263ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒))
12840, 41, 62mndifsplit 21180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑏 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ ¬ (𝑏𝑑𝑏 = 𝑒)) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
129120, 123, 127, 128syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if((𝑏𝑑𝑏 = 𝑒), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
130117, 129syl5eq 2873 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))))
131105adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑏 = 𝑒) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = 𝑒 / 𝑖𝑋)
132131ifeq1da 4500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
133 ovif2 7246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)))
134 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1r𝑅) = (1r𝑅)
13540, 88, 134ringridm 19258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13665, 99, 135syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑒 / 𝑖𝑋)
13740, 88, 41ringrz 19274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
13865, 99, 137syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
139136, 138ifeq12d 4490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (𝑒 / 𝑖𝑋 · (1r𝑅)), (𝑒 / 𝑖𝑋 · (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
140133, 139syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, 𝑒 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
141132, 140eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))))
142141oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
1431423ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)if(𝑏 = 𝑒, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
144130, 143eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
145144ifeq1d 4488 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))
146145mpoeq3dva 7225 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏))))
147146fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))))
14840, 41ring0cl 19255 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
14965, 148syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
1501493ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (0g𝑅) ∈ 𝐾)
151123, 150ifcld 4515 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15240, 134ringidcl 19254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
15365, 152syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
154153, 149ifcld 4515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
15540, 88ringcl 19247 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑒 / 𝑖𝑋𝐾 ∧ if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15665, 99, 154, 155syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
1571563ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐾)
15851adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
159158fovrnda 7313 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑎𝑁𝑏𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
1601593impb 1109 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
16139, 40, 62, 63, 68, 151, 157, 160, 101mdetrlin2 21151 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))))
1621543ad2ant1 1127 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ 𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝐾)
16339, 40, 88, 63, 68, 162, 160, 99, 101mdetrsca2 21148 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
16443adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → 𝑀𝐵)
16544, 39, 78, 45, 134, 41maducoeval 21183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀𝐵𝑒𝑁𝐿𝑁) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
166164, 96, 101, 165syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒(𝐽𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
167166oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
168163, 167eqtr4d 2864 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿)))
169168oveq2d 7166 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (𝑒 / 𝑖𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r𝑅), (0g𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))) = ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))))
170147, 161, 1693eqtrrd 2866 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
171170adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g𝑅)(𝑒 / 𝑖𝑋 · (𝑒(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
172109, 111, 1713eqtrd 2865 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
173172ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑑𝑁𝑒 ∈ (𝑁𝑑))) → ((𝑅 Σg (𝑏𝑑 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑑, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
1748, 16, 24, 32, 61, 173, 48findcard2d 8754 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
175 nfcv 2982 . . . 4 𝑏(𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))
176 nfcsb1v 3911 . . . . 5 𝑖𝑏 / 𝑖𝑋
177 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖 ·
178 nfcv 2982 . . . . 5 𝑖(𝑏(𝐽𝑀)𝐿)
179176, 177, 178nfov 7180 . . . 4 𝑖(𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
180 csbeq1a 3901 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
181 oveq1 7157 . . . . 5 (𝑖 = 𝑏 → (𝑖(𝐽𝑀)𝐿) = (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))
182180, 181oveq12d 7168 . . . 4 (𝑖 = 𝑏 → (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)) = (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
183175, 179, 182cbvmpt 5164 . . 3 (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿))) = (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿)))
184183oveq2i 7161 . 2 (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏𝑁 ↦ (𝑏 / 𝑖𝑋 · (𝑏(𝐽𝑀)𝐿))))
185 nfcv 2982 . . . . 5 𝑎if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
186 nfcv 2982 . . . . 5 𝑏if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
187 nfcv 2982 . . . . 5 𝑗if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
188 nfv 1908 . . . . . 6 𝑖 𝑎 = 𝐿
189 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑖(𝑎𝑀𝑏)
190188, 176, 189nfif 4499 . . . . 5 𝑖if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
191 eqeq1 2830 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
192191adantr 481 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗 = 𝐿𝑎 = 𝐿))
193180adantl 482 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → 𝑋 = 𝑏 / 𝑖𝑋)
194 oveq12 7159 . . . . . 6 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → (𝑗𝑀𝑖) = (𝑎𝑀𝑏))
195192, 193, 194ifbieq12d 4497 . . . . 5 ((𝑗 = 𝑎𝑖 = 𝑏) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)) = if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
196185, 186, 187, 190, 195cbvmpo 7242 . . . 4 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
197 iftrue 4476 . . . . . . . 8 (𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)) = 𝑏 / 𝑖𝑋)
198197eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝑏𝑁𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
199198adantl 482 . . . . . 6 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝑏 / 𝑖𝑋 = if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)))
200199ifeq1d 4488 . . . . 5 ((𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
201200mpoeq3ia 7226 . . . 4 (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, 𝑏 / 𝑖𝑋, (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
202196, 201eqtri 2849 . . 3 (𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
203202fveq2i 6672 . 2 (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))) = (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏𝑁, 𝑏 / 𝑖𝑋, (0g𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
204174, 184, 2033eqtr4g 2886 1 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗𝑁, 𝑖𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  csb 3887  cdif 3937  cun 3938  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470  {csn 4564  cmpt 5143   × cxp 5552  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cmpo 7152  m cmap 8401  Fincfn 8503  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  CMndccmn 18842  1rcur 19187  Ringcrg 19233  CRingccrg 19234   Mat cmat 20951   maDet cmdat 21128   maAdju cmadu 21176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-xor 1498  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-word 13857  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-gim 18344  df-cntz 18392  df-oppg 18419  df-symg 18441  df-pmtr 18506  df-psgn 18555  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-cnfld 20481  df-zring 20553  df-zrh 20586  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-mat 20952  df-mdet 21129  df-madu 21178
This theorem is referenced by:  madurid  21188  mdetlap1  30996
  Copyright terms: Public domain W3C validator