Theorem madugsum 21248

Description: The determinant of a matrix with a row 𝐿 consisting of the same element 𝑋 is the sum of the elements of the 𝐿-th column of the adjunct of the matrix multiplied with 𝑋. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
maduf.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
maduf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
madugsum.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
madugsum.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
madugsum.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
madugsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
madugsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
madugsum.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
madugsum.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
madugsum	⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐽   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑗,𝑋   · ,𝑖   𝑖,𝐿,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   · (𝑗)   𝐽(𝑗)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem madugsum

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))
2	1	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))))
3		eleq2 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝑏 ∈ 𝑐 ↔ 𝑏 ∈ ∅))
4	3	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ∅ → if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
5	4	ifeq1d 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ∅ → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
6	5	mpoeq3dv 7212	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
7	6	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
8	2, 7	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
9		mpteq1 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))
10	9	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))))
11		eleq2 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑏 ∈ 𝑐 ↔ 𝑏 ∈ 𝑑))
12	11	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
13	12	ifeq1d 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
14	13	mpoeq3dv 7212	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
15	14	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
16	10, 15	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
17		mpteq1 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))
18	17	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))))
19		eleq2 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑏 ∈ 𝑐 ↔ 𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒})))
20	19	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
21	20	ifeq1d 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
22	21	mpoeq3dv 7212	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
23	22	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
24	18, 23	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑐 = (𝑑 ∪ {𝑒}) → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
25		mpteq1 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))
26	25	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))))
27		eleq2 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → (𝑏 ∈ 𝑐 ↔ 𝑏 ∈ 𝑁))
28	27	ifbid 4447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
29	28	ifeq1d 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
30	29	mpoeq3dv 7212	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
31	30	fveq2d 6649	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
32	26, 31	eqeq12d 2814	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑁 → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑐 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑐, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) ↔ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
33		mpt0 6462	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))) = ∅
34	33	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg ∅)
35		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
36	35	gsum0 17886	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Σg ∅) = (0g‘𝑅)
37	34, 36	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (0g‘𝑅)
38		noel 4247	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 𝑏 ∈ ∅
39		iffalse 4434	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑏 ∈ ∅ → if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
41	40	ifeq1d 4443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (0g‘𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
42	41	mpoeq3ia 7211	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g‘𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))
43	42	fveq2i 6648	. . . . 5 ⊢ (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g‘𝑅), (𝑎𝑀𝑏))))
44		madugsum.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
45		madugsum.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
46		madugsum.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
47		madugsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
48		maduf.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
49		maduf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
50	48, 49	matrcl 21017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
52	51	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
53	48, 45, 49	matbas2i 21027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
54		elmapi 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
55	47, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
56	55	fovrnda 7299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
57	56	3impb 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
58		madugsum.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑁)
59	44, 45, 35, 46, 52, 57, 58	mdetr0 21210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (0g‘𝑅), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g‘𝑅))
60	43, 59	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (0g‘𝑅))
61	37, 60	eqtr4id 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ ∅ ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ ∅, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
62		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
63	46	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑅 ∈ CRing)
64		crngring 19302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑅 ∈ Ring)
66		ringcmn 19327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑅 ∈ CMnd)
68	52	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑁 ∈ Fin)
69		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑑 ⊆ 𝑁)
70	68, 69	ssfid 8725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑑 ∈ Fin)
71	65	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → 𝑅 ∈ Ring)
72	69	sselda 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → 𝑏 ∈ 𝑁)
73		madugsum.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐾)
74	73	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾)
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾)
76		rspcsbela 4343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾) → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾)
77	72, 75, 76	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾)
78		maduf.j	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑅)
79	48, 78, 49	maduf 21246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
80	46, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽:𝐵⟶𝐵)
81	80, 47	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵)
82	48, 45, 49	matbas2i 21027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽‘𝑀) ∈ 𝐵 → (𝐽‘𝑀) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
83		elmapi 8411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽‘𝑀) ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) → (𝐽‘𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
84	81, 82, 83	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
85	84	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → (𝐽‘𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
86	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → 𝐿 ∈ 𝑁)
87	85, 72, 86	fovrnd 7300	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
88		madugsum.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
89	45, 88	ringcl 19307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
90	71, 77, 87, 89	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑑) → (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
91		vex 3444	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑒 ∈ V
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑒 ∈ V)
93		eldifn 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑) → ¬ 𝑒 ∈ 𝑑)
94	93	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ¬ 𝑒 ∈ 𝑑)
95		eldifi 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑) → 𝑒 ∈ 𝑁)
96	95	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑒 ∈ 𝑁)
97	74	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾)
98		rspcsbela 4343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾) → ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾)
99	96, 97, 98	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾)
100	84	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝐽‘𝑀):(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
101	58	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝐿 ∈ 𝑁)
102	100, 96, 101	fovrnd 7300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐾)
103	45, 88	ringcl 19307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐾) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
104	65, 99, 102, 103	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿)) ∈ 𝐾)
105		csbeq1 3831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 = ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋)
106		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿) = (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))
107	105, 106	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)) = (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿)))
108	45, 62, 67, 70, 90, 92, 94, 104, 107	gsumunsn 19073	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))))
109	108	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))))
110		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))))
111	110	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))))
112		elun 4076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 ∈ {𝑒}))
113		velsn 4541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑒} ↔ 𝑏 = 𝑒)
114	113	orbi2i 910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 ∈ {𝑒}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒))
115	112, 114	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒))
116		ifbi 4446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒)) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if((𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
117	115, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if((𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))
118		ringmnd 19300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
119	65, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑅 ∈ Mnd)
120	119	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Mnd)
121		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → 𝑏 ∈ 𝑁)
122	97	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑋 ∈ 𝐾)
123	121, 122, 76	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾)
124		elequ1 2118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏 ∈ 𝑑 ↔ 𝑒 ∈ 𝑑))
125	124	biimpac 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑑 ∧ 𝑏 = 𝑒) → 𝑒 ∈ 𝑑)
126	94, 125	nsyl 142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑑 ∧ 𝑏 = 𝑒))
127	126	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ¬ (𝑏 ∈ 𝑑 ∧ 𝑏 = 𝑒))
128	45, 35, 62	mndifsplit 21241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾 ∧ ¬ (𝑏 ∈ 𝑑 ∧ 𝑏 = 𝑒)) → if((𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))))
129	120, 123, 127, 128	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if((𝑏 ∈ 𝑑 ∨ 𝑏 = 𝑒), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))))
130	117, 129	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))))
131	105	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑏 = 𝑒) → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 = ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋)
132	131	ifeq1da 4455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
133		ovif2 7231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (1r‘𝑅)), (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (0g‘𝑅)))
134		eqid 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
135	45, 88, 134	ringridm 19318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (1r‘𝑅)) = ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋)
136	65, 99, 135	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (1r‘𝑅)) = ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋)
137	45, 88, 35	ringrz 19334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
138	65, 99, 137	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
139	136, 138	ifeq12d 4445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (1r‘𝑅)), (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (0g‘𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
140	133, 139	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
141	132, 140	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
142	141	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
143	142	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)if(𝑏 = 𝑒, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
144	130, 143	eqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
145	144	ifeq1d 4443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))
146	145	mpoeq3dva 7210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏))))
147	146	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))))
148	45, 35	ring0cl 19315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ 𝐾)
149	65, 148	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐾)
150	149	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐾)
151	123, 150	ifcld 4470	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ 𝐾)
152	45, 134	ringidcl 19314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
153	65, 152	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
154	153, 149	ifcld 4470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐾)
155	45, 88	ringcl 19307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 ∈ 𝐾 ∧ if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐾) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐾)
156	65, 99, 154, 155	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐾)
157	156	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐾)
158	55	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑀:(𝑁 × 𝑁)⟶𝐾)
159	158	fovrnda 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ (𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁)) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
160	159	3impb 1112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → (𝑎𝑀𝑏) ∈ 𝐾)
161	44, 45, 62, 63, 68, 151, 157, 160, 101	mdetrlin2 21212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))), (𝑎𝑀𝑏)))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))))
162	154	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ 𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝐾)
163	44, 45, 88, 63, 68, 162, 160, 99, 101	mdetrsca2 21209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
164	47	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → 𝑀 ∈ 𝐵)
165	48, 44, 78, 49, 134, 35	maducoeval 21244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
166	164, 96, 101, 165	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
167	166	oveq2d 7151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿)) = (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
168	163, 167	eqtr4d 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (𝑎𝑀𝑏)))) = (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿)))
169	168	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, (⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · if(𝑏 = 𝑒, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))), (𝑎𝑀𝑏))))) = ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))))
170	147, 161, 169	3eqtrrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
171	170	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → ((𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))(+g‘𝑅)(⦋𝑒 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑒(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
172	109, 111, 171	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) ∧ (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
173	172	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 ⊆ 𝑁 ∧ 𝑒 ∈ (𝑁 ∖ 𝑑))) → ((𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑑 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑑, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))) → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}) ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ (𝑑 ∪ {𝑒}), ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))))
174	8, 16, 24, 32, 61, 173, 52	findcard2d 8744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))))
175		nfcv 2955	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿))
176		nfcsb1v 3852	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋
177		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖 ·
178		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)
179	176, 177, 178	nfov 7165	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖(⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))
180		csbeq1a 3842	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑋 = ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋)
181		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿) = (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))
182	180, 181	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → (𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿)) = (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))
183	175, 179, 182	cbvmpt 5131	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿))) = (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿)))
184	183	oveq2i 7146	. 2 ⊢ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝑅 Σg (𝑏 ∈ 𝑁 ↦ (⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 · (𝑏(𝐽‘𝑀)𝐿))))
185		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑎if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
186		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))
187		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
188		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑎 = 𝐿
189		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑎𝑀𝑏)
190	188, 176, 189	nfif 4454	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏))
191		eqeq1 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑎 → (𝑗 = 𝐿 ↔ 𝑎 = 𝐿))
192	191	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 = 𝑎 ∧ 𝑖 = 𝑏) → (𝑗 = 𝐿 ↔ 𝑎 = 𝐿))
193	180	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 = 𝑎 ∧ 𝑖 = 𝑏) → 𝑋 = ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋)
194		oveq12 7144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 = 𝑎 ∧ 𝑖 = 𝑏) → (𝑗𝑀𝑖) = (𝑎𝑀𝑏))
195	192, 193, 194	ifbieq12d 4452	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 = 𝑎 ∧ 𝑖 = 𝑏) → if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)) = if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
196	185, 186, 187, 190, 195	cbvmpo 7227	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏)))
197		iftrue 4431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑁 → if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)) = ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋)
198	197	eqcomd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑁 → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 = if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
199	198	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋 = if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)))
200	199	ifeq1d 4443	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ 𝑁) → if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏)) = if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
201	200	mpoeq3ia 7211	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (𝑎𝑀𝑏))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
202	196, 201	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖))) = (𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏)))
203	202	fveq2i 6648	. 2 ⊢ (𝐷‘(𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))) = (𝐷‘(𝑎 ∈ 𝑁, 𝑏 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐿, if(𝑏 ∈ 𝑁, ⦋𝑏 / 𝑖⦌𝑋, (0g‘𝑅)), (𝑎𝑀𝑏))))
204	174, 184, 203	3eqtr4g 2858	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑋 · (𝑖(𝐽‘𝑀)𝐿)))) = (𝐷‘(𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐿, 𝑋, (𝑗𝑀𝑖)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ⦋csb 3828   ∖ cdif 3878   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ifcif 4425  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Mndcmnd 17903  CMndccmn 18898  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   Mat cmat 21012   maDet cmdat 21189   maAdju cmadu 21237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-gim 18391  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-symg 18488  df-pmtr 18562  df-psgn 18611  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-subrg 19526  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-mat 21013  df-mdet 21190  df-madu 21239

This theorem is referenced by:  madurid  21249  mdetlap1  31179