MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsetcdmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsetcdmex 8880
Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsetcdmex ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex
StepHypRef Expression
1 fsetex 8873 . 2 (𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2 fsetprcnex 8879 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
32ex 411 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
4 df-nel 3037 . . . 4 (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5 df-nel 3037 . . . 4 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
63, 4, 53imtr3g 294 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
76con4d 115 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
81, 7impbid2 225 1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  {cab 2702  wne 2930  wnel 3036  Vcvv 3463  c0 4318  wf 6539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-map 8845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator