Theorem fsetcdmex 8807

Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetcdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8800	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		fsetprcnex 8806	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
3	2	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
4		df-nel 3040	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5		df-nel 3040	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
6	3, 4, 5	3imtr3g 296	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))
7	6	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
8	1, 7	impbid2 227	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  {cab 2718   ≠ wne 2935   ∉ wnel 3039  Vcvv 3432  ∅c0 4268  ⟶wf 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-map 8772

This theorem is referenced by: (None)