Theorem fsetcdmex 8651

Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetcdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8644	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		fsetprcnex 8650	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
3	2	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
4		df-nel 3050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5		df-nel 3050	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
6	3, 4, 5	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))
7	6	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
8	1, 7	impbid2 225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  Vcvv 3432  ∅c0 4256  ⟶wf 6429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617

This theorem is referenced by: (None)