Theorem fsetcdmex 8921

Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetcdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8914	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		fsetprcnex 8920	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
4		df-nel 3053	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5		df-nel 3053	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
6	3, 4, 5	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))
7	6	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
8	1, 7	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946   ∉ wnel 3052  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ⟶wf 6569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886

This theorem is referenced by: (None)