MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsetcdmex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsetcdmex 8859
Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsetcdmex ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex
StepHypRef Expression
1 fsetex 8852 . 2 (𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2 fsetprcnex 8858 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
32ex 412 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
4 df-nel 3041 . . . 4 (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5 df-nel 3041 . . . 4 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
63, 4, 53imtr3g 295 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
76con4d 115 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
81, 7impbid2 225 1 ((𝐴𝑉𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2098  {cab 2703  wne 2934  wnel 3040  Vcvv 3468  c0 4317  wf 6533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator