Theorem fsetcdmex 8838

Description: The class of all functions from a nonempty set 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set . (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetcdmex	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem fsetcdmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetex 8831	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
2		fsetprcnex 8837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
3	2	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
4		df-nel 3031	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
5		df-nel 3031	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
6	3, 4, 5	3imtr3g 295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))
7	6	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → 𝐵 ∈ V))
8	1, 7	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∈ V ↔ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  {cab 2708   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  Vcvv 3450  ∅c0 4298  ⟶wf 6509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8803

This theorem is referenced by: (None)