Theorem fsetexb 8870

Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetexb	⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2		df-nel 3068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3		ioran 999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4		nnel 3077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5		df-ne 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	5	bicomi 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	anbi12i 640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9		fsetprcnex 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
10	9	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
11	8, 10	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
12	2, 11	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
13	12	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
14	1, 13	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
15		df-nel 3068	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
16	14, 15	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
17	16	con4i 115	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18		df-3or 1104	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
19	17, 18	sylibr 237	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20		fsetdmprc0 8861	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21		ffn 6712	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
22	21	ss2abi 4023	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴}
23		sseq0 4364	. . . . . 6 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
24	22, 23	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
25		0ex 5275	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	eqeltrdi 2874	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
27	20, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
28		feq2 6691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
29	28	abbidv 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵})
30		fset0 8860	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
31	29, 30	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {∅})
32		p0ex 5360	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
33	31, 32	eqeltrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
34		fsetex 8862	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
35	27, 33, 34	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
36	19, 35	impbii 212	1 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744   ≠ wne 2961   ∉ wnel 3067  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835

This theorem is used by: (None)