Theorem fsetexb 8849

Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetexb	⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 999	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2		df-nel 3065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3		ioran 999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4		nnel 3074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5		df-ne 2961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	5	bicomi 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	anbi12i 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9		fsetprcnex 8847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
10	9	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
11	8, 10	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
12	2, 11	biimtrrid 246	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
13	12	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
14	1, 13	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
15		df-nel 3065	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
16	14, 15	sylib 221	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
17	16	con4i 115	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18		df-3or 1102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
19	17, 18	sylibr 237	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20		fsetdmprc0 8840	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21		ffn 6695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
22	21	ss2abi 4022	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴}
23		sseq0 4360	. . . . . 6 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
24	22, 23	mpan 702	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
25		0ex 5262	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
27	20, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
28		feq2 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
29	28	abbidv 2831	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵})
30		fset0 8839	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
31	29, 30	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {∅})
32		p0ex 5346	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
33	31, 32	eqeltrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
34		fsetex 8841	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
35	27, 33, 34	3jaoi 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
36	19, 35	impbii 212	1 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {cab 2743   ≠ wne 2960   ∉ wnel 3064  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814

This theorem is referenced by: (None)