MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsetexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsetexb 8860
Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsetexb ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb
StepHypRef Expression
1 ioran 980 . . . . . 6 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2 df-nel 3045 . . . . . . . 8 (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3 ioran 980 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4 nnel 3054 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
65bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
74, 6anbi12i 625 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
83, 7bitri 274 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9 fsetprcnex 8858 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
109ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
118, 10sylbi 216 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
122, 11biimtrrid 242 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
1312imp 405 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
141, 13sylbi 216 . . . . 5 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
15 df-nel 3045 . . . . 5 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1614, 15sylib 217 . . . 4 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1716con4i 114 . . 3 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18 df-3or 1086 . . 3 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
1917, 18sylibr 233 . 2 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20 fsetdmprc0 8851 . . . 4 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21 ffn 6716 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2221ss2abi 4062 . . . . . 6 {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴}
23 sseq0 4398 . . . . . 6 (({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
2422, 23mpan 686 . . . . 5 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
25 0ex 5306 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25eqeltrdi 2839 . . . 4 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2720, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
28 feq2 6698 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴𝐵𝑓:∅⟶𝐵))
2928abbidv 2799 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {𝑓𝑓:∅⟶𝐵})
30 fset0 8850 . . . . 5 {𝑓𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
3129, 30eqtrdi 2786 . . . 4 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {∅})
32 p0ex 5381 . . . 4 {∅} ∈ V
3331, 32eqeltrdi 2839 . . 3 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
34 fsetex 8852 . . 3 (𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3527, 33, 343jaoi 1425 . 2 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3619, 35impbii 208 1 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3o 1084   = wceq 1539  wcel 2104  {cab 2707  wne 2938  wnel 3044  Vcvv 3472  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   Fn wfn 6537  wf 6538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator