Theorem fsetexb 8889

Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetexb	⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 981	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2		df-nel 3044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3		ioran 981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4		nnel 3053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	5	bicomi 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	anbi12i 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9		fsetprcnex 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
10	9	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
11	8, 10	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
12	2, 11	biimtrrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
13	12	imp 405	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
14	1, 13	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
15		df-nel 3044	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
16	14, 15	sylib 217	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
17	16	con4i 114	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18		df-3or 1085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
19	17, 18	sylibr 233	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20		fsetdmprc0 8880	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21		ffn 6727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
22	21	ss2abi 4063	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴}
23		sseq0 4403	. . . . . 6 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
24	22, 23	mpan 688	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
25		0ex 5311	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	eqeltrdi 2837	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
27	20, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
28		feq2 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
29	28	abbidv 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵})
30		fset0 8879	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
31	29, 30	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {∅})
32		p0ex 5388	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
33	31, 32	eqeltrdi 2837	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
34		fsetex 8881	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
35	27, 33, 34	3jaoi 1424	. 2 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
36	19, 35	impbii 208	1 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2705   ≠ wne 2937   ∉ wnel 3043  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  {csn 4632   Fn wfn 6548  ⟶wf 6549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8853

This theorem is referenced by: (None)