MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsetexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsetexb 8805
Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsetexb ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb
StepHypRef Expression
1 ioran 983 . . . . . 6 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2 df-nel 3047 . . . . . . . 8 (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3 ioran 983 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4 nnel 3055 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
65bicomi 223 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
74, 6anbi12i 628 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
83, 7bitri 275 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9 fsetprcnex 8803 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
109ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
118, 10sylbi 216 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
122, 11biimtrrid 242 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
1312imp 408 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
141, 13sylbi 216 . . . . 5 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
15 df-nel 3047 . . . . 5 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1614, 15sylib 217 . . . 4 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1716con4i 114 . . 3 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18 df-3or 1089 . . 3 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
1917, 18sylibr 233 . 2 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20 fsetdmprc0 8796 . . . 4 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21 ffn 6669 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2221ss2abi 4024 . . . . . 6 {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴}
23 sseq0 4360 . . . . . 6 (({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
2422, 23mpan 689 . . . . 5 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
25 0ex 5265 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25eqeltrdi 2842 . . . 4 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2720, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
28 feq2 6651 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴𝐵𝑓:∅⟶𝐵))
2928abbidv 2802 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {𝑓𝑓:∅⟶𝐵})
30 fset0 8795 . . . . 5 {𝑓𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
3129, 30eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {∅})
32 p0ex 5340 . . . 4 {∅} ∈ V
3331, 32eqeltrdi 2842 . . 3 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
34 fsetex 8797 . . 3 (𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3527, 33, 343jaoi 1428 . 2 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3619, 35impbii 208 1 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wne 2940  wnel 3046  Vcvv 3444  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   Fn wfn 6492  wf 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-map 8770
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator