Theorem fsetexb 8610

Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fsetexb	⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 980	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2		df-nel 3049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3		ioran 980	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4		nnel 3057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5		df-ne 2943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
6	5	bicomi 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
7	4, 6	anbi12i 626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
8	3, 7	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9		fsetprcnex 8608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
10	9	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
11	8, 10	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
12	2, 11	syl5bir 242	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V))
13	12	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
14	1, 13	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V)
15		df-nel 3049	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
16	14, 15	sylib 217	. . . 4 ⊢ (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
17	16	con4i 114	. . 3 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18		df-3or 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
19	17, 18	sylibr 233	. 2 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20		fsetdmprc0 8601	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21		ffn 6584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
22	21	ss2abi 3996	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴}
23		sseq0 4330	. . . . . 6 ⊢ (({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
24	22, 23	mpan 686	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = ∅)
25		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	eqeltrdi 2847	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
27	20, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∉ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
28		feq2 6566	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝑓:∅⟶𝐵))
29	28	abbidv 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵})
30		fset0 8600	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
31	29, 30	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} = {∅})
32		p0ex 5302	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ V
33	31, 32	eqeltrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
34		fsetex 8602	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ V → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
35	27, 33, 34	3jaoi 1425	. 2 ⊢ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V)
36	19, 35	impbii 208	1 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ≠ wne 2942   ∉ wnel 3048  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

This theorem is referenced by: (None)