MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsetexb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsetexb 8903
Description: The class of all functions from a class 𝐴 into a class 𝐵 is a set iff 𝐵 is a set or 𝐴 is not a set or 𝐴 is empty. (Contributed by AV, 15-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
fsetexb ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem fsetexb
StepHypRef Expression
1 ioran 985 . . . . . 6 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V))
2 df-nel 3045 . . . . . . . 8 (𝐵 ∉ V ↔ ¬ 𝐵 ∈ V)
3 ioran 985 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅))
4 nnel 3054 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∉ V ↔ 𝐴 ∈ V)
5 df-ne 2939 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
65bicomi 224 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅)
74, 6anbi12i 628 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∉ V ∧ ¬ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
83, 7bitri 275 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅))
9 fsetprcnex 8901 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∉ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
109ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
118, 10sylbi 217 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (𝐵 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
122, 11biimtrrid 243 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) → (¬ 𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V))
1312imp 406 . . . . . 6 ((¬ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∧ ¬ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
141, 13sylbi 217 . . . . 5 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V)
15 df-nel 3045 . . . . 5 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∉ V ↔ ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1614, 15sylib 218 . . . 4 (¬ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V) → ¬ {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
1716con4i 114 . . 3 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
18 df-3or 1087 . . 3 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) ↔ ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅) ∨ 𝐵 ∈ V))
1917, 18sylibr 234 . 2 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V → (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
20 fsetdmprc0 8894 . . . 4 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅)
21 ffn 6737 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2221ss2abi 4077 . . . . . 6 {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴}
23 sseq0 4409 . . . . . 6 (({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ⊆ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} ∧ {𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
2422, 23mpan 690 . . . . 5 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = ∅)
25 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25eqeltrdi 2847 . . . 4 ({𝑓𝑓 Fn 𝐴} = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
2720, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∉ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
28 feq2 6718 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑓:𝐴𝐵𝑓:∅⟶𝐵))
2928abbidv 2806 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {𝑓𝑓:∅⟶𝐵})
30 fset0 8893 . . . . 5 {𝑓𝑓:∅⟶𝐵} = {∅}
3129, 30eqtrdi 2791 . . . 4 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} = {∅})
32 p0ex 5390 . . . 4 {∅} ∈ V
3331, 32eqeltrdi 2847 . . 3 (𝐴 = ∅ → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
34 fsetex 8895 . . 3 (𝐵 ∈ V → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3527, 33, 343jaoi 1427 . 2 ((𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V) → {𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V)
3619, 35impbii 209 1 ({𝑓𝑓:𝐴𝐵} ∈ V ↔ (𝐴 ∉ V ∨ 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wnel 3044  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   Fn wfn 6558  wf 6559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator