Theorem resiexd 7171

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6531	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7170	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   I cid 5525   ↾ cres 5633  Fun wfun 6493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  setcid  18053  estrcid  18100  funcestrcsetclem5  18110  funcsetcestrclem5  18125  funcrngcsetc  20617  funcrngcsetcALT  20618  funcringcsetc  20651  cusgrsize  29523  fzo0pmtrlast  33153  tocycfv  33170  tocycf  33178  lindspropd  33443  rclexi  44042  cnvrcl0  44052  dfrtrcl5  44056  relexp01min  44140  fundcmpsurbijinjpreimafv  47861  fundcmpsurinjALT  47866  ushggricedg  48397  stgrvtx  48424  stgriedg  48425  grlicref  48482  gpgvtx  48513  gpgiedg  48514  uspgrsprfo  48618  rhmsubcALTVlem3  48753  funcringcsetcALTV2lem4  48763  funcringcsetcALTV2lem5  48764  funcringcsetclem4ALTV  48786  funcringcsetclem5ALTV  48787  itcoval0  49132  itcoval1  49133