Theorem resiexd 7214

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6564	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7213	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   I cid 5545   ↾ cres 5653  Fun wfun 6525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539

This theorem is used by:  setcid  18241  estrcid  18288  funcestrcsetclem5  18298  funcsetcestrclem5  18313  funcrngcsetc  20872  funcrngcsetcALT  20873  funcringcsetc  20906  cusgrsize  30017  fzo0pmtrlast  33635  tocycfv  33652  tocycf  33660  lindspropd  33920  rclexi  44574  cnvrcl0  44584  dfrtrcl5  44588  relexp01min  44672  fundcmpsurbijinjpreimafv  48433  fundcmpsurinjALT  48438  ushggricedg  48969  stgrvtx  48996  stgriedg  48997  grlicref  49054  gpgvtx  49085  gpgiedg  49086  uspgrsprfo  49190  rhmsubcALTVlem3  49324  funcringcsetcALTV2lem4  49334  funcringcsetcALTV2lem5  49335  funcringcsetclem4ALTV  49357  funcringcsetclem5ALTV  49358  itcoval0  49718  itcoval1  49719