Theorem resiexd 7221

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6575	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7220	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   I cid 5560   ↾ cres 5668  Fun wfun 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551

This theorem is used by:  setcid  18168  estrcid  18215  funcestrcsetclem5  18225  funcsetcestrclem5  18240  funcrngcsetc  20776  funcrngcsetcALT  20777  funcringcsetc  20810  cusgrsize  29841  fzo0pmtrlast  33443  tocycfv  33460  tocycf  33468  lindspropd  33727  rclexi  44382  cnvrcl0  44392  dfrtrcl5  44396  relexp01min  44480  fundcmpsurbijinjpreimafv  48197  fundcmpsurinjALT  48202  ushggricedg  48733  stgrvtx  48760  stgriedg  48761  grlicref  48818  gpgvtx  48849  gpgiedg  48850  uspgrsprfo  48954  rhmsubcALTVlem3  49089  funcringcsetcALTV2lem4  49099  funcringcsetcALTV2lem5  49100  funcringcsetclem4ALTV  49122  funcringcsetclem5ALTV  49123  itcoval0  49483  itcoval1  49484