Theorem resiexd 7223

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6573	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7222	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   I cid 5544   ↾ cres 5652  Fun wfun 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547

This theorem is used by:  setcid  18267  estrcid  18314  funcestrcsetclem5  18324  funcsetcestrclem5  18339  funcrngcsetc  20898  funcrngcsetcALT  20899  funcringcsetc  20932  cusgrsize  30041  fzo0pmtrlast  33700  tocycfv  33717  tocycf  33725  lindspropd  33985  rclexi  44709  cnvrcl0  44719  dfrtrcl5  44723  relexp01min  44807  fundcmpsurbijinjpreimafv  48583  fundcmpsurinjALT  48588  ushggricedg  49119  stgrvtx  49146  stgriedg  49147  grlicref  49204  gpgvtx  49235  gpgiedg  49236  uspgrsprfo  49340  rhmsubcALTVlem3  49474  funcringcsetcALTV2lem4  49484  funcringcsetcALTV2lem5  49485  funcringcsetclem4ALTV  49507  funcringcsetclem5ALTV  49508  itcoval0  49868  itcoval1  49869