Theorem resiexd 7219

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6569	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7218	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   I cid 5553   ↾ cres 5661  Fun wfun 6531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is used by:  setcid  18181  estrcid  18228  funcestrcsetclem5  18238  funcsetcestrclem5  18253  funcrngcsetc  20808  funcrngcsetcALT  20809  funcringcsetc  20842  cusgrsize  29922  fzo0pmtrlast  33540  tocycfv  33557  tocycf  33565  lindspropd  33824  rclexi  44463  cnvrcl0  44473  dfrtrcl5  44477  relexp01min  44561  fundcmpsurbijinjpreimafv  48315  fundcmpsurinjALT  48320  ushggricedg  48851  stgrvtx  48878  stgriedg  48879  grlicref  48936  gpgvtx  48967  gpgiedg  48968  uspgrsprfo  49072  rhmsubcALTVlem3  49206  funcringcsetcALTV2lem4  49216  funcringcsetcALTV2lem5  49217  funcringcsetclem4ALTV  49239  funcringcsetclem5ALTV  49240  itcoval0  49600  itcoval1  49601