Theorem resiexd 7216

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6570	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7215	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 598	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   I cid 5557   ↾ cres 5665  Fun wfun 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  setcid  18144  estrcid  18191  funcestrcsetclem5  18201  funcsetcestrclem5  18216  funcrngcsetc  20726  funcrngcsetcALT  20727  funcringcsetc  20760  cusgrsize  29782  fzo0pmtrlast  33390  tocycfv  33407  tocycf  33415  lindspropd  33674  rclexi  44321  cnvrcl0  44331  dfrtrcl5  44335  relexp01min  44419  fundcmpsurbijinjpreimafv  48133  fundcmpsurinjALT  48138  ushggricedg  48669  stgrvtx  48696  stgriedg  48697  grlicref  48754  gpgvtx  48785  gpgiedg  48786  uspgrsprfo  48890  rhmsubcALTVlem3  49025  funcringcsetcALTV2lem4  49035  funcringcsetcALTV2lem5  49036  funcringcsetclem4ALTV  49058  funcringcsetclem5ALTV  49059  itcoval0  49419  itcoval1  49420