Theorem resiexd 7248

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6595	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7247	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   I cid 5550   ↾ cres 5658  Fun wfun 6555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569

This theorem is used by:  setcid  18293  estrcid  18340  funcestrcsetclem5  18350  funcsetcestrclem5  18365  funcrngcsetc  20925  funcrngcsetcALT  20926  funcringcsetc  20959  cusgrsize  30068  fzo0pmtrlast  33729  tocycfv  33746  tocycf  33754  lindspropd  34022  rclexi  44818  cnvrcl0  44828  dfrtrcl5  44832  relexp01min  44916  fundcmpsurbijinjpreimafv  48704  fundcmpsurinjALT  48709  ushggricedg  49240  stgrvtx  49267  stgriedg  49268  grlicref  49325  gpgvtx  49356  gpgiedg  49357  uspgrsprfo  49461  rhmsubcALTVlem3  49595  funcringcsetcALTV2lem4  49605  funcringcsetcALTV2lem5  49606  funcringcsetclem4ALTV  49628  funcringcsetclem5ALTV  49629  itcoval0  49989  itcoval1  49990