Theorem resiexd 7204

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6557	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7203	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 598	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   I cid 5546   ↾ cres 5654  Fun wfun 6519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533

This theorem is referenced by:  setcid  18133  estrcid  18180  funcestrcsetclem5  18190  funcsetcestrclem5  18205  funcrngcsetc  20716  funcrngcsetcALT  20717  funcringcsetc  20750  cusgrsize  29713  fzo0pmtrlast  33325  tocycfv  33342  tocycf  33350  lindspropd  33612  rclexi  44203  cnvrcl0  44213  dfrtrcl5  44217  relexp01min  44301  fundcmpsurbijinjpreimafv  48011  fundcmpsurinjALT  48016  ushggricedg  48547  stgrvtx  48574  stgriedg  48575  grlicref  48632  gpgvtx  48663  gpgiedg  48664  uspgrsprfo  48768  rhmsubcALTVlem3  48903  funcringcsetcALTV2lem4  48913  funcringcsetcALTV2lem5  48914  funcringcsetclem4ALTV  48936  funcringcsetclem5ALTV  48937  itcoval0  49293  itcoval1  49294