Theorem resiexd 7145

Description: The restriction of the identity relation to a set is a set. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
resiexd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resiexd	⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem resiexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funi 6509	. 2 ⊢ Fun I
2		resiexd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		resfunexg 7144	. 2 ⊢ ((Fun I ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3434   I cid 5508   ↾ cres 5616  Fun wfun 6471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485

This theorem is referenced by:  setcid  17985  estrcid  18032  funcestrcsetclem5  18042  funcsetcestrclem5  18057  funcrngcsetc  20548  funcrngcsetcALT  20549  funcringcsetc  20582  cusgrsize  29426  fzo0pmtrlast  33051  tocycfv  33068  tocycf  33076  lindspropd  33338  rclexi  43627  cnvrcl0  43637  dfrtrcl5  43641  relexp01min  43725  fundcmpsurbijinjpreimafv  47417  fundcmpsurinjALT  47422  ushggricedg  47937  stgrvtx  47964  stgriedg  47965  grlicref  48022  gpgvtx  48053  gpgiedg  48054  uspgrsprfo  48158  rhmsubcALTVlem3  48293  funcringcsetcALTV2lem4  48303  funcringcsetcALTV2lem5  48304  funcringcsetclem4ALTV  48326  funcringcsetclem5ALTV  48327  itcoval0  48673  itcoval1  48674