Theorem fvn0elsupp 8179

Description: If the function value for a given argument is not empty, the argument belongs to the support of the function with the empty set as zero. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Revised by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fvn0elsupp	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Proof of Theorem fvn0elsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
3	1, 2	anim12i 624	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅))
4		simprl 782	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐺 Fn 𝐵)
5		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		0ex 5275	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → ∅ ∈ V)
8		elsuppfn 8169	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
10	3, 9	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  Vcvv 3462  ∅c0 4294   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   supp csupp 8159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-supp 8160

This theorem is referenced by:  fvn0elsuppb  8180  oemapvali  9656  cantnflem1c  9659