Theorem fvn0elsupp 8222

Description: If the function value for a given argument is not empty, the argument belongs to the support of the function with the empty set as zero. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Revised by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fvn0elsupp	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Proof of Theorem fvn0elsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
3	1, 2	anim12i 625	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅))
4		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐺 Fn 𝐵)
5		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		0ex 5264	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → ∅ ∈ V)
8		elsuppfn 8212	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
10	3, 9	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   supp csupp 8201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-supp 8202

This theorem is used by:  fvn0elsuppb  8223  oemapvali  9709  cantnflem1c  9712