Theorem fvn0elsupp 8159

Description: If the function value for a given argument is not empty, the argument belongs to the support of the function with the empty set as zero. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Revised by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fvn0elsupp	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Proof of Theorem fvn0elsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
3	1, 2	anim12i 612	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅))
4		simprl 768	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐺 Fn 𝐵)
5		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		0ex 5297	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → ∅ ∈ V)
8		elsuppfn 8150	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
10	3, 9	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466  ∅c0 4314   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-supp 8141

This theorem is referenced by:  fvn0elsuppb  8160  oemapvali  9675  cantnflem1c  9678