Theorem fvn0elsupp 8110

Description: If the function value for a given argument is not empty, the argument belongs to the support of the function with the empty set as zero. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Revised by AV, 4-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fvn0elsupp	⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Proof of Theorem fvn0elsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅) → (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)
3	1, 2	anim12i 613	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅))
4		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐺 Fn 𝐵)
5		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
6		0ex 5243	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → ∅ ∈ V)
8		elsuppfn 8100	. . 3 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → (𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)))
10	3, 9	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ ∅)) → 𝑋 ∈ (𝐺 supp ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4280   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-supp 8091

This theorem is referenced by:  fvn0elsuppb  8111  oemapvali  9574  cantnflem1c  9577