Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem4 46670
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 46671. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2 prex 5390 . . 3 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2830 . 2 𝐴 ∈ V
4 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5 prex 5390 . . 3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
64, 5eqeltri 2830 . 2 𝐵 ∈ V
7 2ne0 12262 . . . . 5 2 ≠ 0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
98fveq1i 6844 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 46665 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
12 2ex 12235 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
133, 12fvpr1 7140 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
1411, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
159, 14eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) = 2)
1615neeq1d 3000 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
177, 16mpbiri 258 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) ≠ 0)
1817orcd 872 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0))
19 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2019neeq1d 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 0))
21 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
2221neeq1d 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 0))
2320, 22rexprg 4658 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0)))
2418, 23mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0)
253, 6, 24mp2an 691 1 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3444  {cpr 4589  cop 4593  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057  -cneg 11391  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  6c6 12217  ringczring 20885   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-2 12221  df-3 12222
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  46671
  Copyright terms: Public domain W3C validator