Theorem zlmodzxzldeplem4 48786

Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 48787. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem4	⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2		prex 5381	. . 3 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2831	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5		prex 5381	. . 3 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2831	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		2ne0 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
9	8	fveq1i 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
11	10, 1, 4	zlmodzxzldeplem 48781	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
12		2ex 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
13	3, 12	fvpr1 7138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
14	11, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
15	9, 14	eqtrid 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) = 2)
16	15	neeq1d 2990	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
17	7, 16	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)
18	17	orcd 874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
19		fveq2 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
20	19	neeq1d 2990	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
21		fveq2 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
22	21	neeq1d 2990	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
23	20, 22	rexprg 4653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0)))
24	18, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0)
25	3, 6, 24	mp2an 693	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∃wrex 3059  Vcvv 3439  {cpr 4581  ⟨cop 4585  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  -cneg 11367  2c2 12202  3c3 12203  4c4 12204  6c6 12206  ℤ_ringczring 21403   freeLMod cfrlm 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48787