Theorem zlmodzxzldeplem4 47494

Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 47495. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem4	⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2		prex 5428	. . 3 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5		prex 5428	. . 3 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2824	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		2ne0 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
9	8	fveq1i 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
11	10, 1, 4	zlmodzxzldeplem 47489	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
12		2ex 12311	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
13	3, 12	fvpr1 7196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
14	11, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
15	9, 14	eqtrid 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) = 2)
16	15	neeq1d 2995	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
17	7, 16	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)
18	17	orcd 872	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
19		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
20	19	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
21		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
22	21	neeq1d 2995	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
23	20, 22	rexprg 4696	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0)))
24	18, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0)
25	3, 6, 24	mp2an 691	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  Vcvv 3469  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  -cneg 11467  2c2 12289  3c3 12290  4c4 12291  6c6 12293  ℤ_ringczring 21359   freeLMod cfrlm 21667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-2 12297  df-3 12298

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  47495