Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem4 48420
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 48421. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2 prex 5437 . . 3 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2837 . 2 𝐴 ∈ V
4 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5 prex 5437 . . 3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
64, 5eqeltri 2837 . 2 𝐵 ∈ V
7 2ne0 12370 . . . . 5 2 ≠ 0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
98fveq1i 6907 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 48415 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
12 2ex 12343 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
133, 12fvpr1 7212 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
1411, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
159, 14eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) = 2)
1615neeq1d 3000 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
177, 16mpbiri 258 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) ≠ 0)
1817orcd 874 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0))
19 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2019neeq1d 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 0))
21 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
2221neeq1d 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 0))
2320, 22rexprg 4697 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0)))
2418, 23mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0)
253, 6, 24mp2an 692 1 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  {cpr 4628  cop 4632  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  6c6 12325  ringczring 21457   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-2 12329  df-3 12330
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48421
  Copyright terms: Public domain W3C validator