Theorem zlmodzxzldeplem4 48997

Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 48998. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem4	⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2		prex 5377	. . 3 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2833	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5		prex 5377	. . 3 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2833	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		2ne0 12280	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8		zlmodzxzldeplem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
9	8	fveq1i 6837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10		zlmodzxzldep.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
11	10, 1, 4	zlmodzxzldeplem 48992	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵
12		2ex 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
13	3, 12	fvpr1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
14	11, 13	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
15	9, 14	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) = 2)
16	15	neeq1d 2992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
17	7, 16	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹‘𝐴) ≠ 0)
18	17	orcd 874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
19		fveq2 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
20	19	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ 0))
21		fveq2 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
22	21	neeq1d 2992	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹‘𝐵) ≠ 0))
23	20, 22	rexprg 4642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹‘𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹‘𝐵) ≠ 0)))
24	18, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0)
25	3, 6, 24	mp2an 693	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹‘𝑦) ≠ 0

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  0cc0 11033  1c1 11034  -cneg 11373  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  6c6 12235  ℤ_ringczring 21440   freeLMod cfrlm 21740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48998