Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem4 48349
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 48350. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
2 prex 5443 . . 3 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . 2 𝐴 ∈ V
4 zlmodzxzldep.b . . 3 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5 prex 5443 . . 3 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
64, 5eqeltri 2835 . 2 𝐵 ∈ V
7 2ne0 12368 . . . . 5 2 ≠ 0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
98fveq1i 6908 . . . . . . 7 (𝐹𝐴) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 48344 . . . . . . . 8 𝐴𝐵
12 2ex 12341 . . . . . . . . 9 2 ∈ V
133, 12fvpr1 7212 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
1411, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝐴) = 2)
159, 14eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) = 2)
1615neeq1d 2998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0))
177, 16mpbiri 258 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐹𝐴) ≠ 0)
1817orcd 873 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0))
19 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
2019neeq1d 2998 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐴) ≠ 0))
21 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐵))
2221neeq1d 2998 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ (𝐹𝐵) ≠ 0))
2320, 22rexprg 4702 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0 ↔ ((𝐹𝐴) ≠ 0 ∨ (𝐹𝐵) ≠ 0)))
2418, 23mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0)
253, 6, 24mp2an 692 1 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝐹𝑦) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  {cpr 4633  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  -cneg 11491  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  6c6 12323  ringczring 21475   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-2 12327  df-3 12328
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  48350
  Copyright terms: Public domain W3C validator