Theorem goelel3xp 33289

Description: A "Godel-set of membership" is a member of a doubled Cartesian product. (Contributed by AV, 16-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goelel3xp	⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) ∈ (ω × (ω × ω)))

Proof of Theorem goelel3xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goel 33288	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) = ⟨∅, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩)
2		peano1 7723	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ∅ ∈ ω)
4		opelxpi 5625	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (ω × ω))
5	3, 4	opelxpd 5626	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ⟨∅, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩ ∈ (ω × (ω × ω)))
6	1, 5	eqeltrd 2840	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) ∈ (ω × (ω × ω)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∅c0 4261  ⟨cop 4572   × cxp 5586  (class class class)co 7268  ωcom 7700  ∈_𝑔cgoe 33274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-goel 33281

This theorem is referenced by:  satfv0  33299  satf00  33315