Theorem goelel3xp 36321

Description: A "Godel-set of membership" is a member of a doubled Cartesian product. (Contributed by AV, 16-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
goelel3xp	⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) ∈ (ω × (ω × ω)))

Proof of Theorem goelel3xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		goel 36320	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) = ⟨∅, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩)
2		peano1 7934	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ∅ ∈ ω)
4		opelxpi 5695	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (ω × ω))
5	3, 4	opelxpd 5697	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ⟨∅, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩ ∈ (ω × (ω × ω)))
6	1, 5	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝐼∈𝑔𝐽) ∈ (ω × (ω × ω)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  ⟨cop 4840   × cxp 5656  (class class class)co 7451  ωcom 7911  ∈_𝑔cgoe 36306

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-goel 36313

This theorem is used by:  satfv0  36331  satf00  36347