Theorem grpinv11 18972

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 8-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2		grpinv11.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpinv11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		grpinvinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvinv.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvinv 18970	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8		grpinv11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	4, 5	grpinvinv 18970	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	2, 8, 9	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
11	7, 10	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	1, 11	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
13		fveq2 6832	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
14	12, 13	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  Basecbs 17168  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902

This theorem is referenced by:  eqg0subg  19160  gexdvds  19548  dchrisum0re  27495  mapdpglem30  42159