Theorem grpinv11 19073

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 8-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2		grpinv11.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpinv11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		grpinvinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvinv.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvinv 19071	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8		grpinv11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	4, 5	grpinvinv 19071	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	2, 8, 9	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
11	7, 10	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	1, 11	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
13		fveq2 6881	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
14	12, 13	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Grpcgrp 18999  inv_gcminusg 19000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003

This theorem is referenced by:  eqg0subg  19266  gexdvds  19653  dchrisum0re  27653  mapdpglem30  42444