Theorem grpinv11 19180

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 8-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6873	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2		grpinv11.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpinv11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		grpinvinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvinv.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvinv 19178	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8		grpinv11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	4, 5	grpinvinv 19178	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	2, 8, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
11	7, 10	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	1, 11	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
13		fveq2 6873	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
14	12, 13	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  Basecbs 17349  Grpcgrp 19106  inv_gcminusg 19107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-minusg 19110

This theorem is used by:  eqg0subg  19373  gexdvds  19760  dchrisum0re  27804  mapdpglem30  42679