Theorem grpinv11 19025

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 8-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6856	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2		grpinv11.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpinv11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		grpinvinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvinv.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvinv 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8		grpinv11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	4, 5	grpinvinv 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	2, 8, 9	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
11	7, 10	eqeq12d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	1, 11	imbitrid 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
13		fveq2 6856	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
14	12, 13	impbid1 227	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-minusg 18955

This theorem is referenced by:  eqg0subg  19213  gexdvds  19600  dchrisum0re  27547  mapdpglem30  42274