Theorem grpinv11 19025

Description: The group inverse is one-to-one. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.) (Proof shortened by SN, 8-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
grpinv11.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
grpinv11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
grpinv11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
grpinv11	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem grpinv11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6906	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)))
2		grpinv11.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		grpinv11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		grpinvinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		grpinvinv.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvinv 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
8		grpinv11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	4, 5	grpinvinv 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
10	2, 8, 9	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
11	7, 10	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	1, 11	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
13		fveq2 6906	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌))
14	12, 13	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑁‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955

This theorem is referenced by:  eqg0subg  19214  gexdvds  19602  dchrisum0re  27557  mapdpglem30  41704