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Theorem gexdvds 19366
Description: The only 𝑁 that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexcl.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexid.3 · = (.g𝐺)
gexid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gexdvds ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝑥, ·

Proof of Theorem gexdvds
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gexcl.2 . . . . . 6 𝐸 = (gEx‘𝐺)
3 gexid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 gexid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
51, 2, 3, 4gexdvdsi 19365 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸𝑁) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
653expia 1121 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝐸𝑁 → (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
76ralrimdva 3151 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
87adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 → ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
9 noel 4290 . . . . . . 7 ¬ (abs‘𝑁) ∈ ∅
10 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)
1110eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ (abs‘𝑁) ∈ ∅))
12 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (𝑦 · 𝑥) = ((abs‘𝑁) · 𝑥))
1312eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (abs‘𝑁) → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1413ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (abs‘𝑁) → (∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1514elrab 3645 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ))
1611, 15bitr3di 285 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 )))
1716rbaibd 541 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ((abs‘𝑁) ∈ ∅ ↔ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
189, 17mtbii 325 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) ∧ ∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ) → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
1918ex 413 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → ¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ))
20 nn0abscl 15197 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
2120ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
22 elnn0 12415 . . . . . . 7 ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
2423ord 862 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
2519, 24syld 47 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 → (abs‘𝑁) = 0))
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2726oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
2827eqeq1d 2738 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
29 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝑥) = (-𝑁 · 𝑥))
3029eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝑥) = 0 ))
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (invg𝐺) = (invg𝐺)
321, 3, 31mulgneg 18894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
33323expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (-𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)))
344, 31grpinvid 18808 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
3635eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0 = ((invg𝐺)‘ 0 ))
3733, 36eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 )))
38 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
391, 3mulgcl 18893 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
40393expa 1118 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁 · 𝑥) ∈ 𝑋)
411, 4grpidcl 18778 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
431, 31, 38, 40, 42grpinv11 18816 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝑥)) = ((invg𝐺)‘ 0 ) ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4437, 43bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((-𝑁 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
4530, 44sylan9bbr 511 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
46 zre 12503 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
4746ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847absord 15300 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
4928, 45, 48mpjaodan 957 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝑋) → (((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5049ralbidva 3172 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
5150adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 ((abs‘𝑁) · 𝑥) = 0 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
52 0dvds 16159 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
5352ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
54 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝐸 = 0)
5554breq1d 5115 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (𝐸𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
56 zcn 12504 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5756ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → 𝑁 ∈ ℂ)
5857abs00ad 15175 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
5953, 55, 583bitr4rd 311 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝐸𝑁))
6025, 51, 593imtr3d 292 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅)) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
61 elrabi 3639 . . . 4 (𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } → 𝐸 ∈ ℕ)
6246adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
63 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ+)
64 modval 13776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6562, 63, 64syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 mod 𝐸) = (𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))))
6766oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥))
68 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
69 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 nnz 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
7170ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∈ ℤ)
72 rerpdivcl 12945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7362, 63, 72syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐸) ∈ ℝ)
7473flcld 13703 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ)
7671, 75zmulcld 12613 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ)
77 simprl 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝑥𝑋)
78 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (-g𝐺) = (-g𝐺)
791, 3, 78mulgsubdir 18916 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋)) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
8068, 69, 76, 77, 79syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 − (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) · 𝑥) = ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)))
81 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → (𝑁 · 𝑥) = 0 )
82 dvdsmul1 16160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / 𝐸)) ∈ ℤ) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
8371, 75, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → 𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))))
841, 2, 3, 4gexdvdsi 19365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋𝐸 ∥ (𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸)))) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8568, 77, 83, 84syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥) = 0 )
8681, 85oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = ( 0 (-g𝐺) 0 ))
87 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
881, 4, 78grpsubid 18831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0𝑋) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
8987, 41, 88syl2anc2 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9089adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ( 0 (-g𝐺) 0 ) = 0 )
9186, 90eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑥)(-g𝐺)((𝐸 · (⌊‘(𝑁 / 𝐸))) · 𝑥)) = 0 )
9267, 80, 913eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝑋 ∧ (𝑁 · 𝑥) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 )
9392expr 457 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑁 · 𝑥) = 0 → ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
9493ralimdva 3164 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ))
95 modlt 13785 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
9662, 63, 95syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) < 𝐸)
97 zmodcl 13796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
9897adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0)
9998nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℝ)
100 nnre 12160 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℝ)
101100adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
10299, 101ltnled 11302 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) < 𝐸 ↔ ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
10396, 102mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1041, 2, 3, 4gexlem2 19364 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)))
105 elfzle2 13445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ (1...(𝑁 mod 𝐸)) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸))
1071063expia 1121 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
108107impancom 452 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸)))
109108con3d 152 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 ) → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
110109ex 413 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
111110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → (¬ 𝐸 ≤ (𝑁 mod 𝐸) → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ)))
112103, 111mpid 44 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 ((𝑁 mod 𝐸) · 𝑥) = 0 → ¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ))
113 elnn0 12415 . . . . . . . 8 ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11498, 113sylib 217 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
115114ord 862 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod 𝐸) ∈ ℕ → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
11694, 112, 1153syld 60 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 → (𝑁 mod 𝐸) = 0))
117 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℕ)
118 simplr 767 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
119 dvdsval3 16140 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
120117, 118, 119syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝐸𝑁 ↔ (𝑁 mod 𝐸) = 0))
121116, 120sylibrd 258 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
12261, 121sylan2 593 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
123 eqid 2736 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }
1241, 3, 4, 2, 123gexlem1 19361 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
125124adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐸 = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 } = ∅) ∨ 𝐸 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ ∀𝑥𝑋 (𝑦 · 𝑥) = 0 }))
12660, 122, 125mpjaodan 957 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0𝐸𝑁))
1278, 126impbid 211 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐸𝑁 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑁 · 𝑥) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  {crab 3407  c0 4282   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695   mod cmo 13774  abscabs 15119  cdvds 16136  Basecbs 17083  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  .gcmg 18872  gExcgex 19307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-gex 19311
This theorem is referenced by:  gexdvds2  19367
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