Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 37723
Description: Lemma for mapdpg 37727. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 37722, using lvecindp2 19461) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1r𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 37724? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
mapdpglem28.ve (𝜑𝑣𝐵)
mapdpglem28.u1 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (𝜑𝑢𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,,𝑖)   (𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2799 . . 3 (+g𝐶) = (+g𝐶)
3 eqid 2799 . . 3 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4 eqid 2799 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5 mapdpglem26.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
6 eqid 2799 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 37612 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdpg.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 mapdpg.s . . . . 5 = (-g𝑈)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
20 mapdpg.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 37716 . . . 4 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝐶))
25 eldifsn 4506 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝐺𝐹𝐺 ≠ (0g𝐶)))
2612, 24, 25sylanbrc 579 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 489 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 37717 . . . 4 (𝜑𝑖 ≠ (0g𝐶))
31 eldifsn 4506 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝑖𝐹𝑖 ≠ (0g𝐶)))
3228, 30, 31sylanbrc 579 . . 3 (𝜑𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (𝜑𝑣𝐵)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 37621 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
3733, 36eleqtrrd 2881 . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
388, 14, 10dvhlmod 37131 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3934lmodring 19189 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 18868 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2799 . . . . . . . 8 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4435, 43ringidcl 18884 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
46 eqid 2799 . . . . . . 7 (invg𝐴) = (invg𝐴)
4735, 46grpinvcl 17783 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
4842, 45, 47syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
49 eqid 2799 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
5035, 49ringcl 18877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5251, 36eleqtrrd 2881 . . 3 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
5345, 36eleqtrrd 2881 . . 3 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (𝜑𝑢𝐵)
5535, 49ringcl 18877 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1491 . . . 4 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5756, 36eleqtrrd 2881 . . 3 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐴)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 37721 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 37628 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
6362oveq2d 6894 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 37626 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 37626 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 37638 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 37628 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
6867oveq2d 6894 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 37626 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 37626 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 37638 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 37722 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 37630 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝐴))
7574oveq1d 6893 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r𝐴) · 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 37613 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 19209 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2835 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 6893 . . . . . 6 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2840 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2840 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 19461 . 2 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33rngnegr 18911 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑣))
8635, 49, 43, 46, 40, 54rngnegr 18911 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑢))
8785, 86eqeq12d 2814 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ ((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 17800 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
8987, 88bitrd 271 . . 3 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
9089anbi2d 623 . 2 (𝜑 → ((𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
9184, 90mpbid 224 1 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cdif 3766  {csn 4368  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  .rcmulr 16268  Scalarcsca 16270   ·𝑠 cvsca 16271  0gc0g 16415  Grpcgrp 17738  invgcminusg 17739  -gcsg 17740  1rcur 18817  Ringcrg 18863  LModclmod 19181  LSpanclspn 19292  HLchlt 35371  LHypclh 36005  DVecHcdvh 37099  LCDualclcd 37607  mapdcmpd 37645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-oppg 18088  df-lsm 18364  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lvec 19424  df-lsatoms 34997  df-lshyp 34998  df-lcv 35040  df-lfl 35079  df-lkr 35107  df-ldual 35145  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tgrp 36764  df-tendo 36776  df-edring 36778  df-dveca 37024  df-disoa 37050  df-dvech 37100  df-dib 37160  df-dic 37194  df-dih 37250  df-doch 37369  df-djh 37416  df-lcdual 37608  df-mapd 37646
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  37724
  Copyright terms: Public domain W3C validator