Theorem mapdpglem30 38998

Description: Lemma for mapdpg 39002. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 38997, using lvecindp2 19904) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1_r‘𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 38999? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30	⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2798	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 38887	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		mapdpg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpg.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
20		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdpg.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23		mapdpg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23	mapdpglem30a 38991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))
25		eldifsn 4680	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
26	12, 24, 25	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
27		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
28	27	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29		mapdpgem25.h1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
30	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27	mapdpglem30b 38992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))
31		eldifsn 4680	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
32	28, 30, 31	sylanbrc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
33		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
34		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	8, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10	lcdsbase 38896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
37	33, 36	eleqtrrd 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
38	8, 14, 10	dvhlmod 38406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
39	34	lmodring 19635	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
41		ringgrp 19295	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Grp)
43		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
44	35, 43	ringidcl 19314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
46		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐴) = (invg‘𝐴)
47	35, 46	grpinvcl 18143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
48	42, 45, 47	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
49		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50	35, 49	ringcl 19307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
51	40, 33, 48, 50	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
52	51, 36	eleqtrrd 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
53	45, 36	eleqtrrd 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54		mapdpglem28.ue	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
55	35, 49	ringcl 19307	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
56	40, 54, 48, 55	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
57	56, 36	eleqtrrd 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58		mapdpglem26.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
59		mapdpglem28.u1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
60		mapdpglem28.u2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
61	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem29 38996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
62	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28	lcdvsass 38903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
63	62	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
64	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12	lcdvscl 38901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
65	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28	lcdvscl 38901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
66	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65	lcdvsub 38913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
67	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28	lcdvsass 38903	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
68	67	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
69	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12	lcdvscl 38901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
70	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28	lcdvscl 38901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
71	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70	lcdvsub 38913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
72	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem28 38997	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
74	8, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10	lcd1 38905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
75	74	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r‘𝐴) · 𝐺))
76	8, 9, 10	lcdlmod 38888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
77	1, 3, 5, 73	lmodvs1 19655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
78	76, 12, 77	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
79	75, 78	eqtr3d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
80	79	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
81	72, 80	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
82	68, 71, 81	3eqtr2rd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
83	63, 66, 82	3eqtr2rd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83	lvecindp2 19904	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))))
85	35, 49, 43, 46, 40, 33	rngnegr 19341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑣))
86	35, 49, 43, 46, 40, 54	rngnegr 19341	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑢))
87	85, 86	eqeq12d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ ((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢)))
88	35, 46, 42, 33, 54	grpinv11 18160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
89	87, 88	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
90	89	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
91	84, 90	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  -_gcsg 18097  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  HLchlt 36646  LHypclh 37280  DVecHcdvh 38374  LCDualclcd 38882  mapdcmpd 38920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36249

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-drng 19497  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lvec 19868  df-lsatoms 36272  df-lshyp 36273  df-lcv 36315  df-lfl 36354  df-lkr 36382  df-ldual 36420  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455  df-tgrp 38039  df-tendo 38051  df-edring 38053  df-dveca 38299  df-disoa 38325  df-dvech 38375  df-dib 38435  df-dic 38469  df-dih 38525  df-doch 38644  df-djh 38691  df-lcdual 38883  df-mapd 38921

This theorem is referenced by:  mapdpglem31  38999