Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 40568
Description: Lemma for mapdpg 40572. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 40567, using lvecindp2 20751) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1rβ€˜π΄) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 40569? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpg.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpg.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpg.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
mapdpgem25.i1 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem26.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem26.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem28.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
mapdpglem28.u1 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
mapdpglem28.u2 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝑖,𝑒,𝑣   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐢,𝑣   𝑒,𝑂,𝑣   𝑒, Β· ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝑅(𝑒,β„Ž,𝑖)   Β· (β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   βˆ’ (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑂(β„Ž,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   0 (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
3 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
4 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
5 mapdpglem26.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
6 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdpg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 40457 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdpg.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
16 mapdpg.s . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
20 mapdpg.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 40561 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ))
25 eldifsn 4790 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
2612, 24, 25sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ 𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 40562 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ))
31 eldifsn 4790 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
3228, 30, 31sylanbrc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 40466 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
3733, 36eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
388, 14, 10dvhlmod 39976 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3934lmodring 20478 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 20060 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
4435, 43ringidcl 20082 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
46 eqid 2732 . . . . . . 7 (invgβ€˜π΄) = (invgβ€˜π΄)
4735, 46grpinvcl 18871 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
4842, 45, 47syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
49 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
5035, 49ringcl 20072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5251, 36eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
5345, 36eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
5535, 49ringcl 20072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5756, 36eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 40566 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) β‰  (π½β€˜{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 40473 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖)))
6362oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 40471 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 40471 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 40483 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 40473 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖)))
6867oveq2d 7424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 40471 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 40471 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 40483 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 40567 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
73 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 40475 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π΄))
7574oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 40458 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 20499 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 7423 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2775 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2779 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 20751 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33ringnegr 20114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£))
8635, 49, 43, 46, 40, 54ringnegr 20114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’))
8785, 86eqeq12d 2748 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 18891 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’) ↔ 𝑣 = 𝑒))
8987, 88bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ 𝑣 = 𝑒))
9089anbi2d 629 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))) ↔ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒)))
9184, 90mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  -gcsg 18820  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  LSpanclspn 20581  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  LCDualclcd 40452  mapdcmpd 40490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lcv 37884  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261  df-lcdual 40453  df-mapd 40491
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator