Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 40165
Description: Lemma for mapdpg 40169. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 40164, using lvecindp2 20600) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1r𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 40166? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
mapdpglem28.ve (𝜑𝑣𝐵)
mapdpglem28.u1 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (𝜑𝑢𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,,𝑖)   (𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2736 . . 3 (+g𝐶) = (+g𝐶)
3 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4 eqid 2736 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5 mapdpglem26.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
6 eqid 2736 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 40054 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdpg.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 mapdpg.s . . . . 5 = (-g𝑈)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
20 mapdpg.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 40158 . . . 4 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝐶))
25 eldifsn 4747 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝐺𝐹𝐺 ≠ (0g𝐶)))
2612, 24, 25sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 495 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 40159 . . . 4 (𝜑𝑖 ≠ (0g𝐶))
31 eldifsn 4747 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝑖𝐹𝑖 ≠ (0g𝐶)))
3228, 30, 31sylanbrc 583 . . 3 (𝜑𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (𝜑𝑣𝐵)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 40063 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
3733, 36eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
388, 14, 10dvhlmod 39573 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3934lmodring 20330 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 19969 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4435, 43ringidcl 19989 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
46 eqid 2736 . . . . . . 7 (invg𝐴) = (invg𝐴)
4735, 46grpinvcl 18798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
4842, 45, 47syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
49 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
5035, 49ringcl 19981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5251, 36eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
5345, 36eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (𝜑𝑢𝐵)
5535, 49ringcl 19981 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5756, 36eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐴)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 40163 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 40070 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
6362oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 40068 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 40068 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 40080 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 40070 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
6867oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 40068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 40068 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 40080 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 40164 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 40072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝐴))
7574oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r𝐴) · 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 40055 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 20350 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2783 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2783 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 20600 . 2 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33ringnegr 20019 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑣))
8635, 49, 43, 46, 40, 54ringnegr 20019 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑢))
8785, 86eqeq12d 2752 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ ((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 18816 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
8987, 88bitrd 278 . . 3 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
9089anbi2d 629 . 2 (𝜑 → ((𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
9184, 90mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LSpanclspn 20432  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  40166
  Copyright terms: Public domain W3C validator