Theorem mapdpglem30 40573

Description: Lemma for mapdpg 40577. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 40572, using lvecindp2 20752) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1_r‘𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 40574? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30	⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 40462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		mapdpg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpg.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
20		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdpg.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23		mapdpg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23	mapdpglem30a 40566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))
25		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
26	12, 24, 25	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
27		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
28	27	simpld 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29		mapdpgem25.h1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
30	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27	mapdpglem30b 40567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))
31		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
32	28, 30, 31	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
33		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
34		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	8, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10	lcdsbase 40471	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
37	33, 36	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
38	8, 14, 10	dvhlmod 39981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
39	34	lmodring 20479	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
41		ringgrp 20061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Grp)
43		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
44	35, 43	ringidcl 20083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
46		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐴) = (invg‘𝐴)
47	35, 46	grpinvcl 18872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
48	42, 45, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
49		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50	35, 49	ringcl 20073	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
51	40, 33, 48, 50	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
52	51, 36	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
53	45, 36	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54		mapdpglem28.ue	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
55	35, 49	ringcl 20073	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
56	40, 54, 48, 55	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
57	56, 36	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58		mapdpglem26.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
59		mapdpglem28.u1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
60		mapdpglem28.u2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
61	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem29 40571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
62	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28	lcdvsass 40478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
63	62	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
64	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12	lcdvscl 40476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
65	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28	lcdvscl 40476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
66	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65	lcdvsub 40488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
67	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28	lcdvsass 40478	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
68	67	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
69	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12	lcdvscl 40476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
70	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28	lcdvscl 40476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
71	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70	lcdvsub 40488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
72	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem28 40572	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
74	8, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10	lcd1 40480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
75	74	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r‘𝐴) · 𝐺))
76	8, 9, 10	lcdlmod 40463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
77	1, 3, 5, 73	lmodvs1 20500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
78	76, 12, 77	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
79	75, 78	eqtr3d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
80	79	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
81	72, 80	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
82	68, 71, 81	3eqtr2rd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
83	63, 66, 82	3eqtr2rd 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83	lvecindp2 20752	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))))
85	35, 49, 43, 46, 40, 33	ringnegr 20115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑣))
86	35, 49, 43, 46, 40, 54	ringnegr 20115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑢))
87	85, 86	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ ((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢)))
88	35, 46, 42, 33, 54	grpinv11 18892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
89	87, 88	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
90	89	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
91	84, 90	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820  -_gcsg 18821  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  LCDualclcd 40457  mapdcmpd 40495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lcv 37889  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266  df-lcdual 40458  df-mapd 40496

This theorem is referenced by:  mapdpglem31  40574