Theorem mapdpglem30 41685

Description: Lemma for mapdpg 41689. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 41684, using lvecindp2 21159) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1_r‘𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 41686? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30	⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 41574	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		mapdpg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpg.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
20		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdpg.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23		mapdpg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23	mapdpglem30a 41678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))
25		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
26	12, 24, 25	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
27		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
28	27	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29		mapdpgem25.h1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
30	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27	mapdpglem30b 41679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))
31		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
32	28, 30, 31	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
33		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
34		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	8, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10	lcdsbase 41583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
37	33, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
38	8, 14, 10	dvhlmod 41093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
39	34	lmodring 20883	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
41		ringgrp 20256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Grp)
43		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
44	35, 43	ringidcl 20280	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
46		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐴) = (invg‘𝐴)
47	35, 46	grpinvcl 19018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
48	42, 45, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
49		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50	35, 49	ringcl 20268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
51	40, 33, 48, 50	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
52	51, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
53	45, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54		mapdpglem28.ue	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
55	35, 49	ringcl 20268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
56	40, 54, 48, 55	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
57	56, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58		mapdpglem26.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
59		mapdpglem28.u1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
60		mapdpglem28.u2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
61	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem29 41683	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
62	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28	lcdvsass 41590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
63	62	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
64	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12	lcdvscl 41588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
65	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28	lcdvscl 41588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
66	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65	lcdvsub 41600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
67	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28	lcdvsass 41590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
68	67	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
69	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12	lcdvscl 41588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
70	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28	lcdvscl 41588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
71	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70	lcdvsub 41600	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
72	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem28 41684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
74	8, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10	lcd1 41592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
75	74	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r‘𝐴) · 𝐺))
76	8, 9, 10	lcdlmod 41575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
77	1, 3, 5, 73	lmodvs1 20905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
78	76, 12, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
79	75, 78	eqtr3d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
80	79	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
81	72, 80	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
82	68, 71, 81	3eqtr2rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
83	63, 66, 82	3eqtr2rd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83	lvecindp2 21159	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))))
85	35, 49, 43, 46, 40, 33	ringnegr 20317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑣))
86	35, 49, 43, 46, 40, 54	ringnegr 20317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑢))
87	85, 86	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ ((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢)))
88	35, 46, 42, 33, 54	grpinv11 19038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
89	87, 88	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
90	89	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
91	84, 90	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608

This theorem is referenced by:  mapdpglem31  41686