Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 39643
Description: Lemma for mapdpg 39647. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 39642, using lvecindp2 20316) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1r𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 39644? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s = (-g𝑈)
mapdpg.z 0 = (0g𝑈)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpg.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
mapdpgem25.i1 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0g𝐴)
mapdpglem28.ve (𝜑𝑣𝐵)
mapdpglem28.u1 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (𝜑𝑢𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Distinct variable groups:   ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐶(,𝑖)   𝑅(𝑢,,𝑖)   · (,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐺(𝑢,,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,,𝑖)   (𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑂(,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2738 . . 3 (+g𝐶) = (+g𝐶)
3 eqid 2738 . . 3 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4 eqid 2738 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5 mapdpglem26.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
6 eqid 2738 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10 mapdpg.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 39532 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdpg.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
16 mapdpg.s . . . . 5 = (-g𝑈)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
20 mapdpg.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 39636 . . . 4 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝐶))
25 eldifsn 4717 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝐺𝐹𝐺 ≠ (0g𝐶)))
2612, 24, 25sylanbrc 582 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑖𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 39637 . . . 4 (𝜑𝑖 ≠ (0g𝐶))
31 eldifsn 4717 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}) ↔ (𝑖𝐹𝑖 ≠ (0g𝐶)))
3228, 30, 31sylanbrc 582 . . 3 (𝜑𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g𝐶)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (𝜑𝑣𝐵)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 39541 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
3733, 36eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
388, 14, 10dvhlmod 39051 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3934lmodring 20046 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 19703 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2738 . . . . . . . 8 (1r𝐴) = (1r𝐴)
4435, 43ringidcl 19722 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
46 eqid 2738 . . . . . . 7 (invg𝐴) = (invg𝐴)
4735, 46grpinvcl 18542 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
4842, 45, 47syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
49 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝐴) = (.r𝐴)
5035, 49ringcl 19715 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5251, 36eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
5345, 36eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (1r𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (𝜑𝑢𝐵)
5535, 49ringcl 19715 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢𝐵 ∧ ((invg𝐴)‘(1r𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ 𝐵)
5756, 36eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐴)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (𝜑 = (𝑢 · 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑅) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 39641 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 39548 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
6362oveq2d 7271 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 39546 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 39546 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 39558 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 39548 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖) = (((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
6867oveq2d 7271 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 39546 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 39546 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 39558 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)(((invg𝐴)‘(1r𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 39642 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 39550 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝐴))
7574oveq1d 7270 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r𝐴) · 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 39533 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 20066 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 7270 . . . . . 6 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2781 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2785 . . . 4 (𝜑 → (((1r𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2785 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g𝐶)((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)) = (((1r𝐴) · 𝐺)(+g𝐶)((𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) · 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 20316 . 2 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33rngnegr 19749 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑣))
8635, 49, 43, 46, 40, 54rngnegr 19749 . . . . 5 (𝜑 → (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = ((invg𝐴)‘𝑢))
8785, 86eqeq12d 2754 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ ((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 18559 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐴)‘𝑣) = ((invg𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
8987, 88bitrd 278 . . 3 (𝜑 → ((𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
9089anbi2d 628 . 2 (𝜑 → ((𝑣 = (1r𝐴) ∧ (𝑣(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴))) = (𝑢(.r𝐴)((invg𝐴)‘(1r𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
9184, 90mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑣 = (1r𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wne 2942  cdif 3880  {csn 4558  cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +gcplusg 16888  .rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·𝑠 cvsca 16892  0gc0g 17067  Grpcgrp 18492  invgcminusg 18493  -gcsg 18494  1rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527  mapdcmpd 39565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528  df-mapd 39566
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  39644
  Copyright terms: Public domain W3C validator