Theorem mapdpglem30 39716

Description: Lemma for mapdpg 39720. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 39715, using lvecindp2 20401) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1_r‘𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 39717? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30	⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 39605	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		mapdpg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpg.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
20		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdpg.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23		mapdpg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23	mapdpglem30a 39709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))
25		eldifsn 4720	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
26	12, 24, 25	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
27		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
28	27	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29		mapdpgem25.h1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
30	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27	mapdpglem30b 39710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))
31		eldifsn 4720	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
32	28, 30, 31	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
33		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
34		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	8, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10	lcdsbase 39614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
37	33, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
38	8, 14, 10	dvhlmod 39124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
39	34	lmodring 20131	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
41		ringgrp 19788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Grp)
43		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
44	35, 43	ringidcl 19807	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
46		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐴) = (invg‘𝐴)
47	35, 46	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
48	42, 45, 47	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
49		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50	35, 49	ringcl 19800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
51	40, 33, 48, 50	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
52	51, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
53	45, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54		mapdpglem28.ue	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
55	35, 49	ringcl 19800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
56	40, 54, 48, 55	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
57	56, 36	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58		mapdpglem26.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
59		mapdpglem28.u1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
60		mapdpglem28.u2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
61	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem29 39714	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
62	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28	lcdvsass 39621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
63	62	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
64	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12	lcdvscl 39619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
65	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28	lcdvscl 39619	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
66	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65	lcdvsub 39631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
67	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28	lcdvsass 39621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
68	67	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
69	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12	lcdvscl 39619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
70	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28	lcdvscl 39619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
71	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70	lcdvsub 39631	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
72	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem28 39715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
74	8, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10	lcd1 39623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
75	74	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r‘𝐴) · 𝐺))
76	8, 9, 10	lcdlmod 39606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
77	1, 3, 5, 73	lmodvs1 20151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
78	76, 12, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
79	75, 78	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
80	79	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
81	72, 80	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
82	68, 71, 81	3eqtr2rd 2785	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
83	63, 66, 82	3eqtr2rd 2785	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83	lvecindp2 20401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))))
85	35, 49, 43, 46, 40, 33	rngnegr 19834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑣))
86	35, 49, 43, 46, 40, 54	rngnegr 19834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑢))
87	85, 86	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ ((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢)))
88	35, 46, 42, 33, 54	grpinv11 18644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
89	87, 88	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
90	89	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
91	84, 90	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  mapdcmpd 39638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639

This theorem is referenced by:  mapdpglem31  39717