Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 40215
Description: Lemma for mapdpg 40219. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 40214, using lvecindp2 20645) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1rβ€˜π΄) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 40216? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpg.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpg.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpg.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
mapdpgem25.i1 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem26.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem26.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem28.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
mapdpglem28.u1 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
mapdpglem28.u2 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝑖,𝑒,𝑣   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐢,𝑣   𝑒,𝑂,𝑣   𝑒, Β· ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝑅(𝑒,β„Ž,𝑖)   Β· (β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   βˆ’ (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑂(β„Ž,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   0 (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
3 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
4 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
5 mapdpglem26.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
6 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdpg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 40104 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdpg.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
16 mapdpg.s . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
20 mapdpg.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 40208 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ))
25 eldifsn 4751 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
2612, 24, 25sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ 𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 40209 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ))
31 eldifsn 4751 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
3228, 30, 31sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 40113 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
3733, 36eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
388, 14, 10dvhlmod 39623 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3934lmodring 20373 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 19977 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
4435, 43ringidcl 19997 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgβ€˜π΄) = (invgβ€˜π΄)
4735, 46grpinvcl 18806 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
4842, 45, 47syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
49 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
5035, 49ringcl 19989 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5251, 36eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
5345, 36eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
5535, 49ringcl 19989 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5756, 36eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 40213 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) β‰  (π½β€˜{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 40120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖)))
6362oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 40118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 40118 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 40130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 40120 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖)))
6867oveq2d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 40118 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 40118 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 40130 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 40214 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
73 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 40122 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π΄))
7574oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 40105 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 20394 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2776 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 20645 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33ringnegr 20027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£))
8635, 49, 43, 46, 40, 54ringnegr 20027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’))
8785, 86eqeq12d 2749 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 18824 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’) ↔ 𝑣 = 𝑒))
8987, 88bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ 𝑣 = 𝑒))
9089anbi2d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))) ↔ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒)))
9184, 90mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  40216
  Copyright terms: Public domain W3C validator