Theorem mapdpglem30 42159

Description: Lemma for mapdpg 42163. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 42158, using lvecindp2 21127) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1_r‘𝐴) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 42160? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem26.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem26.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem26.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
mapdpglem28.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
mapdpglem28.u1	⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
mapdpglem28.u2	⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30	⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑖,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝐶,𝑣   𝑢,𝑂,𝑣   𝑢, · ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐶(ℎ,𝑖)   𝑅(𝑢,ℎ,𝑖)   · (ℎ,𝑖)   𝑈(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑢,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   − (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑂(ℎ,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑊(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   𝑌(𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)   0 (𝑣,𝑢,ℎ,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
5		mapdpglem26.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
8		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	8, 9, 10	lcdlvec 42048	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
12		mapdpg.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		mapdpg.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdpg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
16		mapdpg.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
17		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
19		mapdpg.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
20		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdpg.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
23		mapdpg.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23	mapdpglem30a 42152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))
25		eldifsn 4730	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
26	12, 24, 25	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
27		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
28	27	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
29		mapdpgem25.h1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
30	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27	mapdpglem30b 42153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))
31		eldifsn 4730	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
32	28, 30, 31	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ (𝐹 ∖ {(0g‘𝐶)}))
33		mapdpglem28.ve	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝐵)
34		mapdpglem26.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
35		mapdpglem26.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36	8, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10	lcdsbase 42057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝐵)
37	33, 36	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
38	8, 14, 10	dvhlmod 41567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
39	34	lmodring 20852	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝐴 ∈ Ring)
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Ring)
41		ringgrp 20208	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Grp)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Grp)
43		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
44	35, 43	ringidcl 20235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
45	40, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ 𝐵)
46		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐴) = (invg‘𝐴)
47	35, 46	grpinvcl 18952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐴) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
48	42, 45, 47	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵)
49		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
50	35, 49	ringcl 20220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
51	40, 33, 48, 50	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
52	51, 36	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
53	45, 36	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
54		mapdpglem28.ue	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝐵)
55	35, 49	ringcl 20220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) ∈ 𝐵) → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
56	40, 54, 48, 55	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ 𝐵)
57	56, 36	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
58		mapdpglem26.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐴)
59		mapdpglem28.u1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℎ = (𝑢 · 𝑖))
60		mapdpglem28.u2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝑣 · (𝐺𝑅𝑖)))
61	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem29 42157	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝑖}))
62	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28	lcdvsass 42064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖)))
63	62	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
64	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12	lcdvscl 42062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) ∈ 𝐹)
65	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28	lcdvscl 42062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢 · 𝑖) ∈ 𝐹)
66	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65	lcdvsub 42074	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑢 · 𝑖))))
67	8, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28	lcdvsass 42064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖) = (((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖)))
68	67	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
69	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12	lcdvscl 42062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝐺) ∈ 𝐹)
70	8, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28	lcdvscl 42062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 · 𝑖) ∈ 𝐹)
71	8, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70	lcdvsub 42074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)(((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)) · (𝑣 · 𝑖))))
72	8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60	mapdpglem28 42158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
73		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
74	8, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10	lcd1 42066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝐴))
75	74	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = ((1r‘𝐴) · 𝐺))
76	8, 9, 10	lcdlmod 42049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
77	1, 3, 5, 73	lmodvs1 20874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
78	76, 12, 77	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝐶)) · 𝐺) = 𝐺)
79	75, 78	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐴) · 𝐺) = 𝐺)
80	79	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑢 · 𝑖)))
81	72, 80	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)𝑅(𝑣 · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)))
82	68, 71, 81	3eqtr2rd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐴) · 𝐺)𝑅(𝑢 · 𝑖)) = ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
83	63, 66, 82	3eqtr2rd 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)) = (((1r‘𝐴) · 𝐺)(+g‘𝐶)((𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) · 𝑖)))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83	lvecindp2 21127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))))
85	35, 49, 43, 46, 40, 33	ringnegr 20273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑣))
86	35, 49, 43, 46, 40, 54	ringnegr 20273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = ((invg‘𝐴)‘𝑢))
87	85, 86	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ ((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢)))
88	35, 46, 42, 33, 54	grpinv11 18972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐴)‘𝑣) = ((invg‘𝐴)‘𝑢) ↔ 𝑣 = 𝑢))
89	87, 88	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) ↔ 𝑣 = 𝑢))
90	89	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ (𝑣(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴))) = (𝑢(.r‘𝐴)((invg‘𝐴)‘(1r‘𝐴)))) ↔ (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢)))
91	84, 90	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑣 = (1r‘𝐴) ∧ 𝑣 = 𝑢))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  -_gcsg 18900  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  LModclmod 20844  LSpanclspn 20955  HLchlt 39807  LHypclh 40441  DVecHcdvh 41535  LCDualclcd 42043  mapdcmpd 42081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-riotaBAD 39410

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-undef 8214  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18249  df-poset 18268  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-lsm 19600  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lvec 21088  df-lsatoms 39433  df-lshyp 39434  df-lcv 39476  df-lfl 39515  df-lkr 39543  df-ldual 39581  df-oposet 39633  df-ol 39635  df-oml 39636  df-covers 39723  df-ats 39724  df-atl 39755  df-cvlat 39779  df-hlat 39808  df-llines 39955  df-lplanes 39956  df-lvols 39957  df-lines 39958  df-psubsp 39960  df-pmap 39961  df-padd 40253  df-lhyp 40445  df-laut 40446  df-ldil 40561  df-ltrn 40562  df-trl 40616  df-tgrp 41200  df-tendo 41212  df-edring 41214  df-dveca 41460  df-disoa 41486  df-dvech 41536  df-dib 41596  df-dic 41630  df-dih 41686  df-doch 41805  df-djh 41852  df-lcdual 42044  df-mapd 42082

This theorem is referenced by:  mapdpglem31  42160