Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem30 40876
Description: Lemma for mapdpg 40880. Baer p. 45 line 18: "Hence we deduce (from mapdpglem28 40875, using lvecindp2 20897) that v = 1 and v = u...". TODO: would it be shorter to have only the 𝑣 = (1rβ€˜π΄) part and use mapdpglem28.u2 in mapdpglem31 40877? (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpg.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpg.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpg.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpg.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpg.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpg.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdpg.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpg.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpgem25.h1 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
mapdpgem25.i1 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
mapdpglem26.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem26.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem26.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem26.o 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem28.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
mapdpglem28.u1 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
mapdpglem28.u2 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
mapdpglem28.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem30 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝑖,𝑒,𝑣   𝑒,𝐡,𝑣   𝑒,𝐢,𝑣   𝑒,𝑂,𝑣   𝑒, Β· ,𝑣   𝑣,𝐺   𝑣,𝑅
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐴(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐡(β„Ž,𝑖)   𝐢(β„Ž,𝑖)   𝑅(𝑒,β„Ž,𝑖)   Β· (β„Ž,𝑖)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐽(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑀(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   βˆ’ (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑁(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑂(β„Ž,𝑖)   𝑉(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Š(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   𝑋(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   π‘Œ(𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)   0 (𝑣,𝑒,β„Ž,𝑖)

Proof of Theorem mapdpglem30
StepHypRef Expression
1 mapdpg.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
2 eqid 2730 . . 3 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
3 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
4 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
5 mapdpglem26.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
6 eqid 2730 . . 3 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
7 mapdpg.j . . 3 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
8 mapdpg.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 mapdpg.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 mapdpg.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
118, 9, 10lcdlvec 40765 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
12 mapdpg.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
13 mapdpg.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdpg.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 mapdpg.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
16 mapdpg.s . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
17 mapdpg.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 mapdpg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
19 mapdpg.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
20 mapdpg.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdpg.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 mapdpg.ne . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
23 mapdpg.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
248, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23mapdpglem30a 40869 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ))
25 eldifsn 4789 . . . 4 (𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
2612, 24, 25sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
27 mapdpgem25.i1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝑖}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2827simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ 𝐹)
29 mapdpgem25.h1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ 𝐹 ∧ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{(πΊπ‘…β„Ž)}))))
308, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27mapdpglem30b 40870 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ))
31 eldifsn 4789 . . . 4 (𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}) ↔ (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ 𝑖 β‰  (0gβ€˜πΆ)))
3228, 30, 31sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑖 ∈ (𝐹 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
33 mapdpglem28.ve . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝐡)
34 mapdpglem26.a . . . . 5 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
35 mapdpglem26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
368, 14, 34, 35, 9, 3, 4, 10lcdsbase 40774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = 𝐡)
3733, 36eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
388, 14, 10dvhlmod 40284 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3934lmodring 20622 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝐴 ∈ Ring)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Ring)
41 ringgrp 20132 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 ∈ Grp)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Grp)
43 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π΄) = (1rβ€˜π΄)
4435, 43ringidcl 20154 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
4540, 44syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
46 eqid 2730 . . . . . . 7 (invgβ€˜π΄) = (invgβ€˜π΄)
4735, 46grpinvcl 18908 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
4842, 45, 47syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡)
49 eqid 2730 . . . . . 6 (.rβ€˜π΄) = (.rβ€˜π΄)
5035, 49ringcl 20144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑣 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5140, 33, 48, 50syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5251, 36eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
5345, 36eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
54 mapdpglem28.ue . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
5535, 49ringcl 20144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ ((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5640, 54, 48, 55syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ 𝐡)
5756, 36eleqtrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
58 mapdpglem26.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π΄)
59 mapdpglem28.u1 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„Ž = (𝑒 Β· 𝑖))
60 mapdpglem28.u2 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊπ‘…β„Ž) = (𝑣 Β· (𝐺𝑅𝑖)))
618, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem29 40874 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{𝐺}) β‰  (π½β€˜{𝑖}))
628, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 54, 28lcdvsass 40781 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖)))
6362oveq2d 7427 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
648, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 45, 12lcdvscl 40779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
658, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 54, 28lcdvscl 40779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
668, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 64, 65lcdvsub 40791 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑒 Β· 𝑖))))
678, 14, 34, 35, 49, 9, 1, 5, 10, 48, 33, 28lcdvsass 40781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖) = (((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖)))
6867oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
698, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 12lcdvscl 40779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
708, 14, 34, 35, 9, 1, 5, 10, 33, 28lcdvscl 40779 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑣 Β· 𝑖) ∈ 𝐹)
718, 14, 34, 46, 43, 9, 1, 2, 5, 19, 10, 69, 70lcdvsub 40791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)) Β· (𝑣 Β· 𝑖))))
728, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 9, 1, 19, 7, 10, 20, 21, 12, 22, 23, 29, 27, 34, 35, 5, 58, 33, 59, 60mapdpglem28 40875 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
73 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
748, 14, 34, 43, 9, 3, 73, 10lcd1 40783 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π΄))
7574oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺))
768, 9, 10lcdlmod 40766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
771, 3, 5, 73lmodvs1 20644 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7876, 12, 77syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) Β· 𝐺) = 𝐺)
7975, 78eqtr3d 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺) = 𝐺)
8079oveq1d 7426 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = (𝐺𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8172, 80eqtr4d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)𝑅(𝑣 Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)))
8268, 71, 813eqtr2rd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)𝑅(𝑒 Β· 𝑖)) = ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
8363, 66, 823eqtr2rd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)) = (((1rβ€˜π΄) Β· 𝐺)(+gβ€˜πΆ)((𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) Β· 𝑖)))
841, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 26, 32, 37, 52, 53, 57, 61, 83lvecindp2 20897 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))))
8535, 49, 43, 46, 40, 33ringnegr 20191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£))
8635, 49, 43, 46, 40, 54ringnegr 20191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’))
8785, 86eqeq12d 2746 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’)))
8835, 46, 42, 33, 54grpinv11 18928 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜π΄)β€˜π‘£) = ((invgβ€˜π΄)β€˜π‘’) ↔ 𝑣 = 𝑒))
8987, 88bitrd 278 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) ↔ 𝑣 = 𝑒))
9089anbi2d 627 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ (𝑣(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄))) = (𝑒(.rβ€˜π΄)((invgβ€˜π΄)β€˜(1rβ€˜π΄)))) ↔ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒)))
9184, 90mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (𝑣 = (1rβ€˜π΄) ∧ 𝑣 = 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  1rcur 20075  Ringcrg 20127  LModclmod 20614  LSpanclspn 20726  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  LCDualclcd 40760  mapdcmpd 40798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-lshyp 38150  df-lcv 38192  df-lfl 38231  df-lkr 38259  df-ldual 38297  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569  df-lcdual 40761  df-mapd 40799
This theorem is referenced by:  mapdpglem31  40877
  Copyright terms: Public domain W3C validator