Theorem dchrisum0re 27464

Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0re	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		rpvmasum2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		rpvmasum2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
6	5	ssrab3 4015	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
7		dchrisum0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
8	6, 7	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
9	8	eldifad 3897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
10	1, 2, 3, 4, 9	dchrf 27193	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
11	10	ffnd 6658	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
12	10	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
13		fvco3 6928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
14	10, 13	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
15		logno1 26588	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
16		1red 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
17		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
18		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
19		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
20		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
21	18	nnnn0d 12487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	2	zncrng 21513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
24		crngring 20215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
26		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
27	20, 26	1unit 20343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}) = (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})
30		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍))
31	2, 17, 18, 1, 3, 19, 5, 20, 28, 29, 30	rpvmasum2 27463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
33	18	phicld 16731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	nn0red 12488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
37		fzfid 13924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
38		inss1 4167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
39		ssfi 9096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ∈ Fin)
40	37, 38, 39	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ∈ Fin)
41		elinel1 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
42		elfznn 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
44	41, 43	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45		vmacl 27069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
46		nndivre 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
47	45, 46	mpancom 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
48	44, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
49	40, 48	fsumrecl 15685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
50	36, 49	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
51		relogcl 26527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53		1re 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
54	1, 3	dchrfi 27206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
55	18, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
56		difss 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
57	6, 56	sstri 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
58		ssfi 9096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ 𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
59	55, 57, 58	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
60		hashcl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
62	61	nn0red 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
63		resubcl 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
64	53, 62, 63	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
66	52, 65	remulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
67	50, 66	resubcld 11567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
68	67	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
69	68	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
70	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
71	70	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
72	51	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
73	66	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
74	72, 73	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
75		0red 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
76	50	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
77		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
79	62	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
80	78, 79	resubcld 11567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
81		log1 26537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log‘1) = 0
82		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
83		1rp 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ+
84		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
85		logleb 26555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
86	83, 84, 85	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
87	82, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
88	81, 87	eqbrtrrid 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
89	59	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
90		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
91	1, 3, 9, 90	dchrinv 27212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
92	1	dchrabl 27205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
93	18, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
94		ablgrp 19749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
96	3, 90	grpinvcl 18952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
97	95, 9, 96	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
98	91, 97	eqeltrrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
99		eldifsni 4725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋 ≠ 1 )
100	8, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
101	3, 19	grpidcl 18930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ 𝐷)
102	95, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
103	3, 90, 95, 9, 102	grpinv11 18972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
104	103	necon3bid 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg‘𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 ≠ 1 ))
105	100, 104	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg‘𝐺)‘ 1 ))
106	19, 90	grpinvid 18964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 1 ) = 1 )
107	95, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 1 ) = 1 )
108	105, 91, 107	3netr3d 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
109		eldifsn 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
110	98, 108, 109	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
111		nnuz 12816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
112		1zzd 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113		2fveq3 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
115	113, 114	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
116	115	fveq2d 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
117		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))
118		fvex 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
119	116, 117, 118	fvmpt 6936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
120	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
121		nnre 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
122	121	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
123	122	cjred 15177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
124	123	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚))
125	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
126	2, 4, 17	znzrhfo 21516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
127	21, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
128		fof 6741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
130		nnz 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
131		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
132	129, 130, 131	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
133	125, 132	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
134		nncn 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
135	134	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
136		nnne0 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
137	136	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
138	133, 135, 137	cjdivd 15174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (∗‘𝑚)))
139		fvco3 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
140	125, 132, 139	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
141	140	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚))
142	124, 138, 141	3eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
143	120, 142	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
144	133	cjcld 15147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ∈ ℂ)
145	144, 135, 137	divcld 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
146	141, 145	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
147		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
148	2, 17, 18, 1, 3, 19, 9, 100, 147	dchrmusumlema 27444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
149		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
150	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ∈ 𝑊)
151	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
152	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
153	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ≠ 1 )
154		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
155		simprrr 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
156	2, 17, 151, 1, 3, 19, 152, 153, 147, 154, 149, 155, 5	dchrvmaeq0 27455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0))
157	150, 156	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
158	149, 157	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
159	158	rexlimdvaa 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
160	159	exlimdv 1935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
161	148, 160	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
162		seqex 13954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
164		2fveq3 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
165		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → 𝑎 = 𝑚)
166	164, 165	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
167		ovex 7389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ V
168	166, 147, 167	fvmpt 6936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
169	168	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
170	133, 135, 137	divcld 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
171	169, 170	eqeltrd 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
172	111, 112, 171	serf 13981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
173	172	ffvelcdmda 7025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
174		fzfid 13924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
175		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
176		elfznn 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
177	175, 176, 170	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
178	174, 177	fsumcj 15762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
179	175, 176, 169	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
180		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
181	180, 111	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
182	179, 181, 177	fsumser 15681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
183	182	fveq2d 6833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
184	175, 176, 120	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
185	170	cjcld 15147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
186	175, 176, 185	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
187	184, 181, 186	fsumser 15681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
188	178, 183, 187	3eqtr3rd 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
189	111, 161, 163, 112, 173, 188	climcj 15556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
190		cj0 15109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∗‘0) = 0
191	189, 190	breqtrdi 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
192	111, 112, 143, 146, 191	isumclim 15708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0)
193		fveq1 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿‘𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)))
194	193	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
195	194	sumeq2sdv 15654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
196	195	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0))
197	196, 5	elrab2 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0))
198	110, 192, 197	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
199	198	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
200	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
201		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
202	89, 199, 200, 201	nehash2 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
203		suble0 11653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
204	77, 79, 203	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
205	202, 204	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0)
206	80, 75, 72, 88, 205	lemul2ad 12085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
207		df-2 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 = (1 + 1)
208	207	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − (♯‘𝑊)) = ((1 + 1) − (♯‘𝑊))
209		1cnd 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
210	79	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
211	209, 209, 210	addsubassd 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
212	208, 211	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
213	212	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))))
214	71	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
215	64	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
216	215	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
217	214, 209, 216	adddid 11158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
218	214	mulridd 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
219	218	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
220	213, 217, 219	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
221	214	mul01d 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
222	206, 220, 221	3brtr3d 5105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ 0)
223	33	nnred 12178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
224	223	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
225	49	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
226	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
227	226	nn0ge0d 12490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
228	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
229		vmage0 27072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
230	44, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
231	44	nnred 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
232	44	nngt0d 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
233		divge0 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
234	228, 230, 231, 232, 233	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
235	40, 48, 234	fsumge0 15747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
236	235	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
237	224, 225, 227, 236	mulge0d 11716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
238	74, 75, 76, 222, 237	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
239		leaddsub 11615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
240	72, 73, 76, 239	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
241	238, 240	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
242	72, 88	absidd 15374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
243	67	ad2ant2r 748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
244	75, 72, 243, 88, 241	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
245	243, 244	absidd 15374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
246	241, 242, 245	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
247	16, 32, 69, 71, 246	o1le 15604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
248	247	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
249	248	necon1bd 2948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
250	15, 249	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
251	250	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
252	251	fveq1d 6831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
253	14, 252	eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑋‘𝑥))
254	12, 253	cjrebd 15153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
255	254	ralrimiva 3127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
256		ffnfv 7060	. 2 ⊢ (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
257	11, 255, 256	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3059  {crab 3387  Vcvv 3427   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  {csn 4557   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623   ∘ ccom 5624   Fn wfn 6482  ⟶wf 6483  –onto→wfo 6485  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Fincfn 8882  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  +∞cpnf 11165   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ℝ⁺crp 12931  [,)cico 13289  ...cfz 13450  ⌊cfl 13738  seqcseq 13952  ♯chash 14281  ∗ccj 15047  abscabs 15185   ⇝ cli 15435  𝑂(1)co1 15437  Σcsu 15637  ϕcphi 16723  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  Abelcabl 19745  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  CRingccrg 20204  Unitcui 20324  ℤRHomczrh 21468  ℤ/nℤczn 21471  logclog 26506  Λcvma 27043  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-disj 5042  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-rpss 7666  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-o1 15441  df-lo1 15442  df-sum 15638  df-ef 16021  df-e 16022  df-sin 16023  df-cos 16024  df-tan 16025  df-pi 16026  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-phi 16725  df-pc 16797  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-ga 19254  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-od 19492  df-gex 19493  df-pgp 19494  df-lsm 19600  df-pj1 19601  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-cyg 19842  df-dprd 19961  df-dpj 19962  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-lidl 21195  df-rsp 21196  df-2idl 21237  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-zring 21416  df-zrh 21472  df-zn 21475  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-cmp 23340  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cncf 24833  df-0p 25625  df-limc 25821  df-dv 25822  df-ply 26141  df-idp 26142  df-coe 26143  df-dgr 26144  df-quot 26245  df-ulm 26330  df-log 26508  df-cxp 26509  df-atan 26819  df-em 26944  df-cht 27048  df-vma 27049  df-chp 27050  df-ppi 27051  df-mu 27052  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  dchrisum0  27471