MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0re 27557
Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
65ssrab3 4082 . . . . . 6 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
7 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
86, 7sselid 3981 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
98eldifad 3963 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
101, 2, 3, 4, 9dchrf 27286 . . 3 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1110ffnd 6737 . 2 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
1210ffvelcdmda 7104 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
13 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
1410, 13sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
15 logno1 26678 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
16 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
17 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
18 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0g𝐺)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
2118nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
222zncrng 21563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
24 crngring 20242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
26 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑍) = (1r𝑍)
2720, 261unit 20374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 “ {(1r𝑍)}) = (𝐿 “ {(1r𝑍)})
30 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑊) → (1r𝑍) = (1r𝑍))
312, 17, 18, 1, 3, 19, 5, 20, 28, 29, 30rpvmasum2 27556 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3318phicld 16809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
3433nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3635nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
37 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
38 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
39 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
41 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
42 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4441, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45 vmacl 27161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
46 nndivre 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4745, 46mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4940, 48fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5036, 49remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
51 relogcl 26617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
541, 3dchrfi 27299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
5518, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
56 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
576, 56sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑊𝐷
58 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
5955, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
60 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6261nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
63 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6453, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6652, 65remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
6750, 66resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
6867recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
6968adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7051adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7170recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7251ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7366ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
7472, 73readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
75 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
7650ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
77 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
7962ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
8078, 79resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
81 log1 26627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log‘1) = 0
82 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
83 1rp 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ+
84 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
85 logleb 26645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8683, 84, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8782, 86mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
8881, 87eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
8959ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (invg𝐺) = (invg𝐺)
911, 3, 9, 90dchrinv 27305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
921dchrabl 27298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9318, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
94 ablgrp 19803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
963, 90grpinvcl 19005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9795, 9, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9891, 97eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
99 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
1008, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋1 )
1013, 19grpidcl 18983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
10295, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑1𝐷)
1033, 90, 95, 9, 102grpinv11 19025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) = ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
104103necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋1 ))
105100, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ))
10619, 90grpinvid 19017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
10795, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
108105, 91, 1073netr3d 3017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
109 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
11098, 108, 109sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
111 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
112 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
115113, 114oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
116115fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
117 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))
118 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
119116, 117, 118fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
121 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
123122cjred 15265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
124123oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
12510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1262, 4, 17znzrhfo 21566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12721, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
128 fof 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
130 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
131 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
132129, 130, 131syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
133125, 132ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
134 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
136 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
138133, 135, 137cjdivd 15262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)))
139 fvco3 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
140125, 132, 139syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
141140oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
142124, 138, 1413eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
143120, 142eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
144133cjcld 15235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℂ)
145144, 135, 137divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
146141, 145eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
147 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
1482, 17, 18, 1, 3, 19, 9, 100, 147dchrmusumlema 27537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
149 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
1507adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
15118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝐷)
153100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋1 )
154 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
155 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
1562, 17, 151, 1, 3, 19, 152, 153, 147, 154, 149, 155, 5dchrvmaeq0 27548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋𝑊𝑡 = 0))
157150, 156mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
158149, 157breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
159158rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
160159exlimdv 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
161148, 160mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
162 seqex 14044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
164 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
165 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
166164, 165oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
167 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
168166, 147, 167fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
169168adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
170133, 135, 137divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
171169, 170eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
172111, 112, 171serf 14071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
173172ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
174 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
175 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
176 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
177175, 176, 170syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
178174, 177fsumcj 15846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
179175, 176, 169syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
180 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
181180, 111eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
182179, 181, 177fsumser 15766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
183182fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
184175, 176, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
185170cjcld 15235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
186175, 176, 185syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
187184, 181, 186fsumser 15766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
188178, 183, 1873eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
189111, 161, 163, 112, 173, 188climcj 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
190 cj0 15197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘0) = 0
191189, 190breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
192111, 112, 143, 146, 191isumclim 15793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0)
193 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)))
194193oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
195194sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
196195eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
197196, 5elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
198110, 192, 197sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
199198ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
2007ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋𝑊)
201 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
20289, 199, 200, 201nehash2 14513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
203 suble0 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
20477, 79, 203sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
205202, 204mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0)
20680, 75, 72, 88, 205lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
207 df-2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
208207oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − (♯‘𝑊)) = ((1 + 1) − (♯‘𝑊))
209 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
21079recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
211209, 209, 210addsubassd 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
212208, 211eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
213212oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))))
21471adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
21564ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
216215recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
217214, 209, 216adddid 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
218214mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
219218oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
220213, 217, 2193eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
221214mul01d 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
222206, 220, 2213brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ 0)
22333nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
224223ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
22549ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
22634ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
227226nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
22844, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
229 vmage0 27164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
23044, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
23144nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
23244nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
233 divge0 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
234228, 230, 231, 232, 233syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
23540, 48, 234fsumge0 15831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
236235ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
237224, 225, 227, 236mulge0d 11840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
23874, 75, 76, 222, 237letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
239 leaddsub 11739 . . . . . . . . . . . . . 14 (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
24072, 73, 76, 239syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
241238, 240mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
24272, 88absidd 15461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
24367ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
24475, 72, 243, 88, 241letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
245243, 244absidd 15461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
246241, 242, 2453brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
24716, 32, 69, 71, 246o1le 15689 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
248247ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
249248necon1bd 2958 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
25015, 249mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
251250adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
252251fveq1d 6908 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋𝑥))
25314, 252eqtr3d 2779 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋𝑥)) = (𝑋𝑥))
25412, 253cjrebd 15241 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
255254ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ)
256 ffnfv 7139 . 2 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ))
25711, 255, 256sylanbrc 583 1 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  cima 5688  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  seqcseq 14042  chash 14369  ccj 15135  abscabs 15273  cli 15520  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  ϕcphi 16801  Basecbs 17247  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  Abelcabl 19799  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Unitcui 20355  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  logclog 26596  Λcvma 27135  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-ga 19308  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-od 19546  df-gex 19547  df-pgp 19548  df-lsm 19654  df-pj1 19655  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-cyg 19896  df-dprd 20015  df-dpj 20016  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143  df-mu 27144  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrisum0  27564
  Copyright terms: Public domain W3C validator