MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0re 27571
Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2 rpvmasum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 rpvmasum2.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2734 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
65ssrab3 4091 . . . . . 6 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
7 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
86, 7sselid 3992 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
98eldifad 3974 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
101, 2, 3, 4, 9dchrf 27300 . . 3 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1110ffnd 6737 . 2 (𝜑𝑋 Fn (Base‘𝑍))
1210ffvelcdmda 7103 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℂ)
13 fvco3 7007 . . . . . 6 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
1410, 13sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋𝑥)))
15 logno1 26692 . . . . . . . 8 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
16 1red 11259 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
17 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
18 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0g𝐺)
20 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
2118nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
222zncrng 21580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ CRing)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑍 ∈ CRing)
24 crngring 20262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
26 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑍) = (1r𝑍)
2720, 261unit 20390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ Ring → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1r𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
29 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 “ {(1r𝑍)}) = (𝐿 “ {(1r𝑍)})
30 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑊) → (1r𝑍) = (1r𝑍))
312, 17, 18, 1, 3, 19, 5, 20, 28, 29, 30rpvmasum2 27570 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
3318phicld 16805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
3433nnnn0d 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
3635nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
37 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
38 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
39 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) ∈ Fin)
41 elinel1 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
42 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4441, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45 vmacl 27175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
46 nndivre 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4745, 46mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4940, 48fsumrecl 15766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
5036, 49remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
51 relogcl 26631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
541, 3dchrfi 27313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
5518, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
56 difss 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
576, 56sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑊𝐷
58 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
5955, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
60 hashcl 14391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
6261nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
63 resubcl 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6453, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
6652, 65remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
6750, 66resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
6867recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
6968adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℂ)
7051adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7170recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
7251ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
7366ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ)
7472, 73readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
75 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
7650ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
77 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
7962ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
8078, 79resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
81 log1 26641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (log‘1) = 0
82 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
83 1rp 13035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ+
84 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
85 logleb 26659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8683, 84, 85sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
8782, 86mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
8881, 87eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
8959ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
90 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (invg𝐺) = (invg𝐺)
911, 3, 9, 90dchrinv 27319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
921dchrabl 27312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
9318, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
94 ablgrp 19817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
963, 90grpinvcl 19017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐷) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9795, 9, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
9891, 97eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
99 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
1008, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑋1 )
1013, 19grpidcl 18995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
10295, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑1𝐷)
1033, 90, 95, 9, 102grpinv11 19037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) = ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
104103necon3bid 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋1 ))
105100, 104mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg𝐺)‘ 1 ))
10619, 90grpinvid 19029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
10795, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((invg𝐺)‘ 1 ) = 1 )
108105, 91, 1073netr3d 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
109 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
11098, 108, 109sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
111 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℕ = (ℤ‘1)
112 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑛)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑚𝑛 = 𝑚)
115113, 114oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
116115fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
117 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))
118 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
119116, 117, 118fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
120119adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
121 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
123122cjred 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
124123oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
12510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
1262, 4, 17znzrhfo 21583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
12721, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
128 fof 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
130 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
131 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
132129, 130, 131syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
133125, 132ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
134 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
135134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
136 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
138133, 135, 137cjdivd 15258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (∗‘𝑚)))
139 fvco3 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
140125, 132, 139syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))))
141140oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚))
142124, 138, 1413eqtr4d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
143120, 142eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
144133cjcld 15231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℂ)
145144, 135, 137divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
146141, 145eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
147 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
1482, 17, 18, 1, 3, 19, 9, 100, 147dchrmusumlema 27551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
149 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
1507adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
15118adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
1529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝐷)
153100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋1 )
154 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
155 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
1562, 17, 151, 1, 3, 19, 152, 153, 147, 154, 149, 155, 5dchrvmaeq0 27562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋𝑊𝑡 = 0))
157150, 156mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
158149, 157breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
159158rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
160159exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
161148, 160mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
162 seqex 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
164 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
165 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
166164, 165oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
167 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
168166, 147, 167fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
169168adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
170133, 135, 137divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
171169, 170eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
172111, 112, 171serf 14067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
173172ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
174 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
175 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
176 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
177175, 176, 170syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
178174, 177fsumcj 15842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
179175, 176, 169syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
180 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
181180, 111eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
182179, 181, 177fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
183182fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
184175, 176, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
185170cjcld 15231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
186175, 176, 185syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
187184, 181, 186fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
188178, 183, 1873eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
189111, 161, 163, 112, 173, 188climcj 15637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
190 cj0 15193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘0) = 0
191189, 190breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
192111, 112, 143, 146, 191isumclim 15789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0)
193 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)))
194193oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
195194sumeq2sdv 15735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
196195eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
197196, 5elrab2 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
198110, 192, 197sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
199198ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
2007ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋𝑊)
201 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
20289, 199, 200, 201nehash2 14509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
203 suble0 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
20477, 79, 203sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
205202, 204mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) ≤ 0)
20680, 75, 72, 88, 205lemul2ad 12205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
207 df-2 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 = (1 + 1)
208207oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 − (♯‘𝑊)) = ((1 + 1) − (♯‘𝑊))
209 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
21079recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
211209, 209, 210addsubassd 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
212208, 211eqtrid 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (♯‘𝑊)) = (1 + (1 − (♯‘𝑊))))
213212oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))))
21471adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
21564ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℝ)
216215recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (♯‘𝑊)) ∈ ℂ)
217214, 209, 216adddid 11282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (♯‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
218214mulridd 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
219218oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
220213, 217, 2193eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (♯‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
221214mul01d 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
222206, 220, 2213brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ 0)
22333nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
224223ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
22549ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
22634ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
227226nn0ge0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
22844, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
229 vmage0 27178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
23044, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
23144nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
23244nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
233 divge0 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
234228, 230, 231, 232, 233syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
23540, 48, 234fsumge0 15827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
236235ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
237224, 225, 227, 236mulge0d 11837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
23874, 75, 76, 222, 237letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
239 leaddsub 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
24072, 73, 76, 239syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
241238, 240mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
24272, 88absidd 15457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
24367ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))) ∈ ℝ)
24475, 72, 243, 88, 241letrd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
245243, 244absidd 15457 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊)))))
246241, 242, 2453brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (𝐿 “ {(1r𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (♯‘𝑊))))))
24716, 32, 69, 71, 246o1le 15685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
248247ex 412 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
249248necon1bd 2955 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
25015, 249mpi 20 . . . . . . 7 (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
251250adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
252251fveq1d 6908 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋𝑥))
25314, 252eqtr3d 2776 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋𝑥)) = (𝑋𝑥))
25412, 253cjrebd 15237 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
255254ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ)
256 ffnfv 7138 . 2 (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋𝑥) ∈ ℝ))
25711, 255, 256sylanbrc 583 1 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  Vcvv 3477  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  ontowfo 6560  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  [,)cico 13385  ...cfz 13543  cfl 13826  seqcseq 14038  chash 14365  ccj 15131  abscabs 15269  cli 15516  𝑂(1)co1 15518  Σcsu 15718  ϕcphi 16797  Basecbs 17244  0gc0g 17485  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  Abelcabl 19813  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  Unitcui 20371  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530  logclog 26610  Λcvma 27149  DChrcdchr 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-phi 16799  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-ga 19320  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-od 19560  df-gex 19561  df-pgp 19562  df-lsm 19668  df-pj1 19669  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-cyg 19910  df-dprd 20029  df-dpj 20030  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-idp 26242  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-quot 26347  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-atan 26924  df-em 27050  df-cht 27154  df-vma 27155  df-chp 27156  df-ppi 27157  df-mu 27158  df-dchr 27291
This theorem is referenced by:  dchrisum0  27578
  Copyright terms: Public domain W3C validator