Theorem eqg0subg 19440

Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqg0subg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = { 0 }
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subg 19391	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19366	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
7	1, 6	eqsstrid 3951	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqg0subg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
11	4, 8, 9, 10	eqgfval 19417	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
12	7, 11	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13		opabresid 6054	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
14		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		eleq1w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	equcoms 2055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	biimpac 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
19	14, 17, 18	jca31 524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)))
23	19, 22	impbid2 229	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	25	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	4, 8, 24, 26, 27	grpinv11 19247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
29	4, 8	grpinvcl 19227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
30	29	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
31	4, 9, 2, 8	grpinvid2 19232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
32	24, 26, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
33	28, 32	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
34	33	pm5.32da 590	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )))
35		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36		vex 3458	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
37	35, 36	prss 4779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
39	1	eleq2i 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40		ovex 7476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
41	40	elsn 4599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )
42	39, 41	bitr2i 279	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
44	38, 43	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
45	23, 34, 44	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
46	45	opabbidv 5174	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
47	13, 46	eqtr2id 2811	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
48	12, 47	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590  {copab 5170   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  0_gc0g 17639  Grpcgrp 19173  inv_gcminusg 19174  SubGrpcsubg 19359   ~_QG cqg 19361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-subg 19362  df-eqg 19364

This theorem is used by:  eqg0subgecsn  19441