Theorem eqg0subg 19137

Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqg0subg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = { 0 }
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subg 19093	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19069	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
7	1, 6	eqsstrid 3974	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqg0subg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
11	4, 8, 9, 10	eqgfval 19117	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
12	7, 11	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13		opabresid 6017	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
14		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	equcoms 2022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
19	14, 17, 18	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)))
23	19, 22	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	4, 8, 24, 26, 27	grpinv11 18949	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
29	4, 8	grpinvcl 18929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
30	29	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
31	4, 9, 2, 8	grpinvid2 18934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
32	24, 26, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
33	28, 32	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
34	33	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )))
35		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36		vex 3446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
37	35, 36	prss 4778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
39	1	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
41	40	elsn 4597	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )
42	39, 41	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
44	38, 43	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
45	23, 34, 44	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
46	45	opabbidv 5166	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
47	13, 46	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
48	12, 47	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584  {copab 5162   I cid 5526   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  SubGrpcsubg 19062   ~_QG cqg 19064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-eqg 19067

This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19138