Theorem eqg0subg 19160

Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqg0subg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = { 0 }
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subg 19116	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19092	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
7	1, 6	eqsstrid 3961	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqg0subg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
11	4, 8, 9, 10	eqgfval 19140	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
12	7, 11	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13		opabresid 6007	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
14		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	equcoms 2022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
19	14, 17, 18	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)))
23	19, 22	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	4, 8, 24, 26, 27	grpinv11 18972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
29	4, 8	grpinvcl 18952	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
30	29	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
31	4, 9, 2, 8	grpinvid2 18957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
32	24, 26, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
33	28, 32	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
34	33	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )))
35		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
37	35, 36	prss 4764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
39	1	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40		ovex 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
41	40	elsn 4583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )
42	39, 41	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
44	38, 43	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
45	23, 34, 44	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
46	45	opabbidv 5152	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
47	13, 46	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
48	12, 47	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  {copab 5148   I cid 5516   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  0_gc0g 17391  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  SubGrpcsubg 19085   ~_QG cqg 19087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19088  df-eqg 19090

This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19161