Theorem eqg0subg 19171

Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqg0subg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = { 0 }
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subg 19127	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19103	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
7	1, 6	eqsstrid 3961	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqg0subg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
11	4, 8, 9, 10	eqgfval 19151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
12	7, 11	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13		opabresid 6016	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
14		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	equcoms 2022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
19	14, 17, 18	jca31 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)))
23	19, 22	impbid2 226	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	4, 8, 24, 26, 27	grpinv11 18983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
29	4, 8	grpinvcl 18963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
30	29	adantrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
31	4, 9, 2, 8	grpinvid2 18968	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
32	24, 26, 30, 31	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
33	28, 32	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
34	33	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )))
35		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36		vex 3434	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
37	35, 36	prss 4764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
39	1	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40		ovex 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
41	40	elsn 4583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )
42	39, 41	bitr2i 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
44	38, 43	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
45	23, 34, 44	3bitrd 305	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
46	45	opabbidv 5152	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
47	13, 46	eqtr2id 2785	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
48	12, 47	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570  {copab 5148   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  SubGrpcsubg 19096   ~_QG cqg 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-eqg 19101

This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19172