Theorem eqg0subg 19169

Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqg0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eqg0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r	⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
eqg0subg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqg0subg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = { 0 }
2		eqg0subg.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	2	0subg 19125	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		eqg0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19101	. . . . 5 ⊢ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
7	1, 6	eqsstrid 3960	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqg0subg.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
11	4, 8, 9, 10	eqgfval 19149	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
12	7, 11	mpdan 693	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13		opabresid 6009	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)}
14		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		eleq1w 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
16	15	equcoms 2027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	biimpac 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
18		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
19	14, 17, 18	jca31 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	anim1i 621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)))
23	19, 22	impbid2 227	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
28	4, 8, 24, 26, 27	grpinv11 18981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
29	4, 8	grpinvcl 18961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
30	29	adantrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
31	4, 9, 2, 8	grpinvid2 18966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
32	24, 26, 30, 31	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦) = ((invg‘𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
33	28, 32	bitr3d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ))
34	33	pm5.32da 584	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )))
35		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
36		vex 3436	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
37	35, 36	prss 4758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
38	37	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
39	1	eleq2i 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40		ovex 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V
41	40	elsn 4577	. . . . . . . 8 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 )
42	39, 41	bitr2i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
44	38, 43	anbi12d 638	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
45	23, 34, 44	3bitrd 306	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
46	45	opabbidv 5145	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
47	13, 46	eqtr2id 2788	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑥)(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
48	12, 47	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  {copab 5141   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  SubGrpcsubg 19094   ~_QG cqg 19096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-eqg 19099

This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19170