MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqg0subg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqg0subg 19165
Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
eqg0subg.0 0 = (0g𝐺)
eqg0subg.s 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqg0subg (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqg0subg.s . . . 4 𝑆 = { 0 }
2 eqg0subg.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
320subg 19120 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 eqg0subg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
54subgss 19096 . . . . 5 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
71, 6eqsstrid 4030 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆𝐵)
8 eqid 2728 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
9 eqid 2728 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqg0subg.r . . . 4 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
114, 8, 9, 10eqgfval 19145 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
127, 11mpdan 685 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13 opabresid 6058 . . 3 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)}
14 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑥𝐵)
15 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1615equcoms 2015 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1716biimpac 477 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝐵)
18 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
1914, 17, 18jca31 513 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
2120anim1i 613 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)))
2319, 22impbid2 225 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2625adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
2720adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
284, 8, 24, 26, 27grpinv11 18978 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
294, 8grpinvcl 18958 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3029adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
314, 9, 2, 8grpinvid2 18963 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3224, 26, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3328, 32bitr3d 280 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3433pm5.32da 577 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 )))
35 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
36 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
3735, 36prss 4828 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
391eleq2i 2821 . . . . . . . 8 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ V
4140elsn 4647 . . . . . . . 8 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 )
4239, 41bitr2i 275 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
4438, 43anbi12d 630 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
4523, 34, 443bitrd 304 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
4645opabbidv 5218 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
4713, 46eqtr2id 2781 . 2 (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
4812, 47eqtrd 2768 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  {csn 4632  {cpr 4634  {copab 5214   I cid 5579  cres 5684  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  invgcminusg 18905  SubGrpcsubg 19089   ~QG cqg 19091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-eqg 19094
This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19166
  Copyright terms: Public domain W3C validator