MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqg0subg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqg0subg 19118
Description: The coset equivalence relation for the trivial (zero) subgroup of a group is the identity relation restricted to the base set of the group. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
eqg0subg.0 0 = (0g𝐺)
eqg0subg.s 𝑆 = { 0 }
eqg0subg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
eqg0subg.r 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
Assertion
Ref Expression
eqg0subg (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem eqg0subg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqg0subg.s . . . 4 𝑆 = { 0 }
2 eqg0subg.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
320subg 19074 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 eqg0subg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
54subgss 19050 . . . . 5 ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) → { 0 } ⊆ 𝐵)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ⊆ 𝐵)
71, 6eqsstrid 4030 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆𝐵)
8 eqid 2731 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
9 eqid 2731 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqg0subg.r . . . 4 𝑅 = (𝐺 ~QG 𝑆)
114, 8, 9, 10eqgfval 19099 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
127, 11mpdan 684 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
13 opabresid 6049 . . 3 ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)}
14 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑥𝐵)
15 eleq1w 2815 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1615equcoms 2022 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
1716biimpac 478 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑦𝐵)
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
1914, 17, 18jca31 514 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥))
20 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
2120anim1i 614 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥))
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)))
2319, 22impbid2 225 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥)))
24 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
25 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
2720adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
284, 8, 24, 26, 27grpinv11 18935 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
294, 8grpinvcl 18915 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3029adantrr 714 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
314, 9, 2, 8grpinvid2 18920 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3224, 26, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (((invg𝐺)‘𝑦) = ((invg𝐺)‘𝑥) ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3328, 32bitr3d 281 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ))
3433pm5.32da 578 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 )))
35 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
36 vex 3477 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
3735, 36prss 4823 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵))
391eleq2i 2824 . . . . . . . 8 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ { 0 })
40 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ V
4140elsn 4643 . . . . . . . 8 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ { 0 } ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 )
4239, 41bitr2i 276 . . . . . . 7 ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → ((((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ↔ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆))
4438, 43anbi12d 630 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) = 0 ) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
4523, 34, 443bitrd 305 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥𝐵𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)))
4645opabbidv 5214 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐵𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)})
4713, 46eqtr2id 2784 . 2 (𝐺 ∈ Grp → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (((invg𝐺)‘𝑥)(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)} = ( I ↾ 𝐵))
4812, 47eqtrd 2771 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑅 = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  {copab 5210   I cid 5573  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  SubGrpcsubg 19043   ~QG cqg 19045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-eqg 19048
This theorem is referenced by:  eqg0subgecsn  19119
  Copyright terms: Public domain W3C validator