Theorem grplinv 18919

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpinv.u	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		grpinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 18910	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
7	1, 2, 3	grpinveu 18904	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8		riotacl2 7331	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
10	6, 9	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11		oveq1 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑋))
12	11	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
13	12	elrab 3646	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
14	13	simprbi 496	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
15	10, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3348  {crab 3399  ‘cfv 6492  ℩crio 7314  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867

This theorem is referenced by:  grprinv  18920  grpinvid1  18921  grpinvid2  18922  isgrpinv  18923  grplinvd  18924  grplrinv  18926  grplcan  18930  grpasscan2  18932  grpinvinv  18935  grpraddf1o  18944  grpinvssd  18947  grpsubadd  18958  grplactcnv  18973  prdsinvlem  18979  imasgrp  18986  ghmgrp  18996  mulgdirlem  19035  issubg2  19071  isnsg3  19089  nmzsubg  19094  ssnmz  19095  eqger  19107  qusgrp  19115  conjghm  19178  galcan  19233  cntzsubg  19268  lsmmod  19604  lsmdisj2  19611  ogrpinv0le  20065  ogrpaddltrbid  20070  ogrpinv0lt  20072  ogrpinvlt  20073  ringnegr  20238  unitlinv  20329  isdrng2  20676  lmodvneg1  20856  evpmodpmf1o  21551  psrlinv  21911  grpvlinv  22342  tgpconncompeqg  24056  qustgpopn  24064  clmvslinv  25064  quslsm  33486  lflnegl  39332  dvhgrp  41363