Theorem grplinv 18963

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpinv.u	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		grpinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 18954	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
6	5	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
7	1, 2, 3	grpinveu 18948	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8		riotacl2 7336	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
10	6, 9	eqeltrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11		oveq1 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑋))
12	11	eqeq1d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
13	12	elrab 3636	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
14	13	simprbi 498	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
15	10, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!wreu 3343  {crab 3392  ‘cfv 6492  ℩crio 7319  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  0_gc0g 17400  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911

This theorem is referenced by:  grprinv  18964  grpinvid1  18965  grpinvid2  18966  isgrpinv  18967  grplinvd  18968  grplrinv  18970  grplcan  18974  grpasscan2  18976  grpinvinv  18979  grpraddf1o  18988  grpinvssd  18991  grpsubadd  19002  grplactcnv  19017  prdsinvlem  19023  imasgrp  19030  ghmgrp  19040  mulgdirlem  19079  issubg2  19115  isnsg3  19133  nmzsubg  19138  ssnmz  19139  eqger  19151  qusgrp  19159  conjghm  19222  galcan  19277  cntzsubg  19312  lsmmod  19648  lsmdisj2  19655  ogrpinv0le  20109  ogrpaddltrbid  20114  ogrpinv0lt  20116  ogrpinvlt  20117  ringnegr  20282  unitlinv  20371  isdrng2  20722  lmodvneg1  20902  evpmodpmf1o  21578  psrlinv  21937  grpvlinv  22388  tgpconncompeqg  24102  qustgpopn  24110  clmvslinv  25100  quslsm  33495  lflnegl  39575  dvhgrp  41606