Theorem grplinv 18874

Description: The left inverse of a group element. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinv.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpinv.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem grplinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpinv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpinv.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		grpinv.u	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		grpinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	grpinvval 18865	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
6	5	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ))
7	1, 2, 3	grpinveu 18859	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 )
8		riotacl2 7382	. . . 4 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦 + 𝑋) = 0 ) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
10	6, 9	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 })
11		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → (𝑦 + 𝑋) = ((𝑁‘𝑋) + 𝑋))
12	11	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑁‘𝑋) → ((𝑦 + 𝑋) = 0 ↔ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
13	12	elrab 3684	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 ))
14	13	simprbi 498	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ 𝐵 ∣ (𝑦 + 𝑋) = 0 } → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )
15	10, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) + 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃!wreu 3375  {crab 3433  ‘cfv 6544  ℩crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823

This theorem is referenced by:  grprinv  18875  grpinvid1  18876  grpinvid2  18877  isgrpinv  18878  grplinvd  18879  grplrinv  18881  grplcan  18885  grpasscan2  18887  grpinvinv  18890  grpinvssd  18900  grpsubadd  18911  grplactcnv  18926  prdsinvlem  18932  imasgrp  18939  ghmgrp  18949  mulgdirlem  18985  issubg2  19021  isnsg3  19040  nmzsubg  19045  ssnmz  19046  eqger  19058  qusgrp  19065  conjghm  19123  galcan  19168  cntzsubg  19203  lsmmod  19543  lsmdisj2  19550  ringnegr  20115  unitlinv  20207  isdrng2  20371  lmodvneg1  20515  evpmodpmf1o  21149  psrlinv  21516  grpvlinv  21897  tgpconncompeqg  23616  qustgpopn  23624  clmvslinv  24624  ogrpinv0le  32264  ogrpaddltrbid  32269  ogrpinv0lt  32271  ogrpinvlt  32272  quslsm  32547  lflnegl  37994  dvhgrp  40026