Theorem xpsinv 18968

Description: Value of the negation operation in a binary structure product. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
xpsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
xpsinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Proof of Theorem xpsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		xpsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
5		xpsinv.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grplinvd 18902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) = (0g‘𝑅))
8		xpsinv.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
11		xpsinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
12		xpsinv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
13		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	grplinvd 18902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) = (0g‘𝑆))
15	7, 14	opeq12d 4841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
16		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
17	1, 4, 5, 6	grpinvcld 18896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑋)
18	8, 11, 12, 13	grpinvcld 18896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ 𝑌)
19	1, 2, 5, 17, 6	grpcld 18855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
20	8, 9, 12, 18, 13	grpcld 18855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑌)
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22	16, 1, 8, 5, 12, 17, 18, 6, 13, 19, 20, 2, 9, 21	xpsadd 17513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩)
23	5	grpmndd 18854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
24	12	grpmndd 18854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
25	16	xpsmnd0 18681	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
27	15, 22, 26	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇))
28	16	xpsgrp 18967	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	5, 12, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 13	opelxpd 5670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	16, 1, 8, 5, 12	xpsbas 17511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	17, 18	opelxpd 5670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
36		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
37		xpsinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)
38	35, 21, 36, 37	grpinvid2 18900	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
39	29, 32, 34, 38	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
40	27, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17378   ×_s cxps 17445  Mndcmnd 18637  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-prds 17386  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845

This theorem is referenced by:  pzriprnglem4  21370