Theorem xpsinv 19009

Description: Value of the negation operation in a binary structure product. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
xpsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
xpsinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Proof of Theorem xpsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		xpsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
5		xpsinv.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grplinvd 18944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) = (0g‘𝑅))
8		xpsinv.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
11		xpsinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
12		xpsinv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
13		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	grplinvd 18944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) = (0g‘𝑆))
15	7, 14	opeq12d 4877	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
16		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
17	1, 4, 5, 6	grpinvcld 18938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑋)
18	8, 11, 12, 13	grpinvcld 18938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ 𝑌)
19	1, 2, 5, 17, 6	grpcld 18897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
20	8, 9, 12, 18, 13	grpcld 18897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑌)
21		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22	16, 1, 8, 5, 12, 17, 18, 6, 13, 19, 20, 2, 9, 21	xpsadd 17549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩)
23	5	grpmndd 18896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
24	12	grpmndd 18896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
25	16	xpsmnd0 18728	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
26	23, 24, 25	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
27	15, 22, 26	3eqtr4d 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇))
28	16	xpsgrp 19008	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	5, 12, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 13	opelxpd 5711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	16, 1, 8, 5, 12	xpsbas 17547	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	17, 18	opelxpd 5711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
36		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
37		xpsinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)
38	35, 21, 36, 37	grpinvid2 18942	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
39	29, 32, 34, 38	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
40	27, 39	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4630   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  0_gc0g 17414   ×_s cxps 17481  Mndcmnd 18687  Grpcgrp 18883  inv_gcminusg 18884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887

This theorem is referenced by:  pzriprnglem4  21403