Theorem xpsinv 18942

Description: Value of the negation operation in a binary structure product. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
xpsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
xpsinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Proof of Theorem xpsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		xpsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
5		xpsinv.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grplinvd 18878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) = (0g‘𝑅))
8		xpsinv.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
11		xpsinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
12		xpsinv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
13		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	grplinvd 18878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) = (0g‘𝑆))
15	7, 14	opeq12d 4881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
16		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
17	1, 4, 5, 6	grpinvcld 18872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑋)
18	8, 11, 12, 13	grpinvcld 18872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ 𝑌)
19	1, 2, 5, 17, 6	grpcld 18832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
20	8, 9, 12, 18, 13	grpcld 18832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑌)
21		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22	16, 1, 8, 5, 12, 17, 18, 6, 13, 19, 20, 2, 9, 21	xpsadd 17519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩)
23	5	grpmndd 18831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
24	12	grpmndd 18831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
25	16	xpsmnd0 18665	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
26	23, 24, 25	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
27	15, 22, 26	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇))
28	16	xpsgrp 18941	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	5, 12, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 13	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	16, 1, 8, 5, 12	xpsbas 17517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	17, 18	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
36		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
37		xpsinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)
38	35, 21, 36, 37	grpinvid2 18876	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
39	29, 32, 34, 38	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
40	27, 39	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4634   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384   ×_s cxps 17451  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  inv_gcminusg 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822

This theorem is referenced by:  pzriprnglem4  46798