Theorem xpsinv 19170

Description: Value of the negation operation in a binary structure product. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
xpsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
xpsinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Proof of Theorem xpsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		xpsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
5		xpsinv.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grplinvd 19105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) = (0g‘𝑅))
8		xpsinv.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
11		xpsinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
12		xpsinv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
13		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	grplinvd 19105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) = (0g‘𝑆))
15	7, 14	opeq12d 4848	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
16		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
17	1, 4, 5, 6	grpinvcld 19099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑋)
18	8, 11, 12, 13	grpinvcld 19099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ 𝑌)
19	1, 2, 5, 17, 6	grpcld 19058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
20	8, 9, 12, 18, 13	grpcld 19058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑌)
21		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22	16, 1, 8, 5, 12, 17, 18, 6, 13, 19, 20, 2, 9, 21	xpsadd 17650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩)
23	5	grpmndd 19057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
24	12	grpmndd 19057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
25	16	xpsmnd0 18873	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
27	15, 22, 26	3eqtr4d 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇))
28	16	xpsgrp 19169	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	5, 12, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 13	opelxpd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	16, 1, 8, 5, 12	xpsbas 17648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	17, 18	opelxpd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
36		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
37		xpsinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)
38	35, 21, 36, 37	grpinvid2 19103	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
39	29, 32, 34, 38	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
40	27, 39	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514   ×_s cxps 17582  Mndcmnd 18824  Grpcgrp 19044  inv_gcminusg 19045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-hom 17356  df-cco 17357  df-0g 17516  df-prds 17522  df-imas 17584  df-xps 17586  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048

This theorem is used by:  pzriprnglem4  21684