Theorem xpsinv 19279

Description: Value of the negation operation in a binary structure product. (Contributed by AV, 18-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsinv.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
xpsinv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
xpsinv.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsinv	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

Proof of Theorem xpsinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		xpsinv.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
5		xpsinv.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	grplinvd 19214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) = (0g‘𝑅))
8		xpsinv.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
11		xpsinv.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
12		xpsinv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
13		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	grplinvd 19214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) = (0g‘𝑆))
15	7, 14	opeq12d 4847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩ = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
16		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
17	1, 4, 5, 6	grpinvcld 19208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐴) ∈ 𝑋)
18	8, 11, 12, 13	grpinvcld 19208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ∈ 𝑌)
19	1, 2, 5, 17, 6	grpcld 19167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
20	8, 9, 12, 18, 13	grpcld 19167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵) ∈ 𝑌)
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22	16, 1, 8, 5, 12, 17, 18, 6, 13, 19, 20, 2, 9, 21	xpsadd 17755	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨((𝑀‘𝐴)(+g‘𝑅)𝐴), ((𝑁‘𝐵)(+g‘𝑆)𝐵)⟩)
23	5	grpmndd 19166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
24	12	grpmndd 19166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
25	16	xpsmnd0 18981	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ∈ Mnd) → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
26	23, 24, 25	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑇) = ⟨(0g‘𝑅), (0g‘𝑆)⟩)
27	15, 22, 26	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇))
28	16	xpsgrp 19278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	5, 12, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 13	opelxpd 5690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	16, 1, 8, 5, 12	xpsbas 17753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	17, 18	opelxpd 5690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
36		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
37		xpsinv.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑇)
38	35, 21, 36, 37	grpinvid2 19212	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ∈ (Base‘𝑇)) → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
39	29, 32, 34, 38	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩ ↔ (⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐴, 𝐵⟩) = (0g‘𝑇)))
40	27, 39	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ⟨(𝑀‘𝐴), (𝑁‘𝐵)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   × cxp 5649  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619   ×_s cxps 17687  Mndcmnd 18932  Grpcgrp 19153  inv_gcminusg 19154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157

This theorem is used by:  pzriprnglem4  21799