MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruwun 10766
Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
gruwun ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grutr 10746 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
21adantr 484 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3 simpr 488 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4 gruuni 10753 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
54adantlr 725 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
6 grupw 10748 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
76adantlr 725 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
8 grupr 10750 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
98ad4ant134 1187 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3153 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
115, 7, 103jca 1140 . . 3 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
1211ralrimiva 3153 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
13 iswun 10657 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
1413adantr 484 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
152, 3, 12, 14mpbir3and 1355 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 399  w3a 1097  wcel 2141  wne 2956  wral 3075  c0 4285  𝒫 cpw 4554  {cpr 4583   cuni 4864  Tr wtr 5206  WUnicwun 10653  Univcgru 10743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-wun 10655  df-gru 10744
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator