Theorem gruwun 10766

Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
gruwun	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grutr 10746	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4		gruuni 10753	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑈)
5	4	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑈)
6		grupw 10748	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	6	adantlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
8		grupr 10750	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
9	8	ad4ant134 1187	. . . . 5 ⊢ ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	5, 7, 10	3jca 1140	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
12	11	ralrimiva 3153	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
13		iswun 10657	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
14	13	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
15	2, 3, 12, 14	mpbir3and 1355	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {cpr 4583  ∪ cuni 4864  Tr wtr 5206  WUnicwun 10653  Univcgru 10743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8803  df-wun 10655  df-gru 10744

This theorem is referenced by: (None)