MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruwun 10851
Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
gruwun ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grutr 10831 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
21adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3 simpr 484 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4 gruuni 10838 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
54adantlr 715 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
6 grupw 10833 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
76adantlr 715 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
8 grupr 10835 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
98ad4ant134 1173 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
115, 7, 103jca 1127 . . 3 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
1211ralrimiva 3144 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
13 iswun 10742 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
1413adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
152, 3, 12, 14mpbir3and 1341 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633   cuni 4912  Tr wtr 5265  WUnicwun 10738  Univcgru 10828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-wun 10740  df-gru 10829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator