MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruwun 10229
Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
gruwun ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grutr 10209 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
21adantr 483 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3 simpr 487 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4 gruuni 10216 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
54adantlr 713 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝑈)
6 grupw 10211 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
76adantlr 713 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝒫 𝑥𝑈)
8 grupr 10213 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
98ad4ant134 1170 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) ∧ 𝑦𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
109ralrimiva 3182 . . . 4 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
115, 7, 103jca 1124 . . 3 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
1211ralrimiva 3182 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
13 iswun 10120 . . 3 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
1413adantr 483 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
152, 3, 12, 14mpbir3and 1338 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  c0 4291  𝒫 cpw 4539  {cpr 4563   cuni 4832  Tr wtr 5165  WUnicwun 10116  Univcgru 10206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-wun 10118  df-gru 10207
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator