Theorem gruwun 10773

Description: A nonempty Grothendieck universe is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
gruwun	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Proof of Theorem gruwun

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grutr 10753	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → Tr 𝑈)
3		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ≠ ∅)
4		gruuni 10760	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑈)
5	4	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑈)
6		grupw 10755	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈)
8		grupr 10757	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
9	8	ad4ant134 1175	. . . . 5 ⊢ ((((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
10	9	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)
11	5, 7, 10	3jca 1128	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
12	11	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))
13		iswun 10664	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
15	2, 3, 12, 14	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ∈ WUni)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {cpr 4594  ∪ cuni 4874  Tr wtr 5217  WUnicwun 10660  Univcgru 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-wun 10662  df-gru 10751

This theorem is referenced by: (None)