HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoscli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoscli 31785
Description: Closure of Hilbert space operator sum. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoeq.1 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoeq.2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hoscli (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hoscli
StepHypRef Expression
1 hoeq.1 . 2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2 hoeq.2 . 2 𝑇: ℋ⟶ ℋ
3 hoscl 31768 . 2 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
41, 2, 3mpanl12 701 1 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  wf 6568  cfv 6572  (class class class)co 7445  chba 30942   +op chos 30961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-hilex 31022  ax-hfvadd 31023
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-map 8882  df-hosum 31753
This theorem is referenced by:  nmoptrii  32117
  Copyright terms: Public domain W3C validator