Theorem hoscl 32362

Description: Closure of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoscl	⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hoscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosval 32357	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
2	1	3expa 1136	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
3		ffvelcdm 7092	. . . . 5 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
4		ffvelcdm 7092	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ)
5	3, 4	anim12i 625	. . . 4 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ)) → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ))
6	5	anandirs 692	. . 3 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ))
7		hvaddcl 31629	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ ℋ)
9	2, 8	eqeltrd 2864	1 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ℋchba 31536   +_ℎ cva 31537   +_op chos 31555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-hilex 31616  ax-hfvadd 31617

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-hosum 32347

This theorem is used by:  hoscli  32379