HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptrii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoptrii 31078
Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmoptrii (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))

Proof of Theorem nmoptrii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopf 30846 . . . . 5 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4 nmoptri.2 . . . . 5 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopf 30846 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
73, 6hoaddcli 30752 . . 3 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 nmopre 30854 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
10 nmopre 30854 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
129, 11readdcli 11175 . . . 4 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ
1312rexri 11218 . . 3 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*
14 nmopub 30892 . . 3 (((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))))
157, 13, 14mp2an 691 . 2 ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
163, 6hoscli 30746 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
17 normcl 30109 . . . . . 6 (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
203ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21 normcl 30109 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
236ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 normcl 30109 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2622, 25readdcld 11189 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2812a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ)
29 hosval 30724 . . . . . . . 8 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
303, 6, 29mp3an12 1452 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
3130fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
32 norm-ii 30122 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3320, 23, 32syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3431, 33eqbrtrd 5128 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 482 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
36 nmoplb 30891 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
373, 36mp3an1 1449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
38 nmoplb 30891 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
396, 38mp3an1 1449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
40 le2add 11642 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((normop𝑆) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
419, 11, 40mpanr12 704 . . . . . . 7 (((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4222, 25, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4342adantr 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4437, 39, 43mp2and 698 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4519, 27, 28, 35, 44letrd 11317 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4645ex 414 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4715, 46mprgbir 3068 1 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061   class class class wbr 5106  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  *cxr 11193  cle 11195  chba 29903   + cva 29904  normcno 29907   +op chos 29922  normopcnop 29929  BndLinOpcbo 29932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-nmcv 29584  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hosum 30714  df-nmop 30823  df-lnop 30825  df-bdop 30826
This theorem is referenced by:  bdophsi  31080  nmoptri2i  31083  unierri  31088
  Copyright terms: Public domain W3C validator