HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmoptrii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmoptrii 31614
Description: Triangle inequality for the norms of bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmoptrii (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))

Proof of Theorem nmoptrii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . 5 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopf 31382 . . . . 5 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 𝑆: ℋ⟶ ℋ
4 nmoptri.2 . . . . 5 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopf 31382 . . . . 5 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
73, 6hoaddcli 31288 . . 3 (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
8 nmopre 31390 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
91, 8ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
10 nmopre 31390 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
114, 10ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
129, 11readdcli 11233 . . . 4 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ
1312rexri 11276 . . 3 ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*
14 nmopub 31428 . . 3 (((𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))))
157, 13, 14mp2an 688 . 2 ((normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
163, 6hoscli 31282 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
17 normcl 30645 . . . . . 6 (((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
203ffvelcdmi 7084 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
21 normcl 30645 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ)
236ffvelcdmi 7084 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
24 normcl 30645 . . . . . . 7 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
2622, 25readdcld 11247 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ∈ ℝ)
2812a1i 11 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((normop𝑆) + (normop𝑇)) ∈ ℝ)
29 hosval 31260 . . . . . . . 8 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
303, 6, 29mp3an12 1449 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
3130fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
32 norm-ii 30658 . . . . . . 7 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3320, 23, 32syl2anc 582 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3431, 33eqbrtrd 5169 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
3534adantr 479 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))))
36 nmoplb 31427 . . . . . 6 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
373, 36mp3an1 1446 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆))
38 nmoplb 31427 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
396, 38mp3an1 1446 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
40 le2add 11700 . . . . . . . 8 ((((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) ∧ ((normop𝑆) ∈ ℝ ∧ (normop𝑇) ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
419, 11, 40mpanr12 701 . . . . . . 7 (((norm‘(𝑆𝑥)) ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4222, 25, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4342adantr 479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (((norm‘(𝑆𝑥)) ≤ (normop𝑆) ∧ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇)) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4437, 39, 43mp2and 695 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆𝑥)) + (norm‘(𝑇𝑥))) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4519, 27, 28, 35, 44letrd 11375 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇)))
4645ex 411 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))))
4715, 46mprgbir 3066 1 (normop‘(𝑆 +op 𝑇)) ≤ ((normop𝑆) + (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059   class class class wbr 5147  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11251  cle 11253  chba 30439   + cva 30440  normcno 30443   +op chos 30458  normopcnop 30465  BndLinOpcbo 30468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hosum 31250  df-nmop 31359  df-lnop 31361  df-bdop 31362
This theorem is referenced by:  bdophsi  31616  nmoptri2i  31619  unierri  31624
  Copyright terms: Public domain W3C validator