Theorem idcn 23314

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idcn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
2		ssidcn 23312	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
3	2	anidms 574	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
4	1, 3	mpbiri 260	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   I cid 5541   ↾ cres 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  TopOnctopon 22967   Cn ccn 23281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-map 8810  df-top 22951  df-topon 22968  df-cn 23284

This theorem is referenced by:  resthauslem  23420  kgencn2  23614  txkgen  23709  cnmptid  23718  idhmeo  23830  qtophmeo  23874  pl1cn  34249  rrhre  34315