Theorem idcn 22752

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idcn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4003	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
2		ssidcn 22750	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
3	2	anidms 567	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
4	1, 3	mpbiri 257	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   I cid 5572   ↾ cres 5677  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  TopOnctopon 22403   Cn ccn 22719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-top 22387  df-topon 22404  df-cn 22722

This theorem is referenced by:  resthauslem  22858  kgencn2  23052  txkgen  23147  cnmptid  23156  idhmeo  23268  qtophmeo  23312  pl1cn  32923  rrhre  32989