Theorem idcn 21439

Description: A restricted identity function is a continuous function. (Contributed by FL, 27-Dec-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
idcn	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Proof of Theorem idcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3848	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
2		ssidcn 21437	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
3	2	anidms 562	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ 𝐽 ⊆ 𝐽))
4	1, 3	mpbiri 250	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798   I cid 5251   ↾ cres 5348  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  TopOnctopon 21092   Cn ccn 21406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-map 8129  df-top 21076  df-topon 21093  df-cn 21409

This theorem is referenced by:  resthauslem  21545  kgencn2  21738  txkgen  21833  cnmptid  21842  idhmeo  21954  qtophmeo  21998  pl1cn  30542  rrhre  30606