Theorem hmphref 23635

Description: "Is homeomorphic to" is reflexive. (Contributed by FL, 25-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphref	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22770	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		idhmeo 23627	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → ( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
3	1, 2	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
4		hmphi 23631	. 2 ⊢ (( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽) → 𝐽 ≃ 𝐽)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≃ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141   I cid 5566   ↾ cres 5671  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Topctop 22745  TopOnctopon 22762  Homeochmeo 23607   ≃ chmph 23608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-1o 8464  df-map 8821  df-top 22746  df-topon 22763  df-cn 23081  df-hmeo 23609  df-hmph 23610

This theorem is referenced by:  hmpher  23638  hmph0  23649