Theorem hmphref 24155

Description: "Is homeomorphic to" is reflexive. (Contributed by FL, 25-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmphref	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphref

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 23291	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		idhmeo 24147	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → ( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
3	1, 2	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
4		hmphi 24151	. 2 ⊢ (( I ↾ ∪ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽) → 𝐽 ≃ 𝐽)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≃ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5108   I cid 5552   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Topctop 23266  TopOnctopon 23283  Homeochmeo 24127   ≃ chmph 24128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-1o 8514  df-map 8887  df-top 23267  df-topon 23284  df-cn 23600  df-hmeo 24129  df-hmph 24130

This theorem is used by:  hmpher  24158  hmph0  24169