MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmphref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmphref 23776
Description: "Is homeomorphic to" is reflexive. (Contributed by FL, 25-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmphref (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)

Proof of Theorem hmphref
StepHypRef Expression
1 toptopon2 22911 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
2 idhmeo 23768 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
31, 2sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
4 hmphi 23772 . 2 (( I ↾ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽) → 𝐽𝐽)
53, 4syl 17 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099   cuni 4913   class class class wbr 5153   I cid 5579  cres 5684  cfv 6554  (class class class)co 7424  Topctop 22886  TopOnctopon 22903  Homeochmeo 23748  chmph 23749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8496  df-map 8857  df-top 22887  df-topon 22904  df-cn 23222  df-hmeo 23750  df-hmph 23751
This theorem is referenced by:  hmpher  23779  hmph0  23790
  Copyright terms: Public domain W3C validator