MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmphref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmphref 23705
Description: "Is homeomorphic to" is reflexive. (Contributed by FL, 25-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hmphref (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ≃ 𝐽)

Proof of Theorem hmphref
StepHypRef Expression
1 toptopon2 22840 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
2 idhmeo 23697 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
31, 2sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ Top β†’ ( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽))
4 hmphi 23701 . 2 (( I β†Ύ βˆͺ 𝐽) ∈ (𝐽Homeo𝐽) β†’ 𝐽 ≃ 𝐽)
53, 4syl 17 1 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ≃ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∈ wcel 2098  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   I cid 5579   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  Homeochmeo 23677   ≃ chmph 23678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-map 8853  df-top 22816  df-topon 22833  df-cn 23151  df-hmeo 23679  df-hmph 23680
This theorem is referenced by:  hmpher  23708  hmph0  23719
  Copyright terms: Public domain W3C validator